Comparaison des temps d’exécution

Les Temps d’Exécution Moyens (TEM) des étapes du calcul des différentes solutions proposées pour résoudre le problème de la distribution des tensions, ainsi que les Temps

d’Exécution Totaux (TET) de chaque méthode, somme des TEM correspondants, sont

comparés dans le tableau 3.5. Le moyennage a été effectué le long de traj₁. Les résultats

sont également comparés à l’algorithme de [Mikelsons 08]. Les valeurs sont indiquées en

ms et ont été obtenues sous MATLAB, avec un PC équipé d’un processeur Intel®CoreTM

i 5 − 2400 3,10GHz et 4Go de RAM.

Distribution tensions Proposée dans cette thèse [Mikelsons 08]

Solution Optimale Barycentre Barycentre

pondéré

Norme 1 Norme 2 Barycentre

pondéré Calculs SVD + noyau 0,504 0,504 0,504 0,504 0,504 Recherche sommets (TurnAround) 0,334 0,334 0,334 0,021 0,981 Calculs de la solution optimale 0,031 0,045 0,027 0,015 0,516 TET 0,869 0,883 0,865 0,540 2,011

Tableau 3.5 : Comparaison des TEM et TET, exprimés en millisecondes, entre les différentes méthodes de calcul de la distribution des tensions des câbles.

Sous MATLAB, le calcul complet de la distribution optimale des tensionst∗_{est 2,3 fois}

plus rapide que l’algorithme de [Mikelsons 08]. Cependant, la décomposition en valeurs singulières de la Jacobienne est un élément commun aux deux algorithmes qui représente 60 % du TET de la méthode proposée. Il convient donc mieux de comparer uniquement la somme des TEM de la recherche des sommets (TurnAround) et du calcul de la distribution

des tensions ; le calcul du noyauN de W et de la solution particulière tpétant supposé fait.

Si on somme le TEM de TurnAround (l’algorithme de recherche des sommets proposé dans cette thèse) et le TEM du calcul du barycentre, on obtient 0,364 ms. La somme des TEM de la recherche des sommets et du calcul du barycentre de [Mikelsons 08] est, quant à lui, égal à 1,497 ms. Selon ce critère de comparaison, l’algorithme proposé est donc 3,89 fois plus rapide. On remarque que le gain de TEM le plus important est celui du calcul de solution (plus de 17 fois plus rapide pour l’algorithme proposé). Ce gain de temps de calcul illustre l’intérêt de trouver les sommets du polygone dans l’ordre (horaire ou anti- horaire), ce qui autorise l’utilisation de formules géométriques simples à la place d’une triangularisation.

Cet écart est encore plus important en code C, implémenté dans le système temps-

réel du démonstrateur du projet COGIRO (annexe A.2). En effet, le TEM du calcul de la

décomposition en valeurs singulières est alors de 0,234 ms (identique pour les deux mé- thodes). En utilisant TurnAround, la recherche des sommets et le calcul de la solution ne nécessitent que 14µs quand le premier sommet a été déterminé à partir des sommets du

polygone A−1(Λ) de la pose précédente. Dans le cas contraire (généralement à la première pose, quand aucun polytope n’a encore été déterminé), la recherche du premier sommet implique un temps de calcul de 0,682 ms, soit plus de 50 fois plus. C’est en revanche la stratégie utilisée dans [Mikelsons 08] pour la détermination du polygone de chaque pose issue de la génération de trajectoire. TurnAround est donc plus de 50 fois plus rapide que l’algorithme de [Mikelsons 08] en code C.

Des résultats expérimentaux sont donnés à la section 5.2. On comparera notamment les distributions des tensions obtenues avec les différentes solutions proposées, appli-

quées aux prototypes COGIROet CABLAR, ainsi que les temps de calcul correspondants.

En outre, notons que les algorithmes présentés dans ce chapitre fonctionnent actuelle-

ment en temps réel sur REELAX8 et sur le prototype SEGESTA montré à la figure 1.6b.

3.5 Conclusion

Dans ce chapitre, un algorithme de distribution des tensions compatible avec des envi- ronnements temps-réel est proposé. La première contribution, l’algorithme TurnAround, détermine efficacement les sommets du polygone des tensions solutions admissibles dans un espace de dimension 2. Pour cela, la méthode se restreint au cas des RPC à 2 DDR. On considère alors l’intersection de l’espace affine de dimension 2 des solutions du problème de la distribution des tensions avec l’hyper-parallélépipède des tensions admissibles. L’in- tersection de ces deux ensembles est le polytope convexe des solutions admissibles au pro- blème de la distribution des tensions. Son antécédent par transformation affine en dimen- sion 2 est un polygone convexe. Ainsi, en utilisant des propriétés géométriques simples, TurnAround trouve dans un premier temps un sommet du polygone et suit ensuite son enveloppe pour tourner le long du polygone en déterminant dans l’ordre (horaire ou anti- horaire) l’ensemble de ses sommets.

La seconde contribution de ce chapitre est de proposer des méthodes de calcul simples et efficaces de solutions optimales au problème de la distribution des tensions, basées sur la connaissance ordonnée des sommets du polygone. Nous avons en particulier montré que les solutions minimisant les norme 1 et 2 des tensions des câbles peuvent être calcu- lées sans avoir recours à des procédures d’optimisation numérique. Une formulation ori- ginale du barycentre du polygone, prenant avantage de la connaissance des sommets dans l’ordre, a été proposée. L’expression du barycentre pondéré proposé dans [Bruckmann 10] a également été implémenté. Les distributions des tensions obtenues avec ces différentes solutions optimales sont discutées puis comparées en fonction de la configuration du RPC. Les calculs sont effectués en un nombre d’opérations réduit, avec un TET faible et connu,

sans utilisation de librairies d’optimisation numérique. L’algorithme proposé peut donc,

a priori, être implémenté dans n’importe quel système temps-réel. La continuité dans le

temps de ces solutions, le long d’une trajectoire continue incluse dans l’ETC du RPC, est prouvée en annexe C.

Enfin, ce chapitre a donné quelques résultats de simulations issus de l’application de

TurnAround aux robots REELAX8-S et REELAX8-PC. Des résultats expérimentaux, obte-

nus sur les prototypes COGIRO et CABLAR, sont donnés dans la suite de cette thèse au

C

4

COMMANDE DES MOUVEMENTS DES

ROBOTS PARALLÈLES À CÂBLES

Peu de travaux font référence à la commande des RPC et encore moins aux RPC à redondance d’action- nement. En revanche, de nombreuses études ont été menées sur la commande des robots parallèles à membres rigides. Nous ne ferons pas de contribution en automatique dans ce chapitre, mais nous nous attacherons à proposer des schémas de commande adaptés au contrôle des RPC à redondance d’actionnement. L’état de l’art sur la commande des RPC ainsi qu’une brève introduction à la commande des mouvements sont donnés à la section 4.1. Le concept de commande par anticipation en espace double est ensuite introduit à la section 4.4. La section 4.5 propose un schéma de commande adaptatif en espace double, robuste aux variations et incertitudes de certains paramètres du système. Finalement, la section 4.6 présente quelques résultats de simulations.

Sommaire

4.1 La commande des mouvements des RPC . . . 78