Dans cette partie, la forme des deux flotteurs est approch´ee par deux cylindres circulaires parall`eles. Seuls les premiers instants de l’entr´ee dans l’eau de la maquette, correspondants en fait `a l’impact des flotteurs, sont mod´elis´es. En pratique, on ne consid`ere pour les calculs, qu’une section de flotteur. Les chargements sur l’ensemble d’un flotteur sont obtenus grossi`erement, en multipliant simplement l’effort sur la section par la longueur totale du cylindre.
7.4.1 Mod` ele de Wagner lin´ earis´ e - solution analytique (SA)
La fonction de forme d’un cylindre de rayon R s’´ecrit : f(x) = R−√
R2−x2. (7.1)
Elle peut ˆetre approch´ee par
f(x) ∼ x2
2R. (7.2)
La correction mouill´eea(t) est alors calcul´ee en substituant (7.2) dans la condition de Wagner qui s’´ecrit :
Z π/2 0
f(a(t) sinθ)dθ = π
2h(t). (7.3)
On obtient alors :
a =
√
4Rh; da
dt = 2Rh˙
√4Rh. (7.4)
Par ailleurs, la masse ajout´ee est donn´ee par Ma = 1
2ρπa2 = 2πρRh, d’o`u M˙a = ρπaa˙ = 2πρRh˙ (7.5) d’o`u l’on d´eduit l’expression des efforts hydrodynamiques
F = MdV
dt = g−d(MaV)
dt = g−MaV˙ −M˙aV. (7.6) Par int´egration de (7.6), on montre que la vitesse de p´en´etration v´erifie :
V(t) = M(V0+gt)
M +Ma (7.7)
Le mod`ele hydrodynamique ne prend pas en compte les effets de la gravit´e. Celle ci est rajout´ee artificiellement dans la loi de Newton 7.6 dans le but d’am´eliorer la pr´ediction de la cin´ematique.
Si on n´eglige l’influence de la gravit´e sur la cin´ematique, la profondeur de p´en´etrationh(t) v´erifie l’EDO :
On en d´eduit :
Ce mod`ele n’est n´eanmoins pas adapt´e au probl`eme. En effet, la gravit´e joue un rˆole non n´egligeable sur la cin´ematique, comme le montre en particulier la figure 7.25. Il faut en tenir compte au mieux si l’on souhaite pr´edire les chargements de mani`ere r´ealiste.
7.4.2 Solution num´ erique du mod` ele de Wagner lin´ earis´ e (SN)
Dans le paragraphe pr´ec´edent, un certain nombre d’approximations sur la forme ainsi que sur la d´efinition de la masse ajout´ee ont ´et´e effectu´ees pour pouvoir extraire une solution compl`etement analytique du probl`eme. On se propose de r´esoudre le probl`eme de Wagner lin´earis´e sous une forme moins approch´ee. [Taylor, 1930], donne l’expression suivante pour la masse ajout´ee d’un cylindre de rayon R :
Ma=Caρa2, (7.11)
o`u a(t) est la correction mouill´ee, i.e. la coordonn´ee horizontale du point de contact entre la surface libre et la surface mouill´ee
Ca= π(ν2+ 2) la masse ajout´ee (7.5). Il faut toutefois garder `a l’esprit qu’en pratique le mod`ele de Wagner lin´earis´e n’est valide que pour de faible p´en´etration (h a). Entre ces deux valeurs, Ca est born´e par 3π/4 et π(cf. figure 7.24 (gauche)). Cela signifie que la masse ajout´ee qui est pr´edite dans ce cas est toujours un peu plus faible que pr´ec´edemment, comme le montre la figure 7.24 (droite).
Fig.7.24 – Coefficient de masse ajout´eeCa (gauche) et masse ajout´eeMa (droite) en fonction de la correction mouill´eea(t). Les d´efinitions 7.5 (Wagner) et 7.12 (Taylor) sont utilis´ees
La correction mouill´ee est calcul´ee grˆace `a la formule donn´ee par [Korobkin, 2004] : da
dt = −πV(t)
2E0(α), α = a(t)
R , (7.13)
o`u E0(α) = E(α)−K(α)α et K(α), E(α) sont les int´egrales elliptiques compl`etes de premi`ere et deuxi`eme esp`ece respectivement. Cette solution n’est valable que pour h a, c’est `a dire pour des corps pr´esentant un faible angle mort. La vitesse de p´en´etration V(t) v´erifie la loi de Newton
MdV
dt = −d(MaV)
dt + M g, (7.14)
o`uM est la masse totale du syst`eme et g l’acc´el´eration de la pesanteur. A nouveau, la gravit´e est rajout´ee dans la loi de Newton pour se rapprocher au mieux de la cin´ematique observ´ee exp´erimentalement. Elle n’est toujours pas prise en compte dans le mod`ele hydrodynamique `a proprement parler. Le syst`eme est alors ferm´e et peut donc ˆetre int´egr´e en temps `a l’aide d’un sch´ema num´erique classique.
Mod`ele de Wagner G´en´eralis´e (GW)
Une formulation de Wagner g´en´eralis´ee est utilis´ee pour ´etudier le probl`eme. La correction mouill´ee n’est pas recalcul´ee `a proprement parler dans cette approche. L’histoire de celle ci est reconstruite `a l’aide de l’histoire de la p´en´etration, mesur´ee par Krypton, et de la forme de la section du cylindre impactant. Dans ce cas, la masse ajout´ee est donn´ee en 3.4.3 :
Ma = ρπ 2
∞
X
n=0
nA2n. (7.15)
LesAn sont les coefficients de la d´ecomposition en une s´erie de Fourier en θ, de la coordonn´ee horizontale x le long du contour du corps. Dans ce cas, θ repr´esente la coordonn´ee azimutale param´etrisant la surface du corps.
R´esultats
Les r´esultats num´eriques sont recal´es sur les r´esultats exp´erimentaux `a l’aide de la vitesse de chute, en jouant sur le rayon de courbure. La vitesse verticale de chute est obtenue en d´erivant le signal Krypton suivant z. A l’instant de contact initial, la vitesse vaut 3.2 m/s, ce qui est inf´erieur `a la vitesse de chute libre√
2gh∼5 m/s.
L’instant de contact initial peut ˆetre d´etermin´e en s’int´eressant `a la position verticale en fonction du temps, i.e. au signal issu de Krypton (voie K3). A l’instant de contact initial, cette courbe pr´esente un net changement de pente. Le temps correspondant permet ensuite d’obtenir la vitesse de chute au moment de l’impact. Etant donn´e la taille du syst`eme, on peut penser que c’est le frottement dans l’air qui en est responsable. Au tout d´ebut de l’impact, l’attraction de la pesanteur domine par rapport `a la force hydrodynamique. Il en r´esulte que le syst`eme continue `a ˆetre acc´el´er´e pendant quelques centi`emes de secondes. La vitesse de chute est repr´esent´ee en figure 7.25. Sur cette figure, la solution ’SA’ repr´esente la solution analy-tique du mod`ele de Wagner lin´earis´e, obtenue en (7.7). ’SN’ repr´esente la solution obtenue par int´egration en temps de (7.14), la masse ajout´eeMa ´etant obtenue par un mod`ele de Wagner lin´earis´e. L’int´egration en temps de cette ´equation, pour des valeurs de la masse ajout´ee issues d’un mod`ele de Wagner g´en´eralis´e (7.15), fournie la solution ’GWM’. Les r´esultats de ces trois
mod`eles sont compar´es aux r´esultats exp´erimentaux (Exp.). Dans chacun de ces cas, l’histoire de la p´en´etration correspondante est repr´esent´ee en figure 7.26.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
V (m/s)
t (s)
Exp SN GW SA
Fig. 7.25 – Vitesse de p´en´etration du syst`eme aux premiers instants. La ligne verticale rep`ere l’instant du contact initial. ’SA’ : Solution analytique du mod`ele lin´earis´e, ’SN’ : Solution num´erique du mod`ele lin´earis´e, ’GWM’ : mod`ele de Wagner g´en´eralis´e, ’Exp.’ : R´esultats exp´erimentaux
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
h (m)
t (s) Exp
SN GW SA
Fig.7.26 – Histoire de la p´en´etration aux premiers instants. La ligne verticale rep`ere l’instant du contact initial
L’histoire du chargement hydrodynamique est compar´ee aux donn´ees exp´erimentales en terme d’effort dans les liaisons en figure 7.27. On note une bonne corr´elation entre les deux.
En particulier, on montre que l’on est capable de pr´edire le maximum des efforts. Les fluctua-tions de fr´equence relativement faibles qui apparaissent dans les donn´ees exp´erimentales sont vraissemblablement li´ees au mouvement des flotteurs par rapport au bˆati.
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
F (N)
t (s)
Exp SN GW
Fig. 7.27 – Comparaison des efforts hydrodynamiques calcul´es aux efforts mesur´es dans les liaisons
La valeur du maximum des efforts lors de l’impact des flotteurs est report´ee en table 7.2.
Les valeurs obtenues grˆace au mod`ele de Wagner y sont ´egalement report´ees. Dans le cas du premier mod`ele, l’erreur commise augmente avec la hauteur de chute. Pour la hauteur de chute maximum consid´er´ee, elle est de l’ordre de 15%. Dans le second, c’est le contraire et l’erreur est moindre puisqu’elle est au maximum de 5.33%.
fichier h (cm) timp (s) Fmes (N) Fcal (LW) err. relative (%) Fcal (GW) err. relative (%)
07041306 0 11.6442 8306 8048 0.31 8749 5.33
08041132 5 20.9318 9082 8943 1.53 9254 1.89
08041229 10 20.2368 9419 9686 2.83 9607 1.99
08041603 15 23.4585 9662 10255 6.14 9876 2.21
08041616 20 23.2269 10154 11046 8.78 10205 0.5
09041147 30 0.3858 10679 12361 15.75 10706 0.25
Tab. 7.2 – Valeurs du maximum des efforts au cours de l’entr´ee dans l’eau du dispositif ex-p´erimental
8000 8500 9000 9500 10000 10500 11000 11500 12000 12500
0 5 10 15 20 25 30
F max. (N)
h (cm) Exp
SN GW
Fig. 7.28 – Comparaison du maximum des efforts calcul´es par des mod`eles de Wagner `a ceux mesur´es dans les liaisons pour diff´erentes valeurs de la hauteur de chute