Comparaison des r´ esultats des diff´ erentes th´ eories pr´ esent´ ees

Tous les mod`eles analytiques s’int´eressant aux joints `a simple ou double recouvrement n’ont pas ´et´e cit´es mais le choix des mod`eles pr´esent´es permet de se repr´esenter les divers degr´es de complexit´e rencontr´es lorsqu’on s’int´eresse `a la d´etermination analytique des champs de contrainte dans un joint coll´e fonctionnant en cisaillement. On notera toutefois qu’il existe un autre type d’analyse portant sur l’utilisation de d´eveloppements asymptotiques qui ne sera pas approfondi ici (Leguillon et al. (2003)). Pour pouvoir se faire une id´ee des diff´erences entre les th´eories pr´esent´ees ci-dessus, l’analyse de deux joints coll´es a ´et´e r´ealis´ee avec les diff´erentes th´eories analytiques pr´esent´ees et un mod`ele num´erique, en l’occurence un mod`ele ´el´ement fini 3D sous l’hypoth`ese de d´eformations planes r´ealis´e avec le logiciel Abaqus. Les deux joints calcul´es sont un joint `a simple recouvrement et un joint `a double recouvrement. Pour v´erifier les in´egalit´es pos´ees par Goland et al. (1944), les propri´et´es du joint `a simple recouvrement sont l´eg`erement diff´erentes. On notera que dans les deux cas l’anisotropie prise en compte est importante pour les adh´erents, ceci pour mettre en ´evidence les modifications apport´ees par cette propri´et´e.

Le joint `a simple recouvrement Dans le cas du joint `a simple recouvrement, l’excentricit´e de l’application des efforts entraˆıne de mani`ere ´evidente une contrainte d’arrachement au niveau du joint de colle. Celui-ci n’est pas pris en compte dans la th´eorie de O. Volkersen, et il est donc normal que les r´esultats donn´es par la th´eorie de Goland et Reissner (qui pour rappel prend en compte le moment du `a l’excentricit´e des efforts) conduisent `a des r´esultats assez diff´erents. Les caract´eristiques du joint `a simple recouvrement utilis´ees sont donn´ees dans le tableau2.1.

Couche

Adh´erent 1 2 210000 20000 0.3 100

Adh´erent 2 2 210000 20000 0.3 100

Colle 0.25 2600 1000 0.3 100

Tab. 2.1: Les propri´et´es du joint du joint `a simple reocuvrement ´etudi´e

On notera que le profil de cisaillement est concentr´e aux deux extr´emit´es et que le collage initie des ph´enom`enes de concentrations de contrainte. Les profils de cisaillement et d’arrache-ment donn´es par les th´eories de O. Volkersen, Goland et Reissner, et Tsai, Oplinger et Morton et calcul´es en ´el´ements finis sous Abaqus pour un mˆeme chargement sont trac´es en figure2.5. La prise en compte de l’anisotropie des mat´eriaux par la th´eorie de Tsai, Oplinger et Morton r´eduit quant `a elle consid´erablement le ph´enom`ene de concentrations de contrainte pour le champ de cisaillement. On notera que la contrainte d’arrachement est loin d’ˆetre n´egligeable et que dans le cas des joints coll´es `a simple recouvrement, elle peut jouer un rˆole pr´epond´erant. La concen-tration de contrainte observ´ee aux extr´emit´es pour le cisaillement est ´egalement observ´ee sur le champ d’arrachement. La correspondance entre les r´esultats analytiques et le calcul num´erique est relativement bonne dans ce cas. Il convient toutefois de rappeler que la th´eorie de Goland et

Le transfert des efforts dans un joint coll´e 45 Reissner ne s’applique que dans un domaine limit´e.

Fig.2.5: Contraintes de cisaillement (gauche) et d’arrachement (droite) le long du joint de colle pour un joint `a simple recouvrement

Le joint `a double recouvrement Les caract´eristiques du joint `a double recouvrement uti-lis´ees sont donn´ees dans le tableau 2.2. Il a ´et´e ici d´ecid´e de s’int´eresser `a des adh´erents plus souples et plus ´epais pour s’approcher des essais qui seront pr´esent´es dans les chapitres suivants.

Couche consid´er´ee

Epaisseur, en mm

Module d’Young, en MPa

Module de ci-saillement, en MPa

Coefficient de Poisson

Longueur, en mm

Adh´erent 1 5 35000 2500 0.3 100

Adh´erent 2 5 35000 2500 0.3 100

Colle 0.25 2600 1000 0.3 100

Tab.2.2: Les propri´et´es du joint `a double recouvrement ´etudi´e

Dans le cas du joint `a double recouvrement, on pourrait croire `a tort qu’il n’existe pas d’efforts d’arrachement. En fait, ceux-ci existent bel et bien `a cause de la condition d’´equilibre des efforts internes, mais ils sont de deux natures diff´erentes aux deux extr´emit´es. Les efforts sont en compression `a l’une des extr´emit´es et en traction `a l’autre extr´emit´e (figure 2.7). Pour ce qui concerne le cisaillement, la th´eorie de O. Volkersen se r´ev`ele ˆetre beaucoup plus ad´equate.

Elle tombe cependant en d´efaut lorsque les adh´erents sont fortement anisotropes (figure 2.6 : pour des soucis de clart´e, les courbes ont ´et´e repr´esent´ees sur deux graphiques diff´erents). On notera que dans les deux cas (cisaillement et arrachement) l’hypoth`ese de calcul en 2D induit des champs diff´erents. Pour rappel, la th´eorie de O. Nemes consid`ere une hypoth`ese de contraintes planes, alors que les autres th´eories se placent en d´eformations planes. Ceci se traduit par des

concentrations de contrainte, et des valeurs maximales diff´erentes. L’hypoth`ese de d´eformations planes semble plus adapt´ee aux joint coll´es car ils sont bien souvent suffisamment larges. On notera cependant que la th´eorie de O. Nemes permet d’obtenir un champ de contrainte admissible puisqu’il v´erifie la nullit´e au bord.

Fig.2.6: Contrainte de cisaillement le long du joint de colle pour un joint `a double recouvrement

Fig.2.7: Contrainte d’arrachement le long du joint de colle pour un joint `a double recouvrement

En ce qui concerne la comparaison entre les r´esultats analytiques et les r´esultats du calcul

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el´ements finis, on notera qu’on obtient des r´esultats pratiquement confondus lorsqu’on utilise le logiciel MacLam qui s’appuie sur un d´eveloppement analytiques. Ceci avait d´ej`a ´et´e not´e dans Hadj-Ahmed (1999) et ne fera donc pas l’objet d’investigations particuli`eres dans cette ´etude.

L’int´erˆet de l’´etude d’Adams et Pepiatt r´eside dans la prise en compte d’efforts de cisaillement plan dus `a l’effet de Poisson des adh´erents soumis `a de la traction. Cet effet est loin d’ˆetre n´egligeable comme on peut le voir en figure2.8. On pourra noter que l’insertion d’un cisaillement

Le transfert des efforts dans un joint coll´e 47 plan r´eduit un peu la valeur du cisaillement transverse. En terme d’efforts, dans le cas du joint

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a double recouvrement, le cisaillement transverse reste la partie pr´epond´erante des contraintes existant dans le joint de colle (d’autant plus lorsque les mat´eriaux sont isotropes). Si on souhaite prendre en compte d’autres efforts, on devra ´egalement s’int´eresser `a l’arrachement mais aussi au cisaillement plan. Enfin, si l’existence pour les th´eories 2D de concentrations de contrainte au bord a ´et´e d´emontr´ee, la th´eorie d’Adams et Peppiatt permet de d´emontrer qu’en r´ealit´e dans le cas 3D, il existe des concentrations de contrainte dans les coins du joint. Un calcul en 3D a

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et´e ´egalement effectu´e avec le logiciel Abaqus, et les mˆemes remarques ont pu ˆetre effectu´ees.

Le cisaillement plan maximal a ´et´e d´etermin´e ´egal `a 11.7 MPa ce qui est proche des valeurs analytiques de la m´ethode d’Adams et Pepiatt pour le joint ´etudi´e.

Fig. 2.8: Contrainte de cisaillement transverse le long du joint de colle pour un joint `a double recouvrement selon la th´eorie d’Adams et Peppiatt

La th´eorie analytique la plus utilis´ee, encore aujourd’hui, reste celle de 0. Volkersen car elle reste simple et n’implique qu’une seule expression. Comme on a pu le voir, de nombreux autres mod`eles ont ensuite vu le jour pour prendre en compte l’arrachement, la d´eformation en cisaillement des adh´erents, ou encore les contraintes plans dues `a l’effet Poisson. D’autres auteurs se sont ´egalement int´eress´es `a l’obtention de champs admissibles qui v´erifient les conditions de nullit´e aux bords en approchant par exemple les contraintes par des m´ethodes asymptotiques.

On pourra se reporter `a Matthews et al. (1982) pour obtenir des informations sur les autres travaux existants.