Comparaison entre les modèles expérimental et analytique

V (a) - Flotteur 1, l=0.05m, Γ=0.05m, Hf=0.20m Rc/D=14 Rc/D=7 Rc/D=1.4 Rc/D=0.7 Rc/D=0.28 10−3 10−2 10−1 10−2 10−1 100 101 102 D/λ ∆ V (b) - Flotteur 6, l=0.05m, Γ=0.25m, Hf=0.40m

FIGURE7.3 – Variations du ratio de franchissements expérimental ∆_Vselon le nombre adimensionnel D/λ. (a) flotteur 1, l=0.05 m, Γ=0.05 m et Hf =0.20 m. (b) flotteur 6,

l=0.05 m, Γ=0.25 m et Hf =0.40 m.

7.1.2 Comparaison entre les modèles expérimental et analytique

On rappelle que les franchissements analytiques sont exprimés à partir de la formule de VAN DERMEER[118]. La partie3.7présente l’ensemble des formules des franchissements analytiques.

Les ratios de franchissements expérimental et analytique en fonction de la période adimension-nelle sont tracés dans la Figure 7.4 pour les flotteurs 1, 6 et 8. Les résultats de franchissements du flotteur 10 ne sont pas exprimés avec le modèle analytique. En effet, le modèle analytique ne permet pas de simuler le comportement d’un flotteur entièrement submergé. Un tel cas ne respecte pas les conditions de continuité et conditions aux limites sur le contour du flotteur.

La Figure7.4montre que pour les flotteurs 6 et 8, la tendance globale est similaire pour les résul-tats expérimentaux et analytiques. En se rappelant que le modèle analytique est un modèle potentiel et non-visqueux, la différence entre les modèles analytique et expérimental peut être expliquée par une dissipation d’énergie entre la digue et le flotteur. En effet, le confinement du fluide dans la zone (1) induit une perte de charges ∆P^{, exprimée selon l’équation de B}LASIUS [13] (Équation 7.1), où R_c+Γest la longueur de la zone de confinement du fluide, D sa largeur, Λ le coefficient de friction

7.1. Étude de l’impact d’un flotteur sur les franchissements de digue 107 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10−2 10−1 100 101 102 T /T0 ∆ V (a) - Flotteur 1, l=0.05m, Γ=0.05m, Hf=0.20m Rc/D=14 Rc/D=7 Rc/D=1.4 Rc/D=0.7 Rc/D=0.28 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10−2 10−1 100 101 102 T /T0 ∆ V (b) - Flotteur 1, l=0.05m, Γ=0.05m, Hf=0.20m 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10−2 10−1 100 101 102 T /T0 ∆ V (c) - Flotteur 6, l=0.05m, Γ=0.25m, Hf=0.40m 0.5 1 1.5 2 2.5 10−2 10−1 100 101 102 T /T0 ∆ V (d) - Flotteur 6, l=0.05m, Γ=0.25m, Hf=0.40m 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10−2 10−1 100 101 102 T /T₀ ∆ V (e) - Flotteur 8, l=0.15m, Γ=0.25m, Hf=0.40m 0.5 1 1.5 2 2.5 10−2 10−1 100 101 102 T /T₀ ∆ V (f) - Flotteur 8, l=0.15m, Γ=0.25m, Hf=0.40m ∆VA ∆VAFcorr ∆V ∆V = 1

FIGURE7.4 – Comparaison entre les résultats expérimentaux (∆_V), analytiques (∆_VA) et analytiques avec correction (∆_VAFcorr) : variations du ratio de franchissements selon la période adimensionnelle T/T₀. (a) et (b) flotteur 1, l=0.05m, Γ=0.05m et Hf=0.20m. (c) et (d) flotteur 6, l=0.05m, Γ=0.25m et Hf=0.40m. (e) et (f) flotteur 8, l=0.15m, Γ=0.25m et Hf=0.40m. Les lignes en symboles pleins représentent les résultats analytiques, les lignes en pointillés les modèle analytique corrigé et les symboles vides représentent les

résultats expérimentaux. et ˙z_0z1la vitesse verticale du fluide dans la zone (1).

∆P = ¹₂Λρ ˙z²_0z1R_c+Γ

Ainsi une fonction de correction est proposée pour le modèle analytique, et est définie à par-tir de la différence relative entre l’énergie cinétique du fluide Ec_f = ¹₂ρV² et les pertes de charges (Équation7.2). L’expression du ratio de franchissements analytique est rappelée au chapitre3, équa-tion3.96, comme étant le ratio des franchissements analytiques avec et sans flotteur.

∆VA_Corr =∆VAF_corr avec F_corr = Ec_f −∆P

Ec_f =1−ΛR_c+Γ

D ^(7.2)

On remarque que le paramètre d’ajustement numérique dans l’expression de F_corr correspond au coefficient de pertes de charges Λ apparaissant dans l’expression des pertes de charges (Équation7.1). En fonction des valeurs prises par le nombre de Reynolds Re, le coefficient est habituellement ex-trait des différents diagrammes comme le diagramme de Moody, de Blasius ou Colebrook-White. Le nombre de Reynolds varie sur trois ordres de grandeur :Reest dans la gamme de 2×102à 2×105

pour les essais réalisés. Les valeurs de Λ correspondantes, extraites des différents diagrammes pré-cédemment cités sont donc variables. De plus, elles ne donnent pas de résultats satisfaisants pour la fonction de correction (correction parfois négative ou trop forte). Afin de déterminer une correc-tion globale, la valeur de Λ est définie par ajustement de courbes entre les résultats analytiques et expérimentaux. L’application du CMA-ES HANSEN [50] sur les présents résultats donne une solu-tion globale optimale de Λ_opt = 0.012. Cette solution a un effet très significatif sur la fonction de correction F_corr à cause des fortes valeurs de(R_c+Γ)/D.

La valeur obtenue pour Λoptest comparée avec les valeurs de différentes formules de coefficient de friction données dans la littérature pour des écoulements stationnaires. Ces formules dépendent du nombre de ReynoldsRe = VD/ν (où ν représente la viscosité cinématique) et de la rugosité des murs ε. Pour les actuelles conditions de tests, le coefficient de rugosité est estimé à ε≈1.5×10−3mm pour le plastique PVC. Différentes expressions des coefficients de pertes de charges peuvent être uti-lisées selon la valeur du nombre de ReynoldsRe(SAVI ´Cet al. [108], COLEBROOKet al. [22] et BLASIUS [13]). Ces formules sont présentées dans les Équations7.3à7.5.

— Écoulement laminaire :Re<2000 : Λ= _R⁶⁴_e

⇒ 0.032≤Λ≤0.32 (7.3)

— Équation de Blasius (murs lisses et écoulement turbulent) : Λ=0.3164R⁻e^0.25

⇒ 0.02≤Λ≤0.1 (7.4) — Équation de Colebrook-White :Re>4000 : √¹ Λ = −2log^{ 2.51} Re√ Λ +_3.7D^{ǫ } ⇒ 0.01≤Λ≤0.05 (7.5)

La valeur optimale du coefficient de friction Λ_opt est proche de la valeur minimale de Λ. Ce-pendant, l’écoulement étudié expérimentalement est fortement instationnaire. NAZAR, AMINet POP [90] ont montré que les coefficients de friction sont plus faibles dans ce type de cas, en comparaison

7.1. Étude de l’impact d’un flotteur sur les franchissements de digue 109

avec les écoulements stationnaires. Ce qui peut expliquer pourquoi la valeur obtenue pour le coef-ficient Λoptest proche des valeurs minimales de Λ et confirme la correspondance énergétique de la fonction de correction (Équation7.2). Des essais complémentaires doivent être réalisés pour obtenir une approche plus détaillée sur le coefficient de correction Λoptprésent dans la correction du modèle analytique. 10−3 10−2 10−1 10−2 100 102 104 D/λ ∆ P (P a/m ) (a) Flotteur 6, l=0.05m, Γ=0.25m, Hf=0.40m Rc/D = 14 Rc/D = 7 Rc/D = 1.4 Rc/D = 0.7 Rc/D = 0.28 10−3 10−2 10−1 10−2 10−1 100 101 102 D/λ ∆ V (b) - Flotteur 6, l=0.05m, Γ=0.25m, Hf=0.40m ∆VAFcorr ∆V ∆V = 1 Rc/D=14 Rc/D=7 Rc/D=1.4 Rc/D=0.7 Rc/D=0.28

FIGURE7.5 – (a) Variations des pertes de charges selon D/λ où Λ est calculé avec la for-mule de Blasius (Équation7.4) ,Flotteur 6, l=0.05m, Γ=0.25m et H_f=0.40m. (b) Variations du ratio de franchissements ∆_Vselon D/λ, flotteur 6, l=0.05m, Γ=0.25m et H_f=0.40m. Les lignes en pointillés représentent le modèle analytique corrigé avec Λoptet les

sym-boles vides représentent les résultats expérimentaux.

La Figure7.5(a) représente les variations des pertes de charges ∆P, où Λ est calculé avec la for-mule de Blasius d’après l’équation7.4 entre la digue et le flotteur, selon le nombre adimensionnel D/λ pour le flotteur 6 et pour différentes valeurs de R_c/D. Pour l’ensemble des dégagements, les pertes de charges montrent une évolution similaire aux franchissements : le maximum est atteint pour une valeur de D/λ correspondant à la résonance du flotteur. A l’exception des petit dégage-ments, ce maximum décroît pour des valeurs de Rc/D décroissantes. Par conséquent, les pertes de charges sont amplifiées par la résonance du flotteur. Plus le flotteur est éloigné de la digue, plus les pertes de charges sont faibles.

La Figure7.4expose les résultats obtenus à partir du modèle analytique corrigé (lignes en poin-tillés) et du modèle expérimental. La concordance de ces modèles est satisfaisante pour les flotteurs 6 et 8. En effet, pour de fortes valeurs de Rc/D, le modèle analytique corrigé est très proche du mo-dèle initial et des résultats expérimentaux. Pour les faibles dégagements, le momo-dèle initial n’est pas satisfaisant. Le modèle analytique corrigé est plus proche des résultats expérimentaux que le modèle initial. Par conséquent, les présents résultats montrent que le modèle analytique corrigé peut être utilisé pour l’estimation des franchissements. Une exception doit être faite pour le flotteur 1, lorsque en même temps les valeurs du tirant d’eau Γ et du dégagement sont petites devant la revanche R_c, soit d’après les résultats expérimentaux obtenus lorsque Γ/Rc < 1 et Rc/D > 2. Dans ce cas, le flot-teur agit comme une augmentation artificielle de la revanche de la digue et les franchissements sont réduits.

La Figure7.5(b) représente les variations du ratio de franchissements ∆V avec D/λ pour le flot-teur 6. Les résultats expérimentaux actuels sont comparés avec les estimations obtenues par le modèle analytique corrigé. Le ratio de franchissements prédits par le modèle analytique est en bon accord avec les résultats expérimentaux. Pour chaque valeur de Rc/D, le ratio de franchissements obtenu par le modèle analytique augmente lorsque D/λ augmente, jusqu’à ce qu’un pic de valeurs soit at-teint, correspondant à la résonance du flotteur. À la résonance, un puissant jet d’eau est créé entre la digue et le flotteur (zone (1) - phénomène observé pendant les tests). Le ratio ∆V décroit pour de plus importantes valeurs de D/λ. En d’autres termes, le flotteur induit une réduction des franchissements lorsque ce dernier est proche du quai, et pour des périodes supérieures à la période de résonance. Pour de plus grandes valeurs de dégagement, l’eau n’est plus confinée entre la digue et le flotteur, le ratio de franchissements diminue.

7.2 Conclusion partielle

Les franchissements de digue ont été évalués grâce aux modèles analytique et expérimental. Les résultats présentés montrent que la période de houle, le dégagement et le tirant d’eau du flotteur sont les paramètres les plus significatifs pour les franchissements. Grâce à une correction par l’ajout d’un terme de pertes de charges entre la digue et le flotteur dans la formule de Van Der Meer (2002), le modèle analytique est proche du modèle expérimental. Cette correction est définie à partir d’une recherche de la solution optimale du coefficient de pertes de charges via un algorithme génétique. Cette correction pourrait être améliorée avec une estimation plus précise du coefficient de pertes de charges.

Les franchissements sont corrélés avec le comportement du flotteur. Lorsque le flotteur entre en résonance, les franchissements sont amplifiés. Les résultats de franchissements montrent que lorsque le dégagement est faible et la période de houle importante, la présence du flotteur réduit les franchis-sements de digue.

111

8 Conclusions et perspectives

8.1 Conclusion

L’objectif principal de ce présent projet est d’étudier le comportement d’un système oscillant bord à quai, en particulier l’interaction entre une digue verticale et un flotteur. Le système étudié est un modèle simplifié, composé d’un flotteur de section rectangulaire à proximité d’une digue verticale. Le mouvement du flotteur est limité aux oscillations verticales. Cette étude présente l’impact de la digue sur le comportement du flotteur, mais également l’impact de la présence du flotteur sur les franchissements de digue. Afin de réaliser cette étude, trois modèles ont été développés. Un modèle analytique linéaire est développé selon le modèle de ZHENGet al. [128]. Un modèle numérique résol-vant les équations de Navier-Stokes complété par un modèle k−ǫest mis au point. Enfin un modèle expérimental est élaboré et sert de référence aux deux autres modèles.

Un modèle analytique bidimensionel a été développé selon le modèle proposé par ZHENGet al. [128]. Le modèle permet d’obtenir les coefficients hydrodynamiques pour une houle linéaire. Pour calculer ces coefficients, le modèle analytique utilisé est basé sur une solution des potentiels de houle d’après la décomposition de Haskind et le modèle de ZHENGet al. [128]. La théorie d’écoulement potentiel est utilisée. Les potentiels de houle sont écrits avec des coefficients inconnus qui sont résolus par la méthode d’ajustement de fonctions propres. Les coefficients hydrodynamiques sont ensuite calculés à partir de ces potentiels et le comportement du flotteur est étudié. Deux versions du modèle analytique sont réalisées : une version avec digue et une version sans digue. Les franchissements de digue sont également exprimés grâce au modèle analytique et à la formule de Van Der Meer (2002).

Un modèle numérique est réalisé sous ANSYS Fluent (modèle bidimensionel). Ce modèle résout numériquement les équations de Navier-Stokes en formulation RANS. La turbulence est modélisée par le modèle k−ǫ. Deux types de simulations sont réalisées. Dans la première, le flotteur est en mouvement sous l’action de la houle : l’amplitude de houle et le mouvement du flotteur sont ainsi obtenus. Dans la seconde, le flotteur est en mouvement imposé dans une eau calme : la force qui s’exerce sur le flotteur permet d’obtenir les coefficients de radiation numériques.

Enfin, un modèle expérimental est développé. Une maquette du flotteur occupe toute la largeur du canal afin de reproduire un modèle bidimensionel. L’amplitude de houle est mesurée par des sondes résistives, le mouvement du flotteur par une caméra. Les franchissements de digue sont éga-lement mesurés. L’eau passant au dessus de la digue est pompée et quantifiée avec des capteurs vo-lumétriques avant d’être rejetée dans le canal pour maintenir un niveau d’eau moyen. Pour chaque cas, deux mesures sont effectuées : une avec flotteur et une sans flotteur. Le traitement des mesures est effectué sous le logiciel MATLAB. Les résultats obtenus par le modèle expérimental servent de références aux résultats obtenus par les deux autres modèles. Un vérin hydraulique est utilisé pour la

modélisation d’une force de PTO linéaire. Des essais avec et sans le système de modélisation d’éner-gie sont réalisés.

Des flotteurs de différentes dimensions ont été testés par les trois modèles. Les conditions de houle utilisées sont inspirées des conditions de houle du site d’Esquibien (Bretagne). La majorité des essais ont été réalisés en houle régulière.

Le comportement du système est comparé entre les trois modèles. Dans un premier temps, le comportement d’un flotteur sans vérin hydraulique est étudié. Les résultats obtenus dans cette étude ont montré que les résultats des modèles numérique et expérimental sont en bon accord. De plus, lorsque le tirant d’eau du flotteur augmente, l’amplitude et la pulsation de résonance des flotteurs augmentent. L’écart entre le modèle analytique et les modèles numérique et expérimental s’accroît avec le tirant d’eau. Par conséquent, lorsque le tirant d’eau est important l’amplitude et la pulsation de résonance ne sont plus cohérentes avec le modèle analytique, en particulier à la résonance du flotteur. A contrario, pour les faibles tirants d’eau le modèle analytique est proche des résultats des deux autres modèles. Ainsi le modèle analytique est valide pour de faibles tirants d’eau et lorsque le flotteur est suiveur de houle.

Les tourbillons observés numériquement aux coins des flotteurs dépendent fortement du tirant d’eau. Plus ce dernier est grand, plus les tourbillons sont importants. Le modèle analytique ne modé-lise ni les tourbillons ni la turbulence, ce qui explique les différences observées avec les deux autres modèles.

Il a également été montré que la présence de la digue diminue la pulsation de résonance du flot-teur par rapport au cas sans digue. En effet, une modification des coefficients hydrodynamiques est observée en présence de la digue. De plus, un pic de valeur des coefficients hydrodynamiques ap-paraît pour certaines valeurs de kΓ, et notamment un pic où la masse ajoutée adimensionnelle cm est négative, voire inférieure à−^{1. Ces valeurs inférieures à}−^{1 sont liées à un phénomène de résonance} de houle entre la digue et le flotteur. Un pic des coefficient de réflexion analytique et expérimental a été observé pour les mêmes nombres d’ondes que le pic de masse ajoutée, correspondant au même phénomène de résonance. Pour comprendre l’origine de ces valeurs, des essais ont été réalisés pour différentes valeurs de dégagement. La comparaison entre les modèles du comportement du flotteur pour différents dégagements a montré que lorsque le dégagement est important, l’amplitude du flot-teur tend rapidement vers zéro lorsque la pulsation et plus grande que la pulsation de résonance du flotteur.

Une correction du modèle analytique est proposée. II est montré dans un premier temps que la correction du modèle analytique par l’ajout d’un terme de traînée n’est pas suffisant : la pulsation de résonance n’est pas suffisamment corrigée à cause de la présence de la digue. Une seconde correction est alors proposée sur les coefficients de radiation. La correction est définie en fonction des grandeurs du système. La comparaison avec le modèle corrigé montre un bon accord avec les résultats numé-riques et expérimentaux. D’après cette correction, il apparaît que le rapport du tirant d’eau sur la largeur du flotteur est le paramètre influençant le plus le comportement du flotteur.

Par la suite, les modèles analytiques initial et corrigé sont comparés aux essais expérimentaux avec PTO. Au total, deux valeurs d’amortissement des vérins sont modélisés en houle régulière et irrégulière. D’après les résultats obtenus avec PTO, les modèles analytiques initial et corrigé sont