Modélisation d’une plaque flexible forcée
4.7 Comparaison avec les données de la littérature Pour valider la modélisation développée, nous avons confronté des prédictions
du modèle théorique avec les expériences faites au sein du groupe de A. Smits [67] (Princeton University). Leur expérience est proche de la nôtre, avec un profil de type plaque mince flexible rectangulaire activée en pilonnement, avec l’amplitude d’oscillation tenue constante. Les paramètres à implanter dans le modèle sont la masse volumique de la plaque ρ∗
pen acier égale à 7800 kg.m−3, la rigidité en flexion (par unité d’envergure) B = 2.130 N.m du profil, dont l’épaisseur est de 0.66 mm et la demi-corde C = 0.0975 m. Le profil est immergé dans un écoulement de vitesse 0.11 m.s−1 et soumis à un forçage harmonique d’amplitude ALE = 0.01 m. La fréquence propre de la plaque est déterminée par la relation (4.68) et vaut
F0 = 2.08 Hz. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ω/ω0 aT E / aL E (a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ω/ω0 fT / a 2 LE ω 2 (b) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 1 2 ω/ω0 ̟ / a 2 LE ω 2 (c) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.03 0.06 0.09 0.12 ω/ω0 η (d)
Figure4.15 – Comparaison des données obtenues expérimentalement par Quinn et al., (2013) [67] avec les prédictions du modèle développé : (a) l’amplitude de réponse, (b) la poussée générée, (c) la puissance nécessaire au système et (d) l’efficacité de Froude pour
aLE = 0.103, u = 0.016 et b = 190.2 (rigidité par unité d’envergure).
La valeur de la dissipation non linéaire, estimée à cD = 12 dans notre cas, est conservée pour décrire le mouvement du système de Quinn et al. (2013) tandis que les coefficients de dissipation linéaire (fluide et visco-élastique) sont négligés. La dynamique de la plaque est décrite par le premier mode propre d’une poutre
4.8 Discussion Discussion
dans le vide. Nous obtenons alors les courbes d’évolution sur la figure 4.15 : (a) de l’amplitude de réponse, (b) de la poussée générée par le battement, (c) de la puissance moyenne nécessaire et (d) de l’efficacité de Froude. De façon similaire à nos résultats, ces évolutions sont tracées en fonction de la fréquence de forçage, quand l’amplitude d’oscillation et la vitesse d’écoulement sont fixées. Ces essais de réponse fréquentielle du système montrent des maxima localisés, avec un premier pic à la fréquence ω/ω0 ≈ 0.8. L’amplitude de forçage dimensionnée imposée est équivalente à l’amplitude intermédiaire de notre cas. Le modèle prédit correctement l’évolution tant en magnitude qu’en fréquence des quantités mesurées, avec néan-moins une sur-estimation de la poussée et de la puissance. Ceci est certainement dû au fait que les amortissements linéaires ont été négligés, puisque les données expérimentales manquent.
4.8 Discussion
À partir des observations expérimentales du chapitre 3, nous avons développé un modèle bidimensionnel inviscide faiblement non linéaire. Dans ce modèle, les non linéarités émergent d’une force de traînée transverse. Elles sont dues au mou-vement de la plaque et agissent comme un amortissement quadratique. Les termes non linéaires cubiques ont été négligés par souci de simplification du modèle. La magnitude de cette traînée, ajustée à travers le coefficient de traînée cD, est le seul paramètre libre dans notre modèle et a été réglé plus ou moins arbitrairement pour coïncider avec les réponses fréquentielles menées pour différentes amplitudes. Une fois ce paramètre fixé, il garde cette valeur pour toutes les configurations simulées. L’accord entre les observations expérimentales et les prédictions du modèle est alors excellent pour les deux premières résonances, et ce, quelque soit l’amplitude de battement testée (petite ou grande).
À partir du modèle, la poussée moyenne générée par le battement de la plaque flexible est calculée. En complément, la puissance moyenne nécessaire à l’activation du système est également évaluée. L’accord est excellent entre les données expéri-mentales et les prédictions du modèle, et ce malgré les approximations entreprises, tant pour nos données expérimentales que pour celles de Quinn et al. (2013) [67] dont le dispositif expérimental est proche de celui que nous avons utilisé. Con-naissant la poussée et la puissance nécessaire, l’efficacité de Froude du système peut être déterminée. Cette partie a seulement été comparée avec les données de Quinn et al., (2013) puisque notre système n’autorise pas la mesure de puissance. Nous avons vu que par sa définition, l’efficacité de Froude est un choix naturel pour réaliser le problème d’optimisation suivant : pour une certaine poussée pro-duite et une certaine vitesse de nage, quelle serait la meilleure conception pour un système de propulsion flexible ? En d’autres termes, quel serait le meilleur choix
pour la rigidité, l’amplitude de forçage et la fréquence de forçage pour que la puis-sance nécessaire au système soit minimale ? Dans ce contexte, nous avons résolu ce problème d’optimisation et avons montré que le mouvement optimal correspond toujours à la résonance du système {plaque + fluide}. Cependant, contrairement à ce qui a récemment été proposé [15], l’optimum global n’est pas atteint pour un nombre de Strouhal constant.
Le modèle présenté admet par ailleurs des limites qui doivent être prise en con-sidération dans la construction d’un éventuel système de propulsion bio-inspirée optimal. Premièrement, les non linéarités devraient être prises en compte plus rigoureusement, à travers des simulations numériques par exemple. Ensuite, l’hy-pothèse de bidimensionalité devrait être levée pour des systèmes dont le rapport d’aspect est modéré, tels ceux trouvés chez les animaux marins. Finalement, lorsque la force de poussée est relativement grande, c’est-à-dire lorsque le nombre Lighthill est grand, la cinématique du système de propulsion ne peut plus être complètement dissociée du corps nécessaire au maintient de la partie active à la propulsion. La flexibilité de la plaque produit un couple qui induit une rotation autour du corps qui doit être prise en compte. Une possibilité serait de réaliser une optimisation expérimentale pour trouver la meilleure conception [66]. Cependant, si cette étude est menée, il faudra accorder une attention particulière aux objectifs de l’optimisa-tion et aux contraintes de construcl’optimisa-tion. Par ailleurs, nous soutenons que l’efficacité de Froude n’a de sens que dans la comparaison de systèmes propulsifs développant la même force et se déplaçant à la même vitesse.
Ces travaux ont fait l’objet d’un article inclus en annexe C, dont le présent chapitre est largement inspiré.