synthèse des résultats expérimentaux
6.1 Comparaison entre les données expérimentales et le modèle de G’sell et Jonnas,79
6.1.1 Présentation du Modèle
L’utilisation d’une loi phénoménologique reste encore une solution au problème de la prédic-tion du comportement des polymères. Plusieurs modèles ont été proposés dans la littérature dans le but de prédire le mieux le comportement des polymères. Citons à titre d’exemple la loi de comportement proposée par G’sell et Jonas (1979) pour laquelle la contrainte dépend de la déformation, de la vitesse et de la température. Cette loi a été utilisée avec succès pour caractériser le comportement des polymères selon différents modes de chargement simples (Traction, compression) (G’sell et Jonas, 1981b). Á l’origine cette loi est donnée sous la forme suivante :
σ= Kp(1−exp(−wε)) (1+c exp(−bε)) (1+hε)ε˙m (6.1) où Kp = K exp Ta
, avec K un facteur d’échelle. Le terme 1−exp(−wε) décrit le compor-tement viscoélastique, tandis que 1+cexp(−bε) présente un éventuel crochet de traction.
1+hε décrit quant à lui le durcissement progressif aux grandes déformations. Finalement, la sensibilité à la vitesse est exprimée en terme de puissance sous la forme de ˙εm, m étant la sensibilité logarithmique à la vitesse de déformation.
6.1.2 Identification des paramètres de la loi de comportement
Dans cette partie on calcule les coefficients inconnus intervenant dans celui-ci permettant d’aboutir à la meilleure représentation possible des essais. Ce modèle fait intervenir six pa-ramètres indépendants. Pour les identifier, nous utilisons la procédure numérique par la mé-thode des moindres carrés. Celle-ci consiste à réduire l’écart pouvant exister entre le résultat de la modélisationσjth et les résultats de l’expérience des essais de compressionσjexp. Cet écart
est appelé fonction écart type moyen, donné par la relation
où N est le nombre de points expérimentaux. Rappelons que K est un coefficient identifié à 273 K. Pour trouver ce coefficient, nous avons utilisé les résultats expérimentaux des essais de compression quasi-statique présentés dans le chapitre III. Ces résultats sont indiqués sur la figure 6.1 donnant la contrainte seuil en fonction de la température pour une vitesse de ε˙ = 10−3s−1. La valeur de K vaut 152.79MPa. En outre, comme le paramètre m est le
200 250 300 350 400 450
10-3s-1
Contrainte seuil,σy [MPa]
Température [K]
Fig.6.1–Evolution de la contrainte seuil en fonction de la température
ficient de sensibilité à la vitesse de déformation, il est déterminé à partir de la figure 6.2, il désigne la pente de la droite sur cette figure. Finalement, les valeurs des paramètres ajustant les prévisions du modèle aux résultats des essais de compression sont regroupées dans le tableau .
6.1.3 Résultats obtenus par le modèle
Les résultats trouvés après cette identification sont présenté sur la figure 6.4 donnant les courbes contrainte vraie-déformation vraie à une température T=298 K. Les courbes montrent une bonne corrélation entre les résultats expérimentaux et ceux issus de la mo-délisation. En effet, cette loi permet de reproduire toutes les phases de déformation (élastique,
2
Fig.6.2–Détermination du cœfficient de sensibilité à la vitesse de déformationε˙ Paramètres Valeurs Unités
-Tab.6.1–Valeurs identifiées des paramètres intervenant dans la loi de comportement deG’sell et Jonas(1979) plastique, adoucissement et durcissement) dans une gamme de vitesse de déformation variant de ˙ε = 10−3s−1 à ˙ε = 10−1s−1. Cependant, il présente une faiblesse dès que la vitesse de dé-formation devient importante. D’autre part, une comparaison a été menée pour une vitesse de déformation constante ˙ε= 10−1s−1et différentes températures. Les résultats de cette compa-raison montrent que loi de comportement présente aussi une faiblesse pour les basses tempé-rature (figure 6.4). Achor Zyad(1999), a apporté une modification de la loi deG’sell et Jonas (1979) cité auparavant. Cette modification semble importante, elle touche notamment la dé-pendance du cœfficient Kp vis-à-vis de la température. Dans son travail, Achor Zyad(1999) a émis l’hypothèse sur le fait que la limite élastique tend rapidement vers zéro lorsque la tempé-rature d’essai tend vers celle de transition vitreuse Tg, ce qui n’est pas le cas dans l’expression de la loi de comportement présentée dans l’équation 6.1. Ainsi, la nouvelle expression de Kp
0
Modèle (G'sell et Jonas, 1979)
Contrainte vraie, σ(MPa)
Déformation vraie, ε
Fig.6.3–Comparaison entre les résultats du modèle deG’sell et Jonas(1979) et les données expérimentales à une températureT=298 Ket des vitesses de déformation variant deε˙=10−3s−1àε˙=2049s−1
Fig.6.4–Comparaison entre les résultats du modèle deG’sell et Jonas(1979) et les données expérimentales à une vitesse de déformationε˙=10−1s−1et pour des températuresT=298 K,T=253 KetT=233 K
sera donnée par la forme suivante :
Kp =K0(1− TT
N)[1−tanh(θ∗( T
T∗ −1))] (6.3)
où TNest la température de normalisation (TN =Tg+100),θ∗= ζ(TT∗)et T∗est la température caractéristique correspond à la température à partir de laquelle la courbe de la limite élastique en fonction de la température change de pente. Une expression a également été proposée par
le même auteur pour le cœfficient de sensibilité logarithmique à la vitesse de déformationm, cette dernière est donnée sous la forme suivante :
m(ε˙) =m0(1+m1 tanh(m2Log(ε˙
ε˙c))) (6.4)
Pour mettre en évidence la sensibilité à la vitesse de déformation, Achor Zyad(1999) a pro-posé une expression pour le paramètrehqui dépend nettement de la vitesse de déformation.
L’expression proposée peut être décrite comme suit : h= h0
ε˙min
ε˙ h1
(6.5) Dans le cadre de son travail, cette nouvelle loi a été comparée avec les résultats expérimentaux issus des essais de cisaillement sur des éprouvettes en PC. Les résultats laissent apparaître une bonne corrélation entre les résultats expérimentaux et ceux issus de la modélisation. En effet, ce modèle permet de reproduire toutes les phases de déformation pour des vitesses de déformation variant de ˙ε = 10−3s−1 à ˙ε = 102s−1. Au-delà, pour des vitesses plus élevées, ce dernier présente une faiblesse. De plus ce modèle ne tient pas compte de la transition ductile-fragile.