Comparaison des méthodes

En mécanique des fluides, la relation entre une variable d’écoulement et la variation d’un paramètre d’intérêt α est généralement non-linéaire. Les sensibilités d’ordre plus élevé n permettent de mieux caractériser cette relation de même que les dépendances entre divers paramètres du système, ce qui explique l’intérêt de les calculer (pour plus de détails se référer à la section 2.2). Dans le cadre de ce projet, nous nous intéressons donc au développement d’une méthode générique qui différentie les équations d’un système jusqu’à un ordre n pour un nombre q de paramètres pour ensuite résoudre les sensibilités qui s’y rattachent. Ici, la méthode développée se limite aux sensibilités par rapport aux paramètres de valeur. Toute- fois, nous souhaitons développer une méthode qui pourra être éventuellement adaptée aux cas des paramètres de forme. Nos travaux sont orientés de manière à pouvoir appliquer cette méthode au cas particulier des équations de Navier-Stokes qui modélisent les écoulements de fluides. Cependant, la méthode que nous proposons au sein de ce mémoire pourrait aisément être adaptée à n’importe quel système d’équations différentielles. Dans cette section, nous comparons les différentes techniques de calcul des sensibilités présentées dans la section 2.3. Cela permet d’expliquer les raisons qui nous motivent à privilégier la MES pour le dévelop- pement d’une méthode générique calculant les sensibilités d’ordre n.

Si nous considérons les Différences Finies pour le calcul des sensibilités d’ordre élevé, celles-ci s’avèrent peu efficaces et très coûteuses, puisqu’elles exigent de nombreuses résolutions ex- haustives du système d’équations d’état (sensibilités d’ordre 0) pour différentes valeurs du ou des paramètres d’intérêt. Dans le cas où le système est non-linéaire, la méthode de résolution itérative peut conduire à un nombre considérable d’itérations lors de la résolution de chacun des systèmes. Cette méthode n’est donc pas performante, puisqu’elle engendre des coûts de calculs substantiels et que le choix de valeurs des perturbations, pour s’assurer de la fiabilité des résultats, peut s’avérer une tâche ardue, voire impossible.

Quant à la MES, elle nécessite la résolution du système des sensibilités pour chaque para- mètre considéré. Toutefois, dans le cas des paramètres de valeur, le membre de gauche des systèmes d’équations des sensibilités est identique peu importe l’ordre. Il est alors possible de factoriser et conserver la matrice pour éviter de la recalculer à chaque fois. Il est à noter que cela n’est pas applicable lors de l’utilisation de la MESC avec une approche lagrangienne et des paramètres de forme.

Tel que mentionné dans la sous-section 2.3.3, il existe des outils de différentiation (voir Soulat et al., 2013) qui résolvent des problèmes de sensibilités d’ordre élevé. Ceux-ci sont puissants, car ils génèrent automatiquement le code de calcul pour les sensibilités discrètes (Mahieu et al., 2005). Néanmoins, ces outils ne sont pas forcément efficaces, puisque les ressources informatiques utilisées ainsi que le temps de calcul pour la différentiation et la résolution des sensibilités sont considérables (Bischof et al., 1996; Verma, 2000; Heimbach et al., 2005; Ho- mescu, 2011). Le temps de calcul pour résoudre les équations de sensiblités peut même être plus significatif que celui pour résoudre les équations d’état. De plus, dans certains problèmes discrets, les fonctions impliquées sont non-différentiables (e.g. : limiteur, stabilisateur, etc.). L’utilisation de la différentiation automatique devient alors complexe.

Par ailleurs, pour les techniques qui travaillent avec les sensibilités du système discret (e.g. : MESD), les sensibilités de maillage doivent être considérées. Cela engendre un effort de calcul supplémentaire. Subséquemment, la discrétisation du problème par le biais d’un maillage non structuré adaptatif est pratiquement impossible, car il devient alors complexe d’estimer les sensibilités de mailles qui sont établies par la différence entre deux maillages. Cela provient du fait que le maillage, pour un paramètre perturbé, ne respecte pas forcément la topologie initiale, particulièrement quand il s’agit d’un paramètre de forme. En effet, le domaine et les conditions aux limites du problème varient avec les paramètres de forme. Le traitement de

sensibilités discrètes présente donc un inconvénient significatif, car l’adaptation de maillage permet habituellement d’obtenir des maillages de qualité et de raffiner les éléments aux en- droits où il y a une plus forte variation pour ainsi obtenir des résultats plus précis (Turgeon, 2001).

Contrairement à l’approche discrète, l’approche en continu (MESC) a pour avantage d’élimi- ner la nécessité de considérer les sensibilités du maillage (Borggaard et Burns, 1997; Borg- gaard et Verma, 2000; Turgeon et al., 2002). Effectivement, la différentiation du système ayant lieu avant la discrétisation, il n’y a pas de dérivées du maillage, mais plutôt un maillage des dérivées (sensibilités). Cela est beaucoup plus commode dans l’éventualité où l’on souhaite traiter un système comportant des paramètres de forme. Actuellement, nous exploitons la MESC principalement à l’ordre 1 et 2 (Turgeon, 2001; Mahieu, 2003). L’utilisation de cette méthode à des ordres plus élevés est beaucoup plus rare, puisque cela entraîne des équations qui sont lourdes à manipuler et à gérer. Malgré cette difficulté liée à l’écriture des équations de sensibilités, nous constatons que la Méthode d’Équations des Sensibilités Continues est préférable, puisque la différentiation des équations est directe. Contrairement aux sensibilités discrètes, il n’est pas essentiel d’exprimer la dépendance du maillage en fonction du para- mètre d’intérêt afin de différentier les termes qui y sont associés.

Le tableau 2.1 résume les points apportés dans les paragraphes précédents. Il permet de visualiser et de comparer rapidement les avantages et les limites de chacune des techniques de calcul des sensibilités. De plus, ce tableau donne un indicatif pour la précision et le coût de calcul de ces techniques. La notation Coût(u) correspond au coût engendré par la technique pour calculer les variables d’état (e.g. : la vitesse u), alors que Coût(S(i)

u ) représente le coût de calcul pour les sensibilités d’ordre i.

Tableau 2.1 Tableau résumant les diverses techniques de calcul des sensibilités.

Ici, pour notre méthode générique traitant les équations de sensibilités jusqu’à un ordre arbitraire n, on privilégie une méthode basée sur les équations de sensibilités continues, soit la MESC. Ce choix provient essentiellement du fait que la résolution des équations d’état (sensibilités d’ordre 0) et le calcul des sensibilités se réalisent dans des procédés séparés. Un autre avantage avec la MESC est que nous n’avons pas à considérer les sensibilités de mailles, puisqu’on dérive les EDP après les avoir discrétisées et non l’inverse. En revanche, dans le cas de la MESD, les sensibilités discrètes dépendent directement du choix de discrétisation des variables d’état diminuant ainsi la précision et le contrôle sur le calcul des sensibilités. Enfin, la MESC nous permet également de discrétiser le problème avec un maillage non structuré adaptatif ce qui permet d’obtenir des résultats plus précis en raffinant les éléments aux endroits où les variations sont plus importantes. Cela ne peut être envisagé avec la MESD.