Comparaison des méthodes

En utilisant une des deux méthodes définies, chacune des représentations linéaires peut être comparée à la modélisation non-linéaire pour déterminer laquelle donne de meilleurs résultats. Les valeurs propres de la matrice d’état correspondent aux pôles du système que nous allons utiliser pour l’évaluation. La variable de sortie montrant les caractéristiques de ces modes est l’angle de tangage. En générant une perturbation à l’aide de la gouverne de profondeur avec la modélisation non-linéaire, la réponse temporelle de l’angle de tangage permettra de calculer les propriétés des deux modes d’oscillation, nécessaire à la comparaison.

En affirmant que la réponse prendra la forme de deux modes distincts avec des racines complexes, le signal de l’angle de tangage suivant une perturbation aura deux oscillations avec deux fréquences distinctes et s’amortissant à un taux qui leur est propre. Il est donc possible d’écrire une approximation de l’équation décrivant ce mouvement en fonction du temps :

( ) = cos + exp −

+ cos + exp − +

(2.15)

Dans l’équation précédente, la constante représente l’angle de tangage à l’équilibre. Les constantes avec l’indice cp se rapportent au mode courte période, et ceux avec l’indice ph, au mode phugoïde. La lettre décrit l’amplitude du mode, la fréquence amortie et l’amortissement du système. L’outil Curve Fitting Toolbox™ de l’application MATLAB® permet de déterminer la valeur des paramètres de cette équation à l’aide de la réponse temporelle de la modélisation non-linéaire. La valeur des paramètres est ajustée pour minimiser la différence entre le résultat donné par l’équation et les données expérimentales. Avec les paramètres calculés par la linéarisation et la modélisation non-linéaire, les termes qui formeront la base de l’évaluation doivent être introduits.

Afin de faire une comparaison, les paramètres peuvent être transformés en deux quantités communément utilisées dans le domaine de l’asservissement, la fréquence propre ( ) et le

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taux d’amortissement ( ). Ces deux variables sont définies par Nise (2011) avec les relations suivantes :

= +

= (2.16)

Un outil statistique est maintenant nécessaire pour comparer la différence entre ces paramètres et tirer des conclusions. Il est possible d’effectuer un test d’hypothèse avec deux séries de résultats pour lesquelles chaque paire de données est reliée entre elles. La méthode de comparaison appropriée est le test T (Wackerly, Mendenhall, & Scheaffer, 2008). La différence entre chaque paire de résultats correspondant à une situation de vol est calculée. En effectuant cette différence entre les résultats venant de la modélisation et des techniques développés, il est possible de poser l’hypothèse nulle suivante :

= 0 (2.17)

Où représente la moyenne de l’écart entre chaque paire de données, calculée pour la fréquence propre et le taux d’amortissement. Le test va nous permettre de rejeter l’hypothèse nulle en affirmant que les deux échantillons ont une différence non nulle qui existe, ou d’ouvrir la porte à la possibilité que la paire de résultats soit équivalente. En comparant la méthode expérimentale avec la modélisation non-linéaire, nous obtenons les résultats présentés au Tableau 2.3.

Tableau 2.3 Analyse statistique pour la comparaison entre la déviation autour d’un point d’équilibre et la simulation non-linéaire

Mode Courte période Phugoïde

Paramètre

Moyenne de l’écart −0,239 0,161 −0,0039 −0,014

43 Intervalle de confiance [−0,443; −0,034] [0,040; 0,282] [−0,0097; 0,0018] [−0,0394; 0,0117]

Nous pouvons observer que pour le mode phugoïde, l’hypothèse nulle n’est pas rejetée. On peut avancer la possibilité que les deux échantillons soient équivalents. En revanche, pour le mode courte période, l’hypothèse nulle est rejetée pour les deux paramètres. Nous devons conclure que nous avons un biais dans les paramètres du mode courte période. La fréquence d’oscillation déterminée par cette technique serait légèrement plus élevée que la modélisation non-linéaire, et le système serait légèrement moins amorti. L’intervalle de confiance se trouve juste à l’extérieur de la valeur recherchée. Une hypothèse quant à la cause de cette déviation est que certains effets non-linéaires influencent ces deux paramètres dans la modélisation. Avec une observation plus pointue des résultats (Tableaux-A IV-4 et IV-5), nous pouvons constater dans les essais 5 à 8, que cette déviation est plus marquée. Ces essais étaient effectués dans un régime où la compressibilité et l’aéroélasticité doivent être considérées, diminuant la validité de l’approximation linéaire. Ces deux effets combinés peuvent expliquer l’influence sur le résultat. Malgré cette légère déviation, il est raisonnable d’affirmer que cette technique peut être utilisée pour déterminer la matrice d’état pour une modélisation si la commande développée est contrevérifiée avec le modèle non-linéaire.

La deuxième méthode qui a été mise à l’essai ne donne pas des résultats aussi prometteurs. Afin d’utiliser le test T précédemment utilisé, il doit être raisonnable de croire que les résultats sont distribués suivant la loi normale. Une observation des différences des paramètres (Tableaux-A IV-6 et IV-7) démontre qu’il y a un mélange de résultats qui peuvent être représentatifs et des données éloignées. Il semble avoir une certaine logique pour les situations de vol 1 à 4, les essais n’étant pas dans un domaine où la compressibilité de l’air a de l’importance. Compte tenu de l’échantillon limité disponible pour l’analyse, on ne peut pas conclure qu’il y a une familiarité entre la technique de dérivation formelle et la modélisation non-linéaire. Une explication possible est que dans la démarche de Stevens et al. (2015), certains paramètres qui n’étaient pas disponibles pour la version modélisée du Boeing 747 ont été utilisés. Pour cette raison, une méthode alternative pour calculer ces dérivées de stabilité a

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dû être développée. Il est possible que cette technique ne donne pas les résultats escomptés et ne représente pas bien les dérivées aérodynamiques de stabilité.

En résumé, une des méthodes développées, la dérivation formelle, nécessite d’être retravaillée avant d’être opérationnelle. Il serait prudent d’initialement travailler dans un régime subsonique pour limiter les non-linéarités qui peuvent influencer le résultat. D’un autre côté, la technique utilisant la déviation autour d’un point d’équilibre a permis de trouver des résultats satisfaisants. Les données semblent avoir un léger biais dans le mode courte période, un point qui doit être gardé en tête si nous utilisons cette linéarisation pour la conception d’un contrôleur. Cependant, une modélisation à partir d’une représentation d’état avec la valeur de ces paramètres donnerait des résultats qui se rapprocheraient d’une simulation avec le modèle non-linéaire. Nous pouvons donc affirmer que nous avons une méthode nous permettant de linéariser la dynamique de l’avion. Avec cette comparaison satisfaisante, une évaluation des données recensées avec des essais en vol de Boeing continuera à bâtir la confiance que nous acquérions quant à la fidélité du modèle.