Définition 99 (Topologie produit) On appelle topologie produit sur le pro- pro-duit des X i la topologie engendrée par les projections canoniques de X sur
1.3 Compacité - liens entre complétude et compacité
1.3.1 Généralités
Définition 107 (Recouvrement ouvert) Un recouvrement ouvert de l’es-pace topologiqueXest une famille d’ouvertsUiavecX =∪Ui.
Définition 108 (Compact) Xest compact s’il est séparé et si de tout recou-vrement ouvert on peut extraire un sous-recourecou-vrement fini.
Un sous-ensembleK de l’espaceX est dit compact s’il est compact pour la topologie induite.
Une partieAdeXest dite relativement compacte si sa fermetureAest com-pacte.
On verra plus tard (voir lemme118) que tout compact d’un espace séparé est fermé, et que tout compact d’un métrique est borné (s’il n’était pas borné on extrairait une sous-suite convergente d’une suite non bornée, par le théorème140).
Un compact, dans le cas général, n’est absolument pas nécessairement fermé ! Considérer par exemple un point, dans un ensembleXcontenant au moins deux points et dont la topologie est réduite à{∅, X}.
Définition 109 Un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un recouvrement fini.
Un espace est donc compact s’il est séparé et s’il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.
On verra d’autres caractérisations de la compacité que la définition par "séparé+Borel-Lebesgue". Néanmoins cette définition servira par exemple pour le théorème ?? (ré-sultats de régularité sous le signe somme). Elle permettra aussi, en partie1.6.12, de montrer que la compactifié d’Alexandrov est compact. Les deux premiers points de l’exercice111, la proposition112(l’image continue d’un compact dans un séparé est
compact), le théorème117de séparation des compacts, le théorème ?? (semblable au théorème de Heine dans le cas de familles équicontinues), le résultat selon lequel tout métrique compact est homéomorphe à une partie du cube de Hilbert en partie1.6.9, le théorème de Stone ??, le corollaire du champ rentrant dans la sphère254, le théorème d’Ascoli ?? utilisent cette même caractérisation.
Les méthodes usuelles pour montrer la compacité d’un ensemble sont le fait qu’un sous-ensemble fermé d’un compact est compact, le fait qu’un produit (quelconque) de compacts est compact (voir le théorème de Tykhonov1272, le théorème d’Arzéla-Ascoli ?? (aux multiples applications), et le fait que l’image continue d’un compact dans un séparé est compacte (par exemple, dans le cas des espaces projectifs).
Des théorèmes incontournables en matière de compacité sont le théorème de Banach-Alaoglu134 (utilisant Tykhonov), le théorème de Heine 139; le théorème de Baire (sous une forme moins connue que la forme classique basée sur la complétude)190 s’applique aux espaces localement compacts. Citons aussi le théorème de Riesz133, le théorème de Krein-Milman (soitE un espace vectoriel normé de dimension finie, Kun compact convexe deEnon vide, alorsKest l’enveloppe convexe de ses points extrémaux : on trouvera une preuve dans [13]), le théorème de Montel ??.
La compacité dans le cas métrique offre des résultats fondamentaux :
•théorème de Bolzano-Weierstrass140
•un espace métrique compact est séparable
•une isométrie d’un espace métrique compact dans lui-même est une isométrie3
•un espace métrique compact est complet (voir corollaire176)4
•
Théorème 110 Un espace métrique précompactaet complet est compact.
aUn espace métriqueEest dit précompact si quel que soit >0il existe un recouvrement fini deEpar des boules de rayon< .
Démonstration : On a déjà vu qu’un espace compact métrique est complet (corol-laire un peu plus haut). Il est clair qu’il est aussi précompact. C’est donc la réciproque qui pose problème.
Supposons doncEprécompact et complet. Pour montrer sa compacité, nous allons utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass140. Considérons donc une suite(xn)de E. Nous allons en chercher une sous-suite convergeante.
Il existe, par définition, pouri entier≥ 1, yi,1, yi,2, ..., yi,Ni tels que les boules centrées sur lesyi,j et de rayon 21j recouvrentE. Construisons par récurrence suri 1≤ji≤Nitel qu’une infinité de pointsxnsoit dans l’intersection des boule de rayon
1
2l centrée surxl,jlpourl≥i. On choisit alorsai∈N, construit aussi par récurrence,
2Le théorème de Tykhonov, conjoint au fait qu’un fermé d’un compact est compact, implique d’ailleurs que la sphère unité deRnest compacte, et donc notamment l’équivalence des normes en dimension finie -voir théorème129
3On en trouvera une preuve en application de Bolzano-Weierstrass.
4On en déduit notamment que le théorème du point fixe ?? s’applique dans un compact métrique et donc que la boule unité ferméel2(N)n’est pas compacte ; en cas contraire, l’application(xn)n≥07→(yn)n≥0
avecyi = xi−1 sii >0ety0 = 0serait bijective car une isométrie d’un espace complet compact sur lui-même est une bijection comme dit ci-dessus.
tel que la suite desaisoit croissante, etxaisoit dans l’intersection des boule de rayon
1
2l centrée surxl,jlpourl≥i.
Ceci définit une suite extraite de la suite desxn, dont on montre facilement qu’elle est de Cauchy. Elle converge donc, par complétude deE. Donc,Eest compact.
Une belle application est la proposition225.ut
Un ensemble discret5dans un compact est fini ; on en déduit en particulier qu’une fonction holomorphe non nulle a un nombre fini de zéros dans un compact convexe.
Enfin il est capital que l’image d’un compact par une application continue à valeurs dans un espace séparé est compacte (voir théorème 112). Cela entraine en particu-lier qu’une fonction continue sur un intervalle fermé deRatteint ses bornes (d’où le théorème de Darboux ??, le théorème de Rolle ??, et certains critères de recherche de minima - voir partie ??).
Dans les ouvrages en anglais, "compact space" est simplement un espace vérifiant la propriété de Borel-Lebesgue. L’équivalent de notre espace compact est "compact Hausdorff space".
Exercice 111 •Toute partie finie d’un espace séparé est compacte.
•Tout intervalle fermé borné[a, b]deRest compact.
• Soit(xn)n∈N une suite d’éléments d’un espace topologiqueX séparé tendant vers une limitex. Alors{xn/n∈N} ∪ {x}est un compact (preuve facile, en considé-rant un recouvrement par des ouverts, puis en considéconsidé-rant un des ouverts contenantx, et en voyant qu’un nombre fini des éléments de la suite est en dehors de cet ouvert.
•On(R),SOn(R)sont des compacts (en tant que fermés bornés deRn, qui est de dimension finie).
•Les espaces projectifs sont compacts (voir ??).
•Le cube de Hilbert (voir1.6.9) est compact.
•Le compactifié d’Alexandrov d’un espace séparé non compact localement com-pact est comcom-pact (voir1.6.12)
Démonstration : La première assertion est triviale. Pour la deuxième, on se donne un recouvrement ouvertU on considère le plus grandxtel que[a, x]peut être recou-vert par un recouvrement fini extrait deU. La suite est facile ou comporte une référence vers une preuve complète.ut
Proposition 112 Sif est une application continue d’un espace compactK dans un espace séparéY, alorsf(K)est compact.
Démonstration : f(K)est évidemment séparé. Etant donné un recouvrement ou-vert def(K)on peut considérer le recouvrement ouvert deK constitué des images réciproques de ces ouverts ; on en extrait un recouvrement fini, et il n’y a plus qu’à repasser dansY.ut
5I.e. tout point est isolé.
Cette propriété servira notamment pour le théorème de Rolle ??, ou pour mon-trer qu’un espace projectif est compact (théorème ??). Elle permettra aussi de monmon-trer que tout compact métrique est isomorphe à un sous-espace topologique du cube de Hil-bert (voir partie1.6.9). Enfin, elle permet de montrer que toute isométrie d’un métrique compact sur lui-même est une bijection (corollaire201).
Il faut noter qu’une propriété plus fine sera parfois utile :
Proposition 113 Soitf une application semi-continue supérieurement d’un compact dansR. Alorsfest majorée et atteint sa borne sup.
Cela servira notamment pour le théorème ??.
Démonstration :
•SoitKun compact, etf semi-continue supérieurement deK dansR. Soitxla borne sup def(t)pourtdansK(à priorixpeut être égal à+∞).
•Soit(xn)n∈Ncroissante tendant versxavecxnélément de l’image defpour tout n. Supposons que la borne sup ne soit pas atteinte (soit elle est infinie, soitxntend vers xsans jamais l’atteindre).
• On a alorsK = ∪n∈Nf−1(]− ∞, xn[). On peut extraire de ce recouvrement deK un recouvrement fini (en fait, un recouvrement par un seul desf−1(−∞, xn[ puisque ces ensembles sont croissants) ; doncf est bien majorée.
•Kest alors égal àf−1(]− ∞, xn[)pour un certainn, ce qui contredit le fait que xncroisse versxsans jamais l’atteindre - en effetxn < ximplique qu’il existetdans Ktel quef(t)> xn.ut
Définition 114 (Propriété d’intersection finie non vide) Une famille A de parties deX a la propriété d’intersection finie non vide si et seulement si tout sous-ensemble fini deAa une intersection non vide.
Proposition 115 Un espace topologique est compact s’il est séparé et si toute famille de fermés qui a la propriété d’intersection finie non vide a une inter-section non vide.
Démonstration : Il suffit de considérer les complémentaires des fermés, qui ont le bon goût d’être ouverts.ut
Outre les corollaires qui suivent, on pourra voir la proposition124, ou le lemme
??.
Corollaire 116 Un fermé d’un compact est compact.
Voir (par exemple...) ??.
Démonstration : Un fermé d’un compact est évidemment séparé ; il suffit ensuite de voir qu’un fermé de notre fermé est un fermé de notre espace et d’utiliser la
propo-sition précédente.ut
Théorème 117 Deux compacts disjoints d’un espace séparé peuvent être sé-parés par des ouverts.
Démonstration : On montre tout d’abord le lemme suivant :
Lemme 118 SiXest séparé, etKcompact inclus dansX, alorsKest fermé.
Cela servira à chaque fois qu’on voudra montrer que compact équivaut à fermé borné dans un espace donné, par exemple ??.
Démonstration : On considèrexdans le complémentaire deK; pour touty ap-partenant àKon peut séparerxetypar des ouvertsUyetVy. On peut alors considérer le recouvrement deKpar les ouvertsVyet en extraire un recouvrement fini. En prenant l’intersection desUycorrespondants à notre recouvrement fini, on a un ouvert autour de x, n’intersectant pasK. Donc le complémentaire deKest ouvert, doncKest fermé.ut On peut donc terminer la preuve de notre théorème, en considérant un deuxième compactK0, et pour toutxde K0, on peut trouver un ouvertUy autour dexet un ouvertVxcontenantK; on applique la compacité deK0, et on obtient facilement deux ouverts disjoints séparantK0deK.
Corollaire 119 Dans un espace compact, les sous-ensembles fermés sont les sous-ensembles compacts.
Démonstration : Il suffit de considérer le corollaire116et le lemme118.
Corollaire 120 Tout point d’un compact possède une base de voisinage com-pacts.
Démonstration : (voir figure1.1) SoitW un voisinage ouvert dexdans l’espace compactX. Le ferméX\W est compact. On peut donc séparer les compacts{x}et X\W par deux ouvertsUetV. AlorsX ∈U ⊂X\V ⊂W; et doncX\V est un voisinage compact dexinclus dansW.ut
Corollaire 121 Une fonction continue bijective d’un compact dans un espace séparé est un homéomorphisme.
On peut citer en applications les résultats220 et208(propriétés du cube de Hilbert et du Cantor triadique).