Proposition 4.15 L'image continue d'un compact dans un séparé est compacte, c'est-à-dire : siX est compact, Y séparé et f :X →Y continue, alors f(X) est compact.
Démonstration. SoientUides ouvert def(X)(pour la topologie induite) recouvrantf(X); lesOi :=
f−1(Ui) forment alors un recouvrement ouvert de X, dont on peut extraire un sous-recouvrement ni (Oi)i∈F. Les Ui =f(Oi) pouri∈F recouvrent f(X). On dit qu'une applicationf :X →Y est fermée si pour tout fermé F de X, f(F) est un fermé de Y (lorsque f est bijective, cela équivaut clairement à la continuité de f−1). On déduit alors de la proposition précédente, grâce à la proposition 4.4 :
Corollaire 4.16 Toute application continue d'un compact dans un séparé est fermée. En particu-lier, si elle est bijective alors c'est un homéomorphisme.
La proposition ci-dessus donne aussi, grâce au théorème de Heine-Borel-Lebesgue (corollaire 4.14) :
Corollaire 4.17 Toute application continue d'un compact non vide dansRest bornée et atteint ses bornes.
(Plus généralement : toute application continue d'un compact non vide dans R atteint ses bornes, donc est bornée si elle est à valeurs réelles.)
Théorème 4.18 Théorème de Heine. Toute application continue d'un métrique compact dans un métrique est uniformément continue.
Démonstration. Soientf :X →Y comme dans l'énoncé, et ε >0. Si le compact K :={(x, y)∈X×X |d(f(x), f(y))≥ε}
est non vide, en posant η= infKd on a, d'après le corollaire : η >0. Exercice. Montrer qu'une fonction entre deux espaces métriques est Cauchy-continue si et seulement si elle est uniformément continue sur toute partie précompacte.
Corollaire 4.19 Toute application continue d'un segment réel [a, b] dans R est approximable uni-formément par des fonctions continues anes par morceaux.
Démonstration. Soient f : [a, b] → R continue et ε > 0. Soit η > 0 associé à ε par le théorème de Heine. On choisit une subdivision de pas inférieur à η, c'est-à-dire une suite nie de points a = x0 < x1 < . . . < xn = b telle que xk−xk−1 < η pour k = 1, . . . , n. Soit g la fonction qui en chaquexkvautyk :=f(xk)et qui est ane entre deuxxkconsécutifs. Alors, pour toutx∈[xk−1, xk], f(x)−g(x)est compris entref(x)−yk−1etf(x)−yk, qui sont tous deux de valeur absolue inférieure
àε, donc |f(x)−g(x)|< ε.
En remarquant que ces approximantes sont des combinaisons anes de fonctions de la forme x 7→ (x−α)+, avec y+ = max(0, y) = (y+|y|)/2 et que la fonction valeur absolue est limite uniforme sur[−1,1]d'une suite de polynômes, on va en déduire la preuve par Lebesgue du théorème classique d'approximation de Weierstrass :
Corollaire 4.20 Toute application continue d'un segment réel [a, b] dans R est approximable uni-formément par des fonctions polynomiales.
Démonstration. (Queélec p. 12 et Choquet p. 142-143, cf.bibliographie.) La fonctiong de la preuve précédente s'écritg(x) = λ0+Pn
k=1λk(x−xk−1)+ pour desλk convena-blement choisis :λ0 =g(x0), λ1 est la pente de la première corde du graphe de g (de x0 à x1) et pour toutk ≥1, λk+1−λk est la variation de pente, de la k-ième corde à la suivante.
Il sut donc d'approximer par des polynômes la fonction valeur absolue sur [−M, M] pour M ar-bitraire ou seulement (par homothétie sur la variable) pour M = 1.
Pour cela, écrivons |x|=p
Lesan sont positifs. Montrons qu'ils forment une série convergente : ainsi, la fonction √
1−u sera limite des PN(u) := 1−PN
n=1anun non seulement pour u ∈]−1,1[ et au sens de la convergence simple, mais pouru∈[−1,1] (en particulier pouru∈[0,1]) et au sens de la convergence uniforme, donc |x| sera limite des polynômes PN(1−x2), uniformément par rapport à x ∈ [−1,1], ce qui
n=1an≤1puis (en faisant, seulement ensuite, tendre N vers l'inni) P∞
n=1an≤1.
Mentionnons sa généralisation, qui ne sera pas démontrée dans ce cours.
Théorème 4.21 Théorème d'approximation de Stone-Weierstrass. Soient X compact et A une sous-algèbre unifère de l'algèbre de BanachC(X) des fonctions continues de X dans R (munie de la norme de la convergence uniforme). SiAsépare les points deX, alorsA est dense dansC(X). (On dit que A sépare les points de X si pour toute paire {x, y} ⊂X, il existe f ∈ A telle que f(x) 6=f(y); dire que A est une sous-algèbre unifère revient à dire qu'elle est stable par sommes, produits et produit par un réel et contient la fonction constante 1.)
Chapitre 5 Connexité
5.1 Dénition et premiers exemples
Dénition 5.1 Les conditions suivantes sont équivalentes et un espace topologiqueXest dit connexe s'il les vérie.
1. X n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ; 2. X n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ; 3. tout ouvert fermé non vide de X est égal à X;
4. les seules parties de X à la fois ouvertes et fermées sont ∅ et X;
5. toute application continue de X dans l'espace discret {0,1} est constante.
Une partie C de X est dite connexe si C muni de la topologie induite est un espace connexe.
Remarque. C est donc non connexe si et seulement s'il est inclus dans la réunion de deux ouverts U et V de X tels que U et V rencontrent C et U ∩V ne rencontre pas C. Il n'est pas nécessaire que U et V soient disjoints (et c'est parfois même impossible, cf. exemple 4 ci-dessous) mais si X est un espace métrique, on peut faire en sorte qu'ils le soient. En eet, en notant U0 = U ∩C et V0 =U∩C, on aU0∩V0 =∅etV0∩U0 =∅. En posant alorsU00={x∈X |d(x, U0)< d(x, V0)}et V00 ={x∈X |d(x, V0)< d(x, U0)}, on obtient deux ouverts de X vériant les conditions voulues.
(Cette propriété se généralise à tout espaceX complètement normal.) Exemples.
1. La topologie grossière (sur n'importe quel ensemble) est connexe.
2. La topologie discrète n'est connexe que si l'ensemble est ∅ ou un singleton.
3. En fait, plus une topologie est ne, moins elle a de chances d'être connexe. (Plus formelle-ment : sur un même ensemble, toute topologie moins ne qu'une topologie connexe est encore connexe ; cette propriété sera généralisée par le point 3 de la proposition 5.4).
4. Dans X ={−1,0,1} muni de la topologie dont les ouverts sont ∅ et les parties contenant 0, la partie {−1,1} est discrète donc non connexe.
5. Dans Q (pour la topologie usuelle), les seuls connexes sont ∅ et les singletons : on dit que Q est totalement discontinu. Un espace peut donc être totalement discontinu sans tout de même être discret.
6. Montrer que l'ensemble de Cantor est un fermé de Rnon dénombrable et totalement discon-tinu.
Dans un ensemble totalement ordonné, dénissons les intervalles comme les parties qui, chaque fois qu'elles contiennent deux éléments, contiennent tout élément compris entre les deux (x, y ∈I et x <
z < y ⇒ z ∈ I). Pour la topologie de l'ordre sur cet ensemble, une partie connexe ne peut être qu'un intervalle (pourquoi ?). La réciproque n'est pas toujours vraie (penser à Q) mais l'est dans R:
Proposition 5.2 Les connexes deR sont les intervalles.
Démonstration. Tout intervalle réel est connexe d'après la cinquième caractérisation et le TVI (théorème des valeurs intermédiaires), puisqu'une application continue à valeurs dans{0,1} discret n'est rien d'autre par corestriction, cf. corollaire 2.39 qu'une application continue à valeurs dans Rqui ne prend, au plus, que les valeurs 0et 1.
Le TVI se déduit de la propriété de la borne supérieure (1.2), soit directement, soit moins directement mais plus intuitivement par dichotomie, donc en se ramenant au théorème des suites adjacentes, ou des fermés emboîtés (théorème 3.21), ou des compacts emboîtés (corollaire 4.5). Mais une autre option est déduire le TVI du point 3 de la proposition 5.4 ci-dessous joint à la présente proposition, et de démontrer celle-ci par une dichotomie plus simple.
De même que la compacité, la connexité est clairement une propriété topologique.
Exemples d'application : le cercle S1 n'est homéomorphe à aucune partie I deRcar un tel I serait un intervalle d'extrémitésa, bdistinctes or pour a < c < b,I\ {c}n'est pas connexe, tandis que S1 privé d'un point l'est (puisqu'il est homéomorphe à un intervalle). Par des raisonnements analogues, [0,1[,]0,1[et [0,1] sont deux à deux non homéomorphes.