Ce premier chapitre introductif a été constitué de deux parties. Dans un premier temps, nous avons rappelé quelques outils importants de l’analyse convexe ainsi que des résultats d’existence des solutions pour un problème d’équilibre puis d’un problème d’équilibre mixte en présentant des conditions suffisantes de la coercivité. La deuxième partie est consacrée à la présentation des quelques résultats d’optimisation vectorielle ainsi qu’une brève présentation du problème du point selle vectoriel. Le but est de faire le lien entre les différentes notions d’un problème d’optimisation vectorielle avec celles d’un problème du point selle vectoriel, qui sera étudié au chapitre 5.
Les résultats rappelés concernant l’existence de solutions pour un problème d’équilibre seront appliqués pour générer des algorithmes d’approche de solution en se basant sur la notion du principe auxiliaire qui sera détaillée dans la suite.
Chapitre 2
Principe auxiliaire
Sommaire
2.1 Introduction . . . 24 2.2 Existence et unicité . . . 25 2.3 Algorithme et convergence . . . 26 2.4 Exemples numériques.. . . 29 2.5 Commentaires . . . 312.1
Introduction
Dans le but d’obtenir des solutions approximatives, nous allons à présent proposer une méthode, appelée principe auxiliaire, permettant de construire un algorithme d’approche des solutions pour un problème d’équilibre. Le principe auxiliaire a été introduit par [30,31] pour étudier des problèmes d’optimisations, il consiste à développer une famille d’algorithmes de type décomposition-coordination pour l’approche de solution. Ce principe a été étendu par [32] pour étudier des problèmes d’inéquations variationnelles, voir aussi Glowinski [48].
Nous nous intéressons au problème d’équilibre suivant
(PE) trouver z ∈ K tel que f (z, z) ≥ 0 ∀z ∈ K, (2.1) avec K un convexe fermé non vide d’un espace vectoriel topologique de Hausdorff X et f : K × K → IR une bifonction d’équilibre.
Afin d’obtenir des solutions approximatives du problème (PE), nous introduisons le prin- cipe auxiliaire suivant
(AuxP E)
Pour x ∈ K trouver z ∈ K tel que
ρf (z, z) + hT (z) − T (z), z − xi ≥ 0 ∀z ∈ K, (2.2) avec T : X → X∗ un opérateur et ρ > 0.
Ce principe auxiliaire généralise et relie un grand nombre de méthodes variationnelles permet entre autre de remplacer le problème initial par une suite des problèmes régulari- sés, de telle sorte que chaque problème particulier auxiliaire peut être résolu par l’un des algorithmes connus. Chaque problème auxiliaire est fortement monotone et de ce fait on a
l’unicité des solutions des sous-problèmes. En outre, la suite des solutions converge vers une solution du problème initial.
2.2
Existence et unicité
Dans ce paragraphe, on donne des résultats d’existence et d’unicité de solution pour le problème auxiliaire (2.2).
Théorème 2.2.1. Soient X un espace de Banach et K un convexe fermé non vide de X. Soient f : K × K → IR une bifonction, T : X → X∗ un opérateur linéaire borné et ρ > 0 tels que
(i) f (x, x) = 0 pour tout x ∈ K ;
f est monotone et hémi-continue supérieurement ;
Pour tout x ∈ K fixé, la fonction y 7→ f (x, y) est convexe et semicontinue inférieure- ment ;
(ii) T est δ-fortement positif ;
(iii) (Condition de coercivité) Pour tout x ∈ X, il existe un compact convexe non vide Cx de X et y0 ∈ Cx∩ K tels que
ρf (z, y0) + hT (y0) − T (z), z − xi < 0 pour tout z ∈ K\Cx. Alors, pour tout x ∈ X, il existe un unique z ∈ Cx∩ K tel que
ρf (z, z) + hT (z) − T (z), z − xi ≥ 0 ∀z ∈ K.
Preuve. La démonstration de ce résultat est une application directe du Théorème 1.3.2 en considérant pour tout u, v ∈ K, F (u, v) = ρf (u, v) et g(u, v) = hT (v) − T (u), u − xi. Nous avons besoin seulement de montrer l’unicité de la solution. En effet, supposons que le problème (AuxPE) admet deux solutions z1 et z2, alors
ρf (z1, z) + hT (z) − T (z1), z1− xi ≥ 0 ∀z ∈ K (2.3)
ρf (z2, z) + hT (z) − T (z2), z2− xi ≥ 0 ∀z ∈ K. (2.4) Prenons z = z2 dans la relation (2.3) et z = z1 dans la relation (2.4), en faisant la somme, on obtient
ρ[f (z1, z2) + f (z2, z1)] ≥ hT (z2− z1), z2− z1i. Comme f est monotone et T est δ-fortement positif, alors
0 ≥ hT (z2− z1), z2− z1i ≥ δkz1 − z2k2.
Théorème 2.2.2. Soient X un espace de Banach réflexif et K un convexe fermé non vide de X. Soient f : K × K → IR une bifonction à valeur réelle, T : X → X∗ un opérateur linéaire borné et ρ > 0 tels que
(i) f (x, x) = 0 pour tout x ∈ K ;
f est monotone hémi-continue supérieurement ;
Pour tout x ∈ K fixé, la fonction y 7→ f (x, y) est convexe et semicontinue inférieure- ment ;
(ii) T est δ-fortement positif.
Alors, pour tout x ∈ X, il existe une solution unique z ∈ K tel que ρf (z, z) + hT (z) − T (z), z − xi ≥ 0 ∀z ∈ K.
Preuve. La démonstration de ce résultat est une application directe du Théorème 1.3.2 en considérant pour tout u, v ∈ K, F (u, v) = ρf (u, v) et G(u, v) = hT (v) − T (u), u − xi. Il est facile de montrer que les conditions (i)-(ii), du Théorème2.2.2impliquent les conditions (i)-(ii) du Théorème 1.3.2. Il suffit donc de montrer que la condition de coercivité (iii) du Théorème 1.3.2est satisfaite. En effet, nous devons montrer que pour un certain v0 ∈ K on a G(u, v0)
kv0− uk
→ −∞ quand kv0− uk → +∞. Soit v0 ∈ K tel que G(u, v0) = hT (v0) − T (u), u − xi = hT (v0− u), u − v0i + hT (v0− u), v0− xi = −hT (v0− u), v0− ui + hT (v0− u), v0− xi ≤ −δkv0− uk2+ kT kkv0− ukkv0− xk. d’où G(u, v0) kv0− uk ≤ −δkv0− uk + kT kkv0− xk. (2.5)
Par conséquent G(u, v0) kv0− uk
→ −∞ quand kv0− uk → +∞.
2.3
Algorithme et convergence
Après avoir donné un résultat d’existence de solution du problème (AuxP), ce paragraphe sera consacré à l’étude de la convergence d’un algorithme d’approche pour la solution du problème d’équilibre à l’aide d’un problème auxiliaire.
Soit le problème d’équilibre suivant
trouver z ∈ K tel que f (z, z) ≥ 0 ∀z ∈ K.
Pour tout ρ > 0 et x ∈ K fixé, on considère le problème auxiliaire suivant :
avec T : X → X∗.
Algorithme 1 :
Étape 0. Etant donné une suite {ρn}n∈IN ⊂]0, +∞[ et x0 ∈ X arbitraire. Posons n := 0.
Étape 1. Etant donné xn∈ X, on calcule xn+1 ∈ X tel que
ρn+1 f (xn+1, z) + hT (z) − T (xn+1), xn+1− xni ≥ 0 ∀z ∈ K. (2.6) Reprendre n := n + 1 et effectuer l’étape 1.
Théorème 2.3.1. Soient X un espace de Banach et K un convexe fermé non vide de X. Soient f : K × K → IR une bifonction d’équilibre et T : X → X∗ un opérateur linéaire. On suppose que
(i) f est σ−fortement monotone et hémi-continue supérieurement ;
Pour tout x ∈ K fixé, la fonction f (x, ·) est semi-continue inférieurement et convexe ; (ii) La suite {ρn}n∈IN est croissante ;
(iii) L’opérateur T est δ−fortement positif ;
(iv) (Coercivité) Pour tout x ∈ X, il existe un compact convexe non vide Cx de X et y0 ∈ Cx∩ K tel que
ρnf (z, y0) + hT (y0) − T (z), z − xi < 0 pour tout z ∈ K\Cx. En plus, on suppose que la condition suivante est satisfaite :
(C1) ∃k ∈]0, 1[, ρn+1 ρn kT k δ + σρn+1 < k;
Alors l’ensemble des solutions du problème d’équilibre auxiliaire (AuxPE) n’est pas vide et la suite itérative {xn}n∈IN générée par l’algorithme 1 converge fortement vers une solution z ∈ Sf.
Preuve. Par la définition de l’Algorithme 1, on a respectivement
ρn+1 f (xn+1, z) + hT (z) − T (xn+1), xn+1− xni ≥ 0 ∀z ∈ K (2.7) et
Prenons z = xn dans la relation (2.7) et z = xn+1 dans la relation (2.8), et additionnons les deux inéquations, on obtient
[f (xn+1, xn) + f (xn, xn+1)] − 1 ρn+1 hT (xn+1− xn), xn+1− xni +ρ1 nhT (xn+1− xn), xn− xn−1i ≥ 0 (2.9)
Puisque la suite {ρn}n∈IN est croissante et à termes positifs, alors la relation (2.9) devient [f (xn+1, xn) + f (xn, xn+1)] − 1 ρn+1 hT (xn+1− xn), xn+1− xni +ρ1 nhT (xn+1− xn), xn− xn−1i ≥ 0. (2.10)
Puisque f est σ-fortement monotone et l’opérateur T est supposé δ-fortement positif et kT k-Lispchitzien continue, on déduit de la relation (2.10) que
σkxn+1− xnk2+ δ ρn+1 kxn+1− xnk2 ≤ kT k ρn kxn+1− xnkkxn− xn−1k. Par conséquent kxn+1− xnk ≤ ρn+1 ρn kT k σρn+1+ δ kxn− xn−1k. (2.11)
En tenant compte de la condition (C1), il s’ensuit que
kxn+1− xnk ≤ kkxn− xn−1k. (2.12) Alors la suite {xn} est de Cauchy. Par conséquent, elle converge fortement vers un point de x ∈ K. D’autre part, nous montrons que x est une solution du problème d’équilibre (PE). En effet, par la définition de l’Algorithme 1 et puisque f est monotone, on déduit, pour tout n ∈ IN ,
1 ρn+1
hT (y) − T (xn+1), xn+1− xni ≥ f (y, xn+1) ∀y ∈ K. Grâce à la linéarité de T , on obtient
1 ρn+1
kT kky − xn+1kkxn+1− xnk ≥ f (y, xn+1) ∀y ∈ K. (2.13) Puisque la fonction f (y, ·) semi-continue inférieurement et T est borné, alors en passant à la limite inférieure dans la relation (2.13), on obtient
0 ≥ f (y, x) pour tout y ∈ K.
Soit, pour t ∈ [0, 1] et y ∈ K, un élément yt = ty + (1 − t)x. Puisque K est convexe, alors yt∈ K pour tout t ∈ [0, 1]. Par conséquent
f (yt, x) ≤ 0. (2.14) D’autre part, puisque f (yt, yt) = 0 et que la fonction f (yt, ·) est convexe, on déduit que
0 = f (yt, yt) ≤ tf (yt, y) + (1 − t)f (yt, x). Alors, grâce à la relation (2.14), on obtient, pour tout t ∈]0, 1],
f (yt, y) ≥ 0.
Puisque f est hémi-continue supérieurement, alors par passage à la limite quand t → 0+ dans l’inégalité précédente, on obtient
f (x, y) ≥ 0 pour tout y ∈ K.
Alors x ∈ Sf.
Corollaire 2.3.2. Soient X un espace de Banach réflexif et K un convexe fermé non vide de X. Soient f : K × K → IR une bifonction d’équilibre et T un opérateur linéaire de X à valeur dans X∗ tels que
(i) f est σ−fortement monotone et hémi-continue supérieurement ;
Pour tout x ∈ K fixé, la fonction f (x, ·) est semi-continue inférieurement et convexe ; (ii) La suite {ρn}n∈IN est croissante ;
(iii) L’opérateur T est δ-fortement positif.
En plus, on suppose que la condition suivante est satisfaite : (C1) ∃k ∈]0, 1[, ρn+1 ρn kT k δ + σρn+1 < k;
Alors l’ensemble des solutions du problème d’équilibre auxiliaire (AuxP) n’est pas vide et la suite itérative générée par l’algorithme 1 converge fortement vers une solution z ∈ Sf du problème d’équilibre (PE).
2.4
Exemples numériques.
Grâce à des considérations faisant intervenir tout aussi bien l’aspect numérique, nous avons pu appliquer notre algorithme pour des exemples satisfaisant aux résultats du para- graphe précédent.
En effet, nous appelons la fonction de mérite (Gap function) et la méthode de la descente, inspiré des travaux antérieurs de Chadli-Konnov-Yao [24] et Konnov [60], nous avons eu l’idée d’implementer l’algorithme 1 à l’aide du logiciel Matlab 7.7.
Par la suite, on considère T = 3 0 0 3
Exemple.1 On considère d’une la bifonction f définie sur K := [0, 1] × [0, 1] à valeur réelle telle que
f (x, y) = 2x1(y1− x1) + x1(y2− x2).
La bifonction f est 1-monotone et continue. Par conséquent le problème d’équilibre : Trouver x ∈ K tel que
f (x, y) ≥ 0 pour tout y ∈ K
admet une solution et l’ensemble des solution est Sf = {x ∈ K : x1 = x2 = 0}. Exemple.2 Soit K := {x ∈ [0, 1] × [0, 1] : x2 ≤ x1}. On considère le problème d’équilibre
associé à la bifonction g définie par
g(x, y) = (y1− x1)(3x1− x2) + 2x2(y2− x2),
La bifonction g est 2-monotone et continue. Par conséquent le problème d’équilibre : Trouver x ∈ K tel que
g(x, y) ≥ 0 pour tout y ∈ K
admet une solution et l’ensemble des solution est Sg = {x ∈ K : x1 = x2 = 0}. Exemple.3 Soit K := [0, 1] × [0, 1]. On considère le problème d’équilibre associé à la bi-
fonction h définie par
h(x, y) = ex22(y2 2 − x
2 2).
La bifonction h est monotone et continue. Par conséquent le problème d’équilibre : Trouver x ∈ K tel que
h(x, y) ≥ 0 pour tout y ∈ K
Problème Point initial Solution Nombre d’itérations Exemple 1 (0.644,0.379) (4.189e-04 , 3.631e-04) 10
(0.135,0.46) (9.181e-01 ,1.408e-06) 15 (0.431,0.91) (6.640e-01 , 3.075e-07) 17 (0.226,0.171) (4.968e-01 , 8.011e-08) 18 Exemple 2 (0.44,0.71) (3.666e-04 , 4.769e-01) 13 (0.13,0.246) (4.405e-04 , 5.818e-01) 15 (0.03,0.251) (5.188e-04 5.002e-01) 17 (0.643,0.061) ( 3.653e-04 , 3.211e-04) 20 Exemple 3 (0.43,0.61) (9.953e-01 , 7.683e-08) 10 (0.13,0.246) (1.430e-02 , 1.279e-08) 12 (0.803,0.151) ( 9.857e-01 , 1.063e-08) 16 (0.435,0.461) ( 9.715e-01 , 3.787e-08 ) 13
Table 2.1 – Résultats numériques de l’Algorithme 1, testé sur les exemples 1-2-3
2.5
Commentaires
Le principe du problème auxiliaire tel qu’il a été défini pour les problèmes d’optimisa- tions et les inéquations variationnelles [30, 32] et son extension dans ce travail au cadre des problèmes d’équilibre présente plusieurs intérêts d’ordre théoriques et numériques entre autre.
Intérêt théorique : Il permet de retrouver les principaux algorithmes d’optimisation dans un cadre unifié où l’étude de convergence a été effectuée une fois pour toute.
En effet, par exemple lorsqu’on se restreint à l’étude d’un problème d’optimisation dans un cadre hilbertien et selon un choix approprié de l’opérateur T on peut retrouver comme cas particuliers les algorithmes du gradient projeté ainsi que l’algorithme de Newton-Raphson. Intérêt numérique : Il réside dans le conditionnement numérique des problèmes d’opti- misation et des inéquations variationnelles.
En effet, le principe du problème auxiliaire permet de remplacer un problème dont la réso- lution s’avère numériquement difficile par une suite de problèmes bien conditionnés de ce point de vue. A titre d’exemple, lorsqu’on se restreint au problème d’optimisation
min u∈U J (u)
et l’on suppose qu’il se prête à priori à une résolution par la méthode de Newton, à ceci près que le hessien ∇2J de J n’est pas défini positif à l’optimum u∗. Alors, le conditionnement
de la matrice hessienne ∇2J (u) se détériore au voisinage de u∗ et l’itération de l’algorithme de Newton "explose" lorsque xk tend vers u∗.
Choisissons un scalaire δ > 0, on applique le principe du problème auxiliaire avec l’opérateur T est défini par :
hT u, ui = δ 2hu, ui + 1 2hu, ∇ 2J (x k) − ui.
Le problème auxiliaire au point xk est quadratique, sa matrice hessienne est égale à (δI + ∇2J (x
k)) et elle est partout définie positive dès que ∇2J (xk) est elle même semi-définie positive. Le problème auxiliaire se résolu alors de manière explicite et sa solution est :
xk+1 = xk− [δI + ∇2J (xk)]−1.∇J (uk),
que l’on peut interpreter comme itération d’une méthode de Newton "avec conditionne- ment". On notera que le choix du coefficient δ résulte d’un compromis entre, d’une part le respect des conditions de convergence de l’algorithme (Coércivité : δ doit être "grand") et d’autre part le ralentissement induit par le terme quadratique dans l’expression de T (freinage : δ doit être "petit").
Chapitre 3
Problème d’équilibre à deux niveaux
Sommaire
3.1 Introduction . . . 33