Les résultats obtenus à l'issu de ce travail sont très intéressants. Cet enrichissement du modèle cinématique devra aller de pair avec une profonde ré exion sur le modèle rhéologique de loi de com-portement à appliquer à la macro bre. Un ensemble de bres présente un comcom-portement moyen global qui se caractérise par une forte anisotropie et des couplages non linéaires entre les diérentes directions. Formuler une loi équivalente décrivant le comportement d'un tel milieu constitue une problématique très complexe.
Annexe B
Ré exion sur la prise en compte de la
matrice de gomme en 2D
L'étude présentée dans le manuscrit a porté sur la modélisation d'un câble nu, c'est à dire sans prendre en compte l'eet de la gomme qui l'entoure. Cependant, au sein du pneumatique le câble se trouve dans un environnement con né, enrobé d'une matrice de gomme qui lui transmet diérents types de sollicitations. Ces eets ont été jusqu'à ici négligés puisque les bords libres des bres de la couche externes du câble ont été supposés non contraints. On présente dans cette annexe, quelques ré exions sur une méthodologie d'héritage des eets de la gomme à l'échelle locale. En guise de simpli cation, on se place dans le cadre du problème bidimensionnel présenté dans le chapitre5.
B.1 Modélisation de la matrice de gomme à l'échelle macroscopique
B.1.1 Réalisation du maillage de la gomme
On présente ici la démarche utilisée pour dé nir le maillage de la matrice de gomme à l'échelle macroscopique. La première étape concerne la détermination des macro-disques de la couche extérieure qui seront en liaison avec la matrice de gomme. Ces macro-disques forment en d'autres termes la frontière interne de la matrice. Cette frontière n'est pas forcément convexe. Pour déterminer ce contour on utilise une démarche relativement simple. Dans un premier temps, chaque macro-disque est divisé en un certain nombre de secteurs angulaires. Ensuite, le critère qui permet de déterminer si un macro-disque est externe ou interne se base sur le nombre de secteur angulaire (choisi 75% du nombre de total des secteurs angulaires) à partir duquel "un observateur" placé au centre du macro-disque "observe" d'autres macro-disques voisins.
(a) (b)
Figure B.1 (a) Critère de détermination des macro-disques externes (b)Contour extérieur de l'assemblage
En se référant à l'illustration par la gure B.1(a), le critère de recherche "des secteurs internes" s'écrit :
si α1 < θi< α2 C'est un un secteur angulaire interne
si non α1< θi < α2 C'est un un secteur angulaire externe (B.1) Les macro-disques formant le contour extérieur sont schématisés sur la gure B.1(b).
La géométrie de la matrice de gomme est dé nie comme une cellule rectangulaire centrée sur l'ensemble des macro-disques. Cette cellule est par la suite discrétisée. La réalisation du maillage du volume occupé par la matrice de gomme est relativement simple. D'abord, les arrêtes externes de la cellule sont dicrétisées. Ensuite, ces n÷uds externes sont projetés sur le contour externe de l'ensemble des macro-disques, formant ainsi le contour interne de la matrice de gomme (voir gure B.2(b)) . Le maillage nal de la matrice de gomme est donné par la gure B.2(c). On fait le choix que le volume de gomme recouvre en partie celui des macro-disques.
(a) (b)
(c)
Figure B.2 B.2(a)Discrétisation des bords externes de la cellule(b)Projection des n÷uds externes
(c) Maillage nal de la matrice de gomme
B.1.2 Loi de comportement de la gomme
La gomme constituant la cellule est un matériau élastomère considéré incompressible. Le comporte-ment de la gomme est considéré hyperélastique et que l'on modélise par un modèle de Mooney-Rivlin.
B.1. Modélisation de la matrice de gomme à l'échelle macroscopique 161 L'énergie de déformation incompressible s'écrit sous la forme :
ω(I1, I2, I3) = C1(I1− 3) + C2(I2− 3) + κ 2
p
I3− 12
Où I1 , I2et I3 représentent les invariants du tenseur de déformation. κ est un coe cient de pénalisation de la contrainte d'incompressibilité.
C1et C2 sont des coe cients caractéristiques du matériau. D'après [Lignon 2011], on considère pour les applications numériques les coe cients suivants :
C1= 0.539MPa C2= 1.062MPa κ = 1000MPa
Le terme de pénalisation de l'incompressibilité est calculé par sous-intégration (élément P0) pour contourner le risque de verrouillage numérique qui pourrait accompagner l'imposition d'une telle contrainte.
B.1.3 Pilotage de la matrice de gomme
Pour modéliser des sollicitations subies par la nappe brée dans l'environnement du pneumatique, on introduit des conditions aux limites cinématiques sur les n÷uds des extrémités de la matrice de gomme. Ces conditions, qu'on exprimera dans le repère xe (e1, e2), sont prises en compte par une méthode de pénalisation. Elles s'écrivent pour les n÷uds Nbord considérés comme suit :
xt(Nbord) − x0(Nbord), e1 = δx (B.2)
xt(Nbord) − x0(Nbord), e2 = δy (B.3)
Tel que δx et δy sont les valeurs de déplacement à imposer respectivement dans les directions e1
et e2 entre la con guration initiale et la con guration courante t.
B.1.4 Liaison entre la matrice de gomme et les macro-disques : notion d'agrafe
On aborde ici la méthode de couplage entre la matrice de gomme et les macro-disques appartenant au contour extérieur de l'ensemble. L'idée est d'imposer une continuité de déplacement entre le centre des macro-disques appartenant au contour extérieur au point matériel occupant la même position dans l'élément ni de la matrice de gomme correspondant. En d'autre termes, cela revient à agrafer ces marco-disques à la gomme. Les n÷uds des élements nis de la matrice de gomme, qui sont concernés par le couplage, sont considérés comme esclaves par rapport à ces macro-disques. D'où la notion d'agrafe. Cette approche que l'on appliquera ici sur un cadre bidimensionnel simpli é, est similaire à celle présentée dans [Durville 2011] pour assurer le couplage entre la structure câblée tridimensionnelle et la matrice de gomme.
Considérons un macro-disque qui se rattache à un élément nis de gomme. La position du centre de ce macro-disque s'écrit en fonction des positions des n÷uds {N1, N2, N3, N4}de l'élément nis de gomme auquel il se rattache de la manière suivante :
xi,g =
4
X
i=1
Avec ϕi représente la fonction de base du n÷ud Ni. Le point matériel de position xi,g est dit point d'agrafe.
La liaison entre les deux structures est prise en compte en pénalisant la distance entre le centre du macro-disque concerné et sa position dans l'élément ni de gomme correspondant. Le terme de couplage macro-disque / gomme s'écrit :
Ψ = 1 2Kgd xi− xi,g 2 (B.4) Avec xi la position du centre du macro-disque concerné par la liaison et Kg le coe cient de pénalisation. d est une dimension choisi de l'ordre du diamètre du macro-disque et introduite pour homogénéiser la dimension du terme de couplage. La valeur du coe cient de pénalisation est choisi de l'ordre du module d'Young de la gomme, dé nie en fonction des coe cients de Lamé par :
Kg = µ(3λ + 2µ) λ + µ Tels que λ = 4C2+ K µ = 2C1+ 2C2 B.1.5 Résultat numérique
La gureB.5 présente un exemple de simulation numérique sur l'ensemble gomme/macrodisques. Dans ce test, la matrice de gomme est pilotée en déplacement. On cherche par ce test à se rapprocher de ce qui se passe dans un câble sous compression dans un environnement con né de gomme.
(a) (b)
Figure B.3 (a)Con guration initiale (b)Con guration déformée