∀x ∈ [0, 1], q1(x) = q2(x).
Remarque 18. Le cas a = 0 et m = 0 est d´eg´en´er´e (voir [Hor01]). En effet, nous obtenons M0(V ) = 0, ce qui signifie que le spectre associ´e `a cette
op´erateur n’est autre que la suite nπ + β + Z 1 0 q(t)dt n∈Z .
Autrement dit, le spectre ne d´etermine rien de plus que la moyenne du po- tentiel. D’autre part, il est ais´e de calculer les vecteurs propres Y (x, E, q) qui ne sont que
Y (x, E, q) = cos (Ex − Q(x)) − sin (Ex − Q(x))
et de ce fait les constantes de normalisation sont
κ0,n(q) = Y (1, En, q) · uβ> = (−1)n,
elle n’apportent donc aucune information sur le potentiel.
7.3
Commentaire sur le r´esultat obtenu
Il semble, au vu des r´esultats somme toute similaires aux probl`emes in- verses r´eguliers, que le th´eor`eme7.2.1soit loin d’ˆetre optimal . En effet, dans le cas r´egulier (a = 0) les travaux de Horv´ath [Hor01] ´etendus par Kiss [Kis04] montrent que l’op´erateur de Dirac poss`ede une propri´et´e d’injectivit´e spec- trale analogue au th´eor`eme de Borg pour l’op´erateur de Schr¨odinger. Celle-ci se formule par un r´esultat de type th´eor`eme d’Ambarzumian [Amb29] : Th´eor`eme 7.3.1 (Horv`ath [Hor01] 0 < m ≤ 1
2; Kiss [Kis04] m > 0).
Soit q ∈ C0
R(0, 1) et m > 0. Soit (λn(q))n∈Z le spectre du probl`eme aux valeurs
propres 0 −1 1 0 d dx + q(x) + m 0 0 q(x) − m Y (x) = λY (x). avec les conditions de bords Y2(0) = Y2(1) = 0.
Conclusions et perspectives
Le probl`eme spectral inverse pour les op´erateurs de Sturm-Liouville sin- guliers provenant de l’´equation de Schr¨odinger radiale est maintenant ter- min´e, nous avons d´etermin´e pour chaque entier a la correspondance entre les potentiels et les donn´ees spectrales ainsi que les ensembles isospectraux associ´es. Pour le syst`eme AKNS singulier, le probl`eme spectral inverse local est r´esolu, les vari´et´es isospectrales sont d´ecrites. L’injectivit´e dans L2
R(0, 1)
reste en suspens, n´eanmoins, le r´esultat pour les potentiels HR1(0, 1) et son application `a l’op´erateur de Dirac radial permettent d’ˆetre optimiste `a ce sujet.
Diverses voies restent `a explorer, notamment pour l’op´erateur de Schr¨odin- ger radial. Dans l’optique du livre de P¨oschel et Trubowitz [PT87], quelques applications num´eriques peuvent ˆetre ais´ement d´eduites, en particulier la construction d’une classe de potentiels isospectraux. En effet, Guillot et Ral- ston [GR88] ont ´etendus `a a = 1 les calculs de flots engendr´es sur les vari´et´es isospectrales par les vecteurs tangents. Le travail r´ealis´e ici permet d’esp´erer la validit´e de cette proposition pour de plus grandes valeurs de a. D’autre part, le r´esultat de diff´eormorphisme obtenu ici nous assure une certaine stabilit´e pour ces calculs.
D’un point de vue plus physique, l’´etude du probl`eme inverse avec deux spectres associ´es `a des valeurs de a diff´erentes est int´eressante mais semble ardue. N´eanmoins, motiv´es par les r´esultats de rigidit´e spectrale de Carlson et Shubin [CS94] (l’intersection de deux vari´et´es isospectrales associ´ees `a des valeurs de a diff´erentes est localement de dimension finie), Rundell et Sacks [RS01] ont pu pos´e quelques jalons.
D’un point de vue math´ematique, ces travaux devraient s’appliquer `a l’´equation de Korteweg-de Vries (KdV) vt+ vxxx− 6vvx = 0, notamment afin
d’obtenir le caract`ere bien pos´e dans des espaces peu r´eguliers. En effet, ce probl`eme est li´e `a l’´etude de probl`eme spectraux inverses pour des op´erateurs de Hill, Hq:= − d
2
dx2+ q, avec potentiel singulier : les travaux, entre autres, de
Kappeler et Topalov [KT03]-[KT04] permettent d’´etendre l’´etude spectrale pour q dans H−1
R (0, 1) ; or, nous avons consid´er´e ici une famille de potentiels
qa = q + a(a+1) x2 , pour q dans L 2 R(0, 1), i.e. qa appartient `a H −3/2 R (0, 1). . .
Pour l’op´erateur AKNS singulier, les probl`emes d’injectivit´e restent en- core `a traiter. Dans le cas r´egulier, des th´eor`emes de type Borg (deux spectres d´eterminent le potentiel) ou de type Hochstadt-Liebermann (un spectre et une information partielle sur le potentiel le d´eterminent) sont obtenus par Del Rio et Gr´ebert [dRG01]. Il pourrait ˆetre possible d’´etendre ces r´esultats mais la difficult´e d’obtenir des estimations suffisamment pr´ecises et globales risque d’ˆetre un frein.
En revanche, l’´etude parall`ele men´ee ici laisse `a penser que des probl`emes d’intersection de vari´et´es isospectrales, d’application num´erique d´ecoulant de flots engendr´es par les vecteurs tangents sur les vari´et´es isospectrales, peuvent se prˆeter `a investigation. La possibilit´e d’´etudier les applications `a l’´equation de Sch¨odinger non-lin´eaire ı∂tψ = −∂x2ψ+2κ|ψ|2ψ, κ ∈ R avec donn´ee initiale
singuli`ere n’est pas `a ´ecarter.
Pour terminer, le probl`eme inverse le plus ouvert concerne l’op´erateur de Dirac radial, les m´ethodes d´evelopp´ees dans cette th`ese n’ayant men´e pour l’instant qu’`a des impasses. Malgr´e cela, il semble qu’un r´esultat du type th´eor`eme d’Ambarzumian (un potentiel continu associ´e `a un op´erateur de Dirac ayant les mˆemes valeurs propres que l’op´erateur de Dirac libre est nul), obtenu dans le cas r´egulier par Horv´ath [Hor01] puis par Kiss [Kis04], puisse ˆetre atteint.
Quatri`eme partie
Annexes
Annexe A
Fonctions de Bessel
Les fonctions de Bessel (ou leurs produits) que nous consid´erons poss`edent des comportement bien maˆıtris´es en 0 et en l’infini. Or la variable (z = λx, avec |λ| → ∞ et x ∈ [0, 1]) utilis´ee pour ces fonctions de Bessel est `a la fois destin´ee `a tendre vers 0 et vers ∞. Ces deux comportements entrent donc en comp´etition. Ce qui suit montre comment les contrˆoler simultan´ement avec une seule et mˆeme estimation. Nous montrerons d’ailleurs certaines d’entre- elles, relatives aux fonctions de Green, fortement utilis´ees dans la litt´erature mais rarement prouv´ee ou r´ef´erenc´ees (`a notre connaissance). Les relations basiques sur les fonctions de Bessel proviennent de [EMOT81].
A.1
Repr´esentations
Les fonctions de Bessel sph´eriques ja et ηa sont d´efinies `a partir des fonc-
tions de Bessel usuelles via ja(z) =
r πz
2 Ja+1/2(z), ηa(z) = (−1)
ar πz
2 J−a−1/2(z), (A.1.1) Jν repr´esentant la fonction de Bessel de premier type et d’ordre ν. Il est aussi
possible d’utiliser l’´ecriture ´equivalente suivante pour ηa
ηa(z) = −
r πz
2 Ya+1/2(z), (A.1.2) Yν ´etant la fonction de Bessel de second type et d’ordre ν.