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1. Introduction
La commande robuste d’ordre entier CROE des systèmes multivariables est une technique de commande qui vise à garantir les performances et la stabilité des processus industriels en présence des perturbations et des incertitudes de modélisation qui affectent le modèle de synthèse. En effet, ce dernier est une représentation qui approxime au mieux, avec des hypothèses simplificatrices, le système réel.
Dans la plupart des applications industrielles, il existe un écart entre le comportement observé du système réel et son modèle de synthèse. En revanche, la CROE vise à déterminer une loi de commande garantissant des critères imposés par des cahiers de charge où le modèle utilisé doit modéliser le fonctionnement nominal du système à commander. Par conséquent, le contrôleur robuste obtenu doit assurer une Stabilité Robuste SR du système bouclé ainsi que la robustesse des Performances Nominales PN de celui-ci. Ceci non seulement pour le régime de fonctionnement nominal mais aussi pour tous les régimes possibles de perturbations. Dans le domaine de la CROE, plusieurs méthodes efficaces ont été proposées pour assurer les deux robustesses précédentes en présence des incertitudes de modélisation, des bruits de mesures et finalement en présence des dynamiques négligées en hautes fréquences. Parmi les méthodes de synthèse les plus efficaces, la méthode ℋ∞ est celle la plus utilisée pour assurer des meilleures marges de SR et de PN. C’est une méthode d'optimisation qui prend en compte une formulation mathématique des contraintes par rapport au comportement attendu en boucle fermée.
Un des avantages considérables de la commande ℋ∞ est sa capacité à introduire des concepts liés aussi bien à la commande classique que la commande robuste. Le mot « optimal » est fréquemment utilisé dans son sens strictement mathématique, car la commande synthétisée est celle qui minimise l'effet des entrées/sorties exogènes du système, ce qui peut être vu comme "non optimal" par les opérateurs (l'optimisation étant relative à l'objectif recherché). De plus, le mot « infini » dans le symbole ℋ∞ signifie que ce type de commande est conçu pour imposer des restrictions de type min-max au sens de la théorie de la décision (minimiser la perte maximale possible) dans le domaine fréquentiel. Finalement, La norme ℋ∞ d'un système dynamique est l'amplification maximale que le système peut exercer sur l'énergie du signal d'entrée. Dans le cas d'un système Multi- Input, Multi-Output MIMO, ceci équivaut à la valeur singulière maximale du système, ce qui, dans le cas mono variable SISO (Single Input Single Output), se traduit par la valeur maximale de l'amplitude de sa réponse fréquentielle.
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systèmes multivariables linéaires sera détaillée, où un intérêt particulier est donné à la méthode de synthèse ℋ∞. A cet effet, nous allons présenter les outils mathématiques et les principales définitions utilisées dans cette stratégie de commande comme la définition de la norme ℋ∞ et ses propriétés, la quantification et l’évaluation des incertitudes de modélisation qui affectent le modèle de synthèse, les tracés des lieux des valeurs singulières maximales des deux sensibilités directe et complémentaire dans le plan fréquentiel. Ces derniers permettant la vérification des deux conditions de robustesse sur la stabilité robuste ainsi que sur les performances nominales du système bouclé. Ces deux conditions seront formulées sous forme d’un problème de sensibilité mixte qui sera résolu par deux versions de la méthode ℋ∞.
La première version est basée sur la résolution récursive de deux équations de Riccati. Quant à la seconde, elle est basée sur la formulation des spécifications sous forme des inégalités matricielles ou en anglais Linear Matrix Inequalities LMI. Ce chapitre sera achevé par une partie de simulation où les performances des deux versions précédentes de la méthode ℋ∞ seront comparées à travers une application sur un procédé chimique modélisé par un modèle incertain à retard pur multiple. Les résultats de simulation seront comparés à ceux fournis par un contrôleur PID (Proportionnel Intégral Dérivée) pluridimensionnel, et cela dans les deux plans fréquentiel et temporel.
1.1. Représentation d’un système pluridimensionnel 1.1.1 Représentation utilisant le modèle linéaire incertain
Le modèle linéaire décrivant la dynamique réelle d’un système pluridimensionnel est celui donné par les équations d’état et de mesure suivantes [21,22]:
( ) = ( ) + ( )
( ) = ( ) + ( ) (1.1) Avec :
( ) ∈ ℝ × : représente le vecteur d’état du système à commander.
( ) ∈ ℝ × : représente le vecteur de commande fournies par le contrôleur. ( ) ∈ ℝ × : représente le vecteur de sorties (grandeurs à régler)
∈ ℝ × : représente la matrice d’état du système à commander. ∈ ℝ × : représente la matrice de commande.
∈ ℝ × : représente la matrice d’observation.
∈ ℝ × : représente la matrice de la chaîne directe.
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La matrice de transfert, notée ici par ( ) ∈ ℂ × , est déterminée comme suit:
( ) = ( . × − ) + (1.2)
Au regard de l’équation (1.2), il est évident que la matrice ( . × − ) ∈ ℂ × ne sera inversible qu’à condition que son déterminant ne soit pas identiquement nul. De ce fait, la représentation matricielle d’un système MIMO est celle donnée par le formalisme unifié suivant:
( ) ( ) =
( )
( ) (1.3)
Dans le but de mettre en évidence la correction d’un système pluridimensionnel; deux configurations possibles des systèmes fermés sont à rappeler. La configuration donnée par la figure Fig.1.1.a est utilisée dans l’étape de synthèse du contrôleur. Par contre la configuration de la figure Fig.1.1.b est utilisée si le système à commander est entaché par des erreurs d’incertitudes de modélisation [22,23].
Fig.1.1. a. Configuration standard ( − )
Fig.1.2.b. Configuration standard ( − ∆ )
Fig.1.3. Configuration standard d’un système bouclé
A partir de ces figures, les notations suivantes seront utilisées dans la suite, avec : ( ): est une matrice de transfert décrivant le modèle généralisé (système augmenté). ( ): est une matrice de transfert décrivant le contrôleur robuste à synthétiser.
∆ ( ): est une matrice de transfert stable décrivant les incertitudes de modélisation.
( ): est un vecteur qui représente les différentes entrées exogènes à savoir: les trajectoires de références, les perturbations, les bruits de mesures, … etc.
( ): est un vecteur qui représente les différentes sorties exogènes: les erreurs modérées de poursuite, les commandes modérées, … etc.
w u u z z y z z w w M w
∆ ( )
( )
( )
w w u z z y( )
( )
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1.1.2. Représentation fréquentielle
La représentation fréquentielle d’un système LTI multi-variable notée ( ) pour ∈ ℝ∗ est une matrice complexe dont le gain et la phase dépendent de la fréquence et du vecteur des excitations du système (vecteur des entrées). Il est donc intéressant d’étudier certaines propriétés de cette matrice dans une plage fréquentielle donnée. Les définitions suivantes sont nécessaires pour cette étude :
1.1.3. La décomposition en valeurs singulières SVD
L’idée de la décomposition en valeurs singulière est similaire à la décomposition en valeurs propres des matrices carrées et diagonisables, mais fonctionne pour n’importe quelle matrice de taille × : on factorise en produit de trois matrices:
= . . ∗ (1.4)
Avec une matrice × unitaire, ∗ une matrice × unitaire et une matrice × diagonale avec coefficients réels et positifs. peut être exprimée comme suit [24]:
= 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ 0 0⋮ ⋯⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 , avec ≥ ≥ ⋯ ≥ ≥ 0 (1.5)
1.1.3.1. SVD pour les systèmes LTI multi-variables
Lors de la synthèse d’un contrôleur robuste, les valeurs singulières d’une matrice de transfert du système à commander, sont de plus en plus utilisées pour quantifier les énergies des signaux agissant sur le système bouclé. Ces dernières décrivent l’évolution de la dynamique du système dans le plan fréquentiel.
De ce fait, une matrice de transfert ( ) peut être décomposée en valeurs singulières maximales ( ) et en valeurs singulières minimales ( ) , on obtient les deux relations [24]:
∀ > 0, ( ) ≜ ( ) (1.6)
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Ces deux dernières relations sont équivalentes à :
( ) ≜ ‖ ‖ ‖ . ‖ = ∗( ). ( ) , (1.8)
( ) ≜ ‖ ‖ ‖ . ‖ = ∗( ). ( ) , (1.9)
Où ‖. ‖ représente la norme euclidienne, ∗ la matrice conjuguée de et est la plus grande valeur propre.
1.1.3.2. Les normes et ∞
Pour un système LTI ayant comme vecteurs d’entrées ( ), de sortie ( ) et comme matrice de transfert ( ), les deux normes sur la relation entrée/sortie sont définies par les équations (1.10) et (1.11).
a) Norme
‖ ( )‖ = ( )∈ ‖ ( )‖‖ ( )‖ = ∞∞ ∗( ) ( ) (1.10)
b) Norme ∞
C’est la norme induite par la norme des fonctions ℋ . De plus, cette norme mesure le gain maximal (pic de résonance) de la réponse fréquentielle de ( )c :
‖ ( )‖∞= ( )∈ ‖ ( )‖
‖ ( )‖ = ( ) (1.11)
1.2. Modélisation des incertitudes
Dans le contexte de la commande robuste, la connaissance d’un modèle nominal utilisé pour la synthèse du contrôleur est insuffisante. Il est donc judicieux de prendre en charge tout type d’incertitudes causées par les erreurs de modélisation, les dynamiques négligées, les bruits de mesures…etc.
Les incertitudes de modélisation peuvent être décrites par les incohérences entre le modèle nominale de synthèse et le régime de fonctionnement réel du système physique. Pratiquement, il existe trois raisons pour l’existence de ces incertitudes [22]:
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Le système original est parfaitement connu, mais le modèle est réduit pour contourner les difficultés imposées par la complexité du modèle complet.
Les incertitudes sont causées par une structure inadéquate du modèle, par exemple la représentation d’un modèle non linéaire par un modèle linéaire.
Durant la phase de modélisation d’un comportement réel d’un tel système physique, les erreurs de modélisation, dites non structurées, peuvent être classées en deux formes: additive (directe ou inverse) et multiplicative (directe ou inverse). Cette dernière peut être représentée en entrée ou en sortie du modèle du système.
1.2.1. Incertitude additive directe ou inverse [25]
Cette incertitude présente l’erreur absolue entre le comportement réel et celui fourni par le modèle nominal ( ). Elle est souvent employée pour modéliser les différentes dynamiques négligées à savoir les dynamiques non linéaires et/ou méconnues [26]. L’incertitude additive peut se décomposer en deux types qui sont : incertitude additive directe et incertitude additive inverse. En effet, pour chaque type, le système perturbé est modélisé par la matrice de transfert ( ) qui est donnée par :
Fig. 1.2.a. Incertitude additive directe Fig. 1.2.b. Incertitude additive inverse
( ) = ( ) + Δ ( ) (1.12) ( )= ( ) + Δ ( ) (1.13)
Fig.1.2. Incertitude additive
1.2.2. Incertitudes multiplicatives
La forme multiplicative représente l’écart, en terme de variation, entre le comportement fourni par le système réel et celui déterminé via le modèle nominal de synthèse. Cette forme peut être classée en multiplicative directe ou inverse soit par rapport aux entrées du modèle nominale, soit par rapport aux sorties.
N G u y a + +
p G z w N G u y i a
-
+
p G z wPage | 15
Notons ici que la forme multiplicative en entrée est souvent employée pour prendre en compte les erreurs de modélisation causées par les actionneurs ou les convertisseurs installés dans la boucle de commande. La forme multiplicative en sortie est, généralement, utilisée pour modéliser les défauts causés par les capteurs ou les autres instruments de mesures installés dans la boucle de commande [26]. En effet, le système perturbé ( ) s’écrit, dans ces cas, comme suit :
Fig. 1.3.a. Incertitudes multiplicative en sortie directe Fig. 1.3.b. Incertitudes multiplicative en sortie inverse
( ) = + Δ ( ) . ( ) (1.14) ( )= + Δ ( ) . ( ) (1.15)
Fig. 1.3.c. Incertitudes multiplicative en entrée directe Fig. 1.3.d. Incertitudes multiplicative en entrée inverse
( ) = ( ). + Δ ( ) (1.16) ( )= ( ). + Δ ( ) (1.17)
Fig.1.3. Incertitudes multiplicative
1.3. Transformation linéaire fractionnaire LFT
Dans la théorie de la commande robuste, deux transformations linéaires fractionnaires sont utilisées pour la modélisation et la commande du système pluridimensionnel incertain. Ces deux transformations sont définies comme suit :
1.3.1. LFT supérieure [24,25]
L’interconnexion de la matrice de transfert complexe ( ) à celle des incertitudes ∆ ( ) permet de définir le transfert en boucle fermée ↦ ( ). Ceci est effectué par l’utilisation d’une transformation dite LFT supérieure ( , ∆ ):
N G u y p G s + + z w N G u y p G - + z w i s N G u y p G + + z e w N G u y p G - + z w i e
Page | 16 Fig.1.4.a. Schéma d’une LFT supérieure d’un système bouclé.
A partir de la Fig.1.4.a, le transfert ↦ ( ) est défini comme suit:
( ) = ( , ∆ ) . ( ) (1.19)
Où la LFT supérieure est définie comme suit :
( , ∆ ) = . ( − ∆ . ) . ∆ . + , (1.20)
Cette transformation permet aussi de définir le système perturbé ( ) du système à commander, et cela pour n’importe quel type d’incertitudes citées au paragraphe §1.2.
Par conséquent, on obtient le transfert ( )= ↦ ( ) donné comme suit :
Incertitude additive directe: ( ) = ( , ∆ ) avec = 0 .
Incertitude additive inverse: ( ) = , ∆ avec = −− .
Incertitude multiplicative directe en sortie: ( ) = ( , ∆ ) avec = 0 .
Incertitude multiplicative inverse en sortie: ( ) = , ∆ avec = −− .
Incertitude multiplicative directe en entrée: ( ) = ( , ∆ ) avec = 0 .
Incertitude multiplicative inverse en entrée: ( ) = , ∆ avec = −− .
1.3.2. LFT inférieure [24,25]
Dans le contexte de la commande robuste, l’interconnexion de la matrice augmentée ( ) avec celle du contrôleur ( ) permet de définir le transfert en boucle fermée ↦ ( ). Ceci est effectue à l’aide d’une transformation dite LFT inférieure ℓ( , ) :
∆
z
w z
Page | 17 Fig.1.4.b. Schéma d’une LFT inférieure d’un système bouclé.
Dans la suite, nous verrons que la matrice de transfert du contrôleur robuste sera déterminée via la minimisation de la norme ℋ∞ d’un critère fourni par LFT inférieure ℓ( , ), ce qui donne la relation suivante :
( ) = ℓ( , ) . ( ) (1.21)
Où la LFT inférieure est définie comme suit :
ℓ( , ) = . ( − . ) . . + , (1.22)
1.4. Stabilité des systèmes pluridimensionnels 1.4.1. Stabilité nominale
La stabilité nominale d’un système pluridimensionnel est assurée si tous les pôles du transfert en boucle fermée se situent dans le demi-plan complexe gauche. Il faut noter ici que lors de la conception du contrôleur, la simplification de pôles/zéros instables entre le système nominale et le contrôleur peut faire apparaître une instabilité, cette simplification peut disparaître lors de l’implémentation du contrôleur sur le système physique réel.
1.4.2. Stabilité interne
Un système est en stabilité interne si en lui appliquant des signaux d'entrée bornés, on obtient des signaux de sorties bornés. Nous verrons dans la suite de ce travail que ce type de stabilité dépend de la stabilité de quatre matrices de sensibilité dont les transferts seront détaillés.
1.4.3. Stabilité robuste
Ce type de stabilité doit être examiné dans le cas d’un système bouclé soumis à des incertitudes de modélisation. A cet effet, la figure Fig.1.5.a schématise la structure du système bouclé pour l’analyse d’une telle stabilité.
w Z
u e
Page | 18 Fig.1.5.a. Structure d’un système bouclé pour l’analyse de la robustesse de stabilité
Avec ( ) est le modèle nominal, ( ) est le contrôleur, ∆ ( ) est le transfert modélisant l’une d’incertitude non structurée citées précédemment [24] et, finalement, est le vecteur des entrées de références supposées nulles.
Pour l’analyse de la robustesse de stabilité, la structure donnée par la figure Fig.1.5.a peut être reconfigurée sous la forme générale ( ∆− ∆ ) ci-dessous:
Fig.1.5.b. Structure générale d’étude de la robustesse de stabilité
A partir de la Fig.1.5.b, il est intéressant d’étudier la robustesse de stabilité d’un tel système bouclé soumis à des incertitudes de modélisation non structurées. Pour cela, on fait appel au théorème du faible gain (Small gain theorem).
1.4.3.1. Théorème du petit gain
Considérons ∆ une perturbation stable satisfaisant la condition :
‖∆ ‖∞ ≤ 1, (1.23)
a. Théorème 1
Le système donné par la figure Fig.1.5.b est stable en présence des incertitudes ( ), si :
‖ ∆( ). ( )‖∞ ≤ 1 , ∀ ∈ ℝ∗ ⇔ ∆( ). ( ) < 1 (1.24)
Une autre condition de stabilité robuste également suffisante mais plus conservative est la suivante : K GN +
-
u y x M 0 r w z ∆( )
∆( )
∆≈ ≈
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b. Théorème 2
Le système bouclé représenté par la Fig.1.5.b est robustement stable si la condition suivante est vérifiée :
‖ ∆( )‖∞. ‖ ( )‖∞ ≤ 1 , ∀ ∈ ℝ∗ (1.25)
1.4.3.2. Condition de stabilité
L’application du théorème 2 sur le système bouclé donné par la Fig.1.5.a, en présence des incertitudes détaillées dans la section §1.3, donne les conditions de robustesse de stabilité suivantes :
Incertitude additive directe . × + .
∞ ≤
‖ ( )‖∞. Incertitude additive inverse . × + .
∞ ≤
( )
∞
.
Incertitude multiplicative directe en sortie . . × + .
∞ ≤‖ ( )‖
∞. Incertitude multiplicative inverse en sortie × + .
∞ ≤
( )
∞
.
Incertitude multiplicative directe en entrée . . × + .
∞ ≤‖ ( )‖
∞. Incertitude multiplicative inverse en entrée × + .
∞ ≤ ( )
∞
.
1.4.4. Analyse de robustesse en présences de diverses entrées exogènes
L’analyse de robustesse fondée sur la stabilité robuste, les performances nominales et les performances robustes, présente le sujet de nombreuses méthodes de synthèse des contrôleurs robustes et stables. Ces derniers stabilisent de manière robuste non seulement le système nominal, mais aussi le système en présence d’entrées exogènes telles que: les incertitudes de modélisations, les bruits de mesures, les perturbations…etc.
A cet effet, des conditions de robustesse sont introduites afin de satisfaire les spécifications fréquentielles imposées par un cahier de charges. Pour la formulation du problème de la synthèse d’un contrôleur robuste, on considère la configuration standard donnée par la figure Fig.1.6 [24,
Page | 20 Fig.1.6. Configuration standard d’un système bouclé
Les notations suivantes seront utilisées dans la suite, avec : : représente le vecteur des perturbations à l’entrée du système. : représente le vecteur des perturbations à la sortie du système.
: représente le vecteur des erreurs de poursuite entre les sorties mesurées et les références. : représente le vecteur des bruits de mesures
, et : représentent, respectivement, les signaux modérés (filtrés) des erreurs de poursuite, des commandes et les sorties mesurées.
A partir de la configuration standard ci-dessus, on peut obtenir facilement les équations suivantes : = × + . . − − − . × + . . = . × + . . − − − ( ). ( ). × + . . = . . × + . . − + × + . . + . × + . . (1.26)
Où les sorties exogènes sont données par :
= .
= .
= . (1.27) On peut ainsi définir les quatre sensibilités suivantes :
a. Sensibilité directe en sortie ( )
Elle représente le transfert entre les sorties mesurées du système bouclé et les différents signaux d’entrées tels que, les erreurs de poursuite, perturbations de sortie et les signaux de commande, on obtient : + K u 3 z + - GN ++ + + y d u d r e y T W 2 z 1 z x + y R W S W
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( ) = × + ( ). ( ) (1.28)
b. Sensibilité directe en entrée ( )
Elle représente le transfert entre les sorties mesurées du système bouclé et les perturbations à l’entrée. Elle est donnée par :
( ) = × + ( ). ( ) (1.29)
c. Sensibilité complémentaire en sortie ( )
Elle représente l’influence des bruits de mesure sur les sorties du système bouclé, ainsi que l’effet des perturbations à l’entrée sur les commandes. Elle est donnée par :
( ) = ( ). ( ). × + ( ). ( ) (1.30)
d. Sensibilité complémentaire en entrée ( )
Ce transfert relie les entrées de perturbation à l’entrée du système bouclé à celle des entrées de commande, il est donné par :
( ) = ( ). ( ). × + ( ). ( ) (1.31)
Ces sensibilités sont liées entre-elles par les relations décrites par les équations (1.32) :
( ). ( ). × + ( ). ( ) = × + ( ). ( ) . ( ). ( )
( ). ( ). × + ( ). ( ) = × + ( ). ( ) . ( ). ( )
( ). ( ) = ( ). ( )
, (1.32)
Tenant compte des deux relations :
+ = ×
+ = × (1.33) et en se basant sur les définitions ci-dessus, les équations données par (1.26) seront réécrites selon les équations (1.34) :
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= . − − − . .
= . . − − − .
= . − + . + . .
(1.34)
Les spécifications qui doivent être assurées par le contrôleur robuste sont les suivantes :
Spécification 1 : Une bonne dynamique de poursuite des signaux de référence implique que ( ) doit être faible.
Spécification 2 : Une bonne atténuation de l’effet des bruits de mesure implique que ( ) doit être faible.
Spécification 3 : Une bonne rejection des perturbations en entrée du modèle implique que ( ). ( ) doit être minimisée.
Spécification 4 : Une bonne minimisation des énergies de commande implique que ( ) ou ( ). ( ) doivent être faibles.
Spécification 5 : Un compromis de robustesse entre les objectifs contradictoires PN et SR doit être assuré avec une marge élevée.
A partir des équations données par (1.34) et utilisant la norme ℋ∞ , les indicateurs des performances des sensibilités précédentes sont définis par les équations (1.35) [24, 25]:
= ∞ = max ∈ℝ∗ ( ) = . ∞= max ∈ℝ∗ ( ). ( ) = ∞ = max ∈ℝ∗ ( ) = ‖ ‖∞= max ∈ℝ∗ ( ( ) ) = ‖ . ‖∞ = max ∈ℝ∗ ( ( ). ( ) ) = ‖ ‖∞= max ∈ℝ∗ ( ( ) ) (1.35)
Où , , , , et correspondent, respectivement, aux pics maximaux des valeurs singulières des transferts ( ), ( ). ( ) , ( ), ( ), ( ). ( ) et ( ).
De plus, si les valeurs de ⋆ et de ⋆ sont élevées, les marges de robustesse des performances et de stabilité du système bouclé devient être faibles face aux incertitudes de modélisation qui affectent le système.
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1.5. Problème ℋ∞ standard
A partir des équations (1.34), la satisfaction des spécifications précédentes peut être effectuée via la minimisation de la norme ℋ∞ d’un critère de performance formulé par LFT inférieure sur le système d’interconnexion représenté par la Fig. 1.7 :
Fig.1.7. Configuration ( − ) du système bouclé
La représentation interne du système bouclé peut être mise sous la forme de l’équation (1.36) [24,25]:
( ) = . ( ) + . ( ) + . ( ) ( ) = . ( ) + . ( ) + . ( ) ( ) = . ( ) + . ( ) + . ( )
, (1.36) La matrice de transfert du système augmenté ( ) est alors partitionnée selon l’équation
(1.37): ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1.37)
et la loi de commande est donnée par : = ( ).
La synthèse du contrôleur robuste se ramène finalement à la résolution de l’un des deux problèmes à savoir : problème ℋ∞ optimal ou problème ℋ∞ sous-optimal.
1.5.1. Problème ℋ∞ ptimal [27]
La synthèse de la commande consiste à minimiser le critère de performance décrit par l’équation (1.38): ( ) ‖ ‖‖ ‖ = ( ) ‖ ( , )‖∞ (1.38)
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La minimisation de ‖ ( , )‖∞ sur l’ensemble des contrôleurs ( ) stabilisant d’une manière interne le système bouclé, peut fournir un gain optimal d’atténuation noté pour lequel toutes les spécifications, imposées par le cahier de charges, sont satisfaisantes.
1.5.2. Problème ℋ∞ sous optimal
Dans ce cas, le problème de la commande est remplacé par la recherche de la solution de l’inégalité représentée par l’équation (1.39) :
‖ ℓ( , )‖∞ < , (1.39)
Où ∈ ℝ∗ est le gain d’atténuation fixé à priori par l’utilisateur.
1.5.3. Problème de Sensibilité Mixte généralisée
Dans tout ce qui suit, le vecteur de perturbations agissant sur les entrées du système est supposé nul. Le raisonnement adopté durant la synthèse du contrôleur robuste est celui basé sur les formes de ( ) , ( ). ( ) et ( ) qui sont bornées comme suit :
( ) ≤ ℓ ( ) ( ). ( ) ≤ ℓ ( )
( ) ≤ ℓ ( )
(1.40) Où ℓ , ℓ et ℓ sont des fonctions scalaires spécifiant l’allure (gabarit) désiré. De plus, si l’on définit = ℓ , = ℓ et = ℓ , les équations données par (1.40) deviennent:
. ∞ < 1 (1.41) . . ∞< 1 (1.42) . ∞ < 1 (1.43) Les transferts , et sont des pondérations choisies à priori par l’utilisateur afin de limiter, respectivement, les valeurs singulières maximales des transferts , . et . Notons ici que la condition sur les performances nominales du système bouclé est assurée par la satisfaction de l’inégalité (1.41), sachant que la matrice de pondération est souvent choisie diagonale :
Page | 25 ( ) = 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ 0 0⋮ ⋱ … ⋮ × , avec : ( ) = . (1.44)
Où , et sont des paramètres sélectionnés à l’avance par l’utilisateur pour formuler la é fonction de pondération ( ) dont son inverse limite la é fonction de sensibilité direct ( ) dans la plage fréquentielle .