LA COMMANDE AU PREMIER ORDRE

4.1. Définition

Dès lors que les objectifs de commande sont compatibles avec l'utilisation d'un modèle linéarisé tangent, il est envisageable de synthétiser une loi de commande non linéaire reposant sur l'utilisation de ce même modèle linéaire tangent. C'est dans ce cadre que l'on définit la commande au premier ordre. Sa définition repose sur l'exposé de sa méthodologie de synthèse.

Une loi de commande au premier ordre est calculé en deux étapes :

• On synthétise une commande locale en chaque point de fonctionnement en appliquant les techniques d'Automatique linéaire à chaque modèle linéaire tangent (placement de pôles, commande optimale, …). Au cours de cette première étape, il est uniquement nécessaire de connaître le comportement dynamique au premier ordre du système.

• Enfin, on cherche une commande non linéaire dont la linéarisation redonne localement les commandes calculées lors de la première étape. On procède le plus souvent soit par interpolation, soit par intégration tout en essayant de tenir compte du comportement statique global du système. Mais, on doit constater qu'il est souvent difficile de réaliser cette étape.

4.2. Quelques principes d'extension des commandes locales

On se place ici dans le cadre minimal d'application de la commande au premier ordre. On suppose que l'utilisation des modèles linéaires tangents est possible. On souhaite exposer quelques méthodologies de globalisation de ces lois locales dont l'objectif est de calculer une loi non linéaire globale.

4.2.1. Le séquencement de gains standard : l'intégration discrète

Un grand nombre de systèmes réels sont non linéaires. Leur comportement dynamique peut souvent être étudié grâce à des modèles linéaires tangents calculés sur l'ensemble des points de fonctionnement

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dudit système non linéaire. Dès lors, il est facile de se rendre compte que la connaissance d'un unique modèle linéaire tangent n'est pas suffisante si l'on souhaite synthétiser une loi de commande valide globalement. Les caractéristiques dynamiques du système peuvent évoluer vis-à-vis de changements opératoires, de conditions extérieures, … On doit donc considérer les linéarisations locales autour de plusieurs points de fonctionnement. C'est à ce niveau que l'expertise de l'ingénieur est nécessaire. En effet, on peut se poser quelques questions légitimes :

• En quels points de fonctionnement doit-on linéariser le système à commander?

• Quel niveau de discrétisation du domaine de fonctionnement doit-on envisager pour espérer synthétiser une loi de commande globale?

Ces dilemmes étant résolus, les correcteurs locaux ainsi synthétisés sont rendus dépendants de ces points de fonctionnement. Il est alors intéressant de rappeler la notion de systèmes linéaires à paramètre variant (ou "Linear Parametrically Varying" - LPV). Ces systèmes sont de la forme :

( ) ( ) ( ).x D( ). u C y u . B x . A x δ θ + δ θ = δ θ + δ θ = δ _{où θ∈∆} (III-2-36)

où A, B, C et D sont des matrices dépendantes de θ, vecteur exogène traduisant l'influence de conditions externes (par exemple, les caractéristiques du point de fonctionnement) sur le système. ∆ est le domaine de fonctionnement du système. Il est alors possible de déterminer un maillage de ∆, c'est-à-dire un ensemble dénombrable de vecteurs exogènes θi de ∆ que l'on note Ω. On calcule alors

une loi de commande en chaque "point" de ce maillage en déterminant au préalable un modèle linéaire tangent en ce "point" θi. Cette loi de commande permet de satisfaire localement les contraintes de

stabilité, de performance et de robustesse du système ainsi corrigé. On obtient alors :

( ).x v

K

u_i=− θ_i δ _i+δ

δ , ∀θi∈Ω.

(III-2-37)

On suppose que les paramètres dont dépendent les correcteurs ainsi calculés varient lentement par rapport à la dynamique du système à corriger. Il reste alors deux difficultés à résoudre pour espérer synthétiser une loi de commande globale pouvant être utilisée sur tout le domaine de fonctionnement :

• Mesurer et/ou estimer les paramètres en ligne. Diverses solutions ont été proposées. La valeur courante du paramètre peut être estimée par filtrage passe-bas. Des techniques d'estimation baysienne ont aussi été proposées. Plusieurs filtres de Kalman sont alors utilisés (un pour chaque modèle linéaire tangent). Mais leur mise en œuvre est souvent lourde et plaide en la faveur de techniques de synthèse multi-modèles plus souples dans leur mise en œuvre [Le Gorrec,1998- Chabé,2000].

• Déterminer une politique de gestion des diverses lois de commande. Deux grands concepts se concurrencent pour permettre la gestion de gains. L'interpolation des gains, voire des sorties des correcteurs fonctionnant tous en parallèle [Kelly,1997]. La commutation - chaque "point" θi du

maillage défini initialement est associé à une zone du domaine de fonctionnement qui correspond à une unique loi de commande. Le passage d'une zone de fonctionnement à une autre entraîne la commutation d'une loi de commande à une autre [Mora-Camino,1991-Carter,1996- Fromion,1995].

Enfin, après avoir calculé une loi de commande globale, il est nécessaire de vérifier les propriétés globales du système bouclé. En pratique, cette vérification est réalisée à l'aide de nombreuses simulations pouvant être exploitées statistiquement par des méthodes de Monte-Carlo. Néanmoins, cette étape à posteriori soulève de nombreuses interrogations. Quel est l'impact de cette politique de gestion sur la stabilité globale du système? La résolution théorique de ce problème est loin d'être acquise [Peleties,1991-Brannick,1994-Johansson,1996].

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4.2.2. L'intégration continue

On se place ici dans l'hypothèse où l'on dispose de l'expression analytique du linéarisé en fonction du "point" θ. On obtient alors :

( ). x B( ).u A

x= θδ + θδ

δ où θ∈∆, (III-2-38)

∆ étant le domaine de fonctionnement. Il est alors possible de déterminer explicitement l'expression de la loi de commande locale en fonction du point de fonctionnement θ. On a :

( ). x v

K u=− θ δ +δ

δ . (III-2-39)

On souhaite alors savoir comment il faut généraliser cette loi de commande locale pour obtenir une loi de commande globale non linéaire valide sur l'ensemble de fonctionnement de la forme :

( )x,u

u=σ . (III-2-40)

La linéarisation de cette loi autour de chaque point de fonctionnement θ doit redonner les lois de commande locale initiales. L'adaptation des gains en chaque point de fonctionnement peut alors se faire automatiquement et continûment sans aucun recours à une estimation et autre commutation. C'est l'intérêt principal de l'intégration continue de ces lois de commande locales. Mais, comment faire?

Il s'agit d'intégrer des équations aux dérivées partielles du premier ordre sur la surface d'équilibre. En effet, si l'on écrit :

( ). x

K u v=δ + θ δ

δ (III-2-41)

L'opération d'intégration revient à chercher une certaine fonction γ telle qu'en tout point d'équilibre, l'on est : ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì θ = ∂ γ ∂ = ∂ γ ∂ 0 0 0 0 0 K u , x x I u , x u (III-2-42)

La solution, sur la surface d'équilibre uniquement, est alors obtenue sous la forme :

( )x,u

v=γ , (III-2-43)

qui sera définitivement valide si l'on vérifie la condition :

(x ,u ) 0 u

det_∂∂γ 0 0 ≠

(III-2-44)

On remarque enfin que le comportement du système bouclé est approximativement linéaire dans le cas où le placement des modes est invariant par rapport au point de fonctionnement. Tout comme dans le cadre de l'intégration discrète, l'étape de validation est fondamentale. En effet, l'hypothèse selon laquelle la synthèse globale d'une loi de commande se réduit en une infinité de sous-synthèse locale de loi de commande n'est pas évidente. Rien ne garantit que tout point d'une trajectoire est proche d'un état d'équilibre. La seule façon de procéder est alors de réaliser une évaluation de la stabilité globale à posteriori.

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C

LA COMMANDE NON LINEAIRE INVERSE

Au cours de la partie précédente, on a pu se rendre compte que l'avion au sol peut être vu comme un système dynamique continu non linéaire admettant une représentation d'état non linéaire dite affine. Ce type de représentation d'état, que nous allons définir et étudier par la suite, est nécessaire pour la mise en œuvre de la commande non linéaire inverse. C'est pour cette raison que l'on s'intéresse à cette méthode de synthèse pour commander les dynamiques longitudinale et latérale de l'avion au sol. La mise en œuvre pratique est proposée dans les deux parties suivantes avec la synthèse d'une loi de pilotage en cap (partie 4) et d'une loi de pilotage de la vitesse de l'avion au sol (partie 5).