Coloration et hiérarchisation des RdP

En compléments des extensions de RdP ayant pour objectif la modélisation du temps

nécessaire pour l’évaluation des performances temporelles, deux extensions doivent être

mentionnées dans la mesure où elles contribuent à la maîtrise de modèles de grande taille

caractérisant nos applications : les RdP colorés et les RdP hiérarchique.

Les réseaux de Petri colorés, introduits par (Jensen, 1981), sont une classe de RdP dans

laquelle les jetons sont porteurs d’une information, appelée couleur. Cette couleur appartient à

un ensemble de couleurs d’un type simple (booléen, entier, réel, chaine de caractères) ou

complexe construit comme le produit cartésien d’ensembles de couleurs élémentaires. Chaque

22, le franchissement de la transition T1 par rapport à la couleur � conduira à retirer de la

place P1 un jeton de couleur � et à déposer dans la place P2 un jeton de couleur � et un

jeton de couleur � .

P1

place est associée à un ensemble de couleurs (simple ou complexe) et ne peut contenir que des

jetons dont les couleurs appartiennent à cet ensemble. De la même manière, chaque transition

est associée à un ensemble de couleurs, chacune de ces couleurs indiquant une possibilité

distincte de franchissement. Des fonctions d’incidence avant et arrière sont associés aux arcs

respectivement entrant et sortant des transitions et permettent de :

- définir les conditions de franchissement en termes de nombre de jetons colorés devant

être présents dans les places d’entrée de la transition (incidence avant ou PRE),

- définir le nombre et les couleurs des jetons déposés dans les places en sortie de la

transition (incidence arrière ou POST).

Soit C(T

j

) l’ensemble des couleurs associées à la transition T

j

. Cette transition peut être

franchie par une quelconque de ces couleurs. Soit C

k

une couleur de C(T

j

) et M un marquage

courant du RdP coloré. La transition T

_j

est validée par rapport à C

_k

pour le marquage M si et

seulement si : ∀�_u ∈°�_u, � �_u ≥��� �_u,�_v/�_w . Sur la Figure 22, la transition T1 sera

validée pour la couleur � si � �_l ≥ ��� �_l,�_l � = � � = � . Une transition T

j

validée pour une couleur C

k

peut être franchie. Son franchissement, noté T

j

/ C

k

consiste à

retirer à toute place P

_i

en amont de T

_j

une quantité de marque égale à Pré(P

_i

, T

_j

/C

_k

) et à déposer

dans toute place P

_i

en aval de T

_j

une quantité de marque égale à Post(P

_i

, T

_j

/C

_k

). Sur la Figure

<a> <b>

<b> <c> f(<a>) = <b> + 2<a>

<b> <c> f(<b>) = <c>

C _{f(<c>) = <b> + <c>}

f

C = {<a>, <b>, <c>}

T1 _{{<a>, <b> <c>}}

g

g(<a>) = 2<a>

P2

g(<b>) = <b> + <a>

g(<c>) = <b> + <c>

C

Figure 22: Exemple de RdP coloré

Le principal intérêt de la coloration réside dans les opérations de pliage (et inversement de

dépliage) définissant une équivalence entre un RdP généralisé et un RdP coloré. En effet, un

choix judicieux de couleur doit permettre la représentation de plusieurs composants, décrits

chacun par un RdP identique, sous la forme d’un RdP coloré unique dans lequel les couleurs

identifieront les composants comme le montre l’exemple très simple de la Figure 23. Cette

caractéristique des RdP colorés présente un intérêt très significatif pour la modélisation de

systèmes impliquant plusieurs composants dont le comportement est similaire, ce qui est

évidemment le cas des architectures de contrôle-commande dont nous cherchons à évaluer les

performances.

RdP Chariot 1 RdP Chariot 2 RdP coloré équivalent P1r P1b _Déplacement P1 r f(b) = b Déplacement à gauche à gauche b _{f(r) = r}

2 chariots identiques (rouge, bleu)

f Arrivée à Arrivée à Db T1 b T1r T1 Gb _{gauche gauche} {r, b} f Déplacement Déplacement P2b P2r P2 à droite à droite Gr Dr f Arrivée à _{T2 r} Arrivée à T2 b _{droite droite} T2 {r, b} f

Figure 23: Exemple de pliage d’un RdPG vers un RdP coloré

Les réseaux de Petri hiérarchiques, introduits par (Jensen, 1994), propose une

structuration modulaire des RdP dans laquelle des éléments du réseau, appelés transition de

substitution, sont eux-mêmes composés d'un réseau de Petri. Le modèle RdP associé à une

transition de substitution est appelé module RdP hiérarchique ; il peut contenir, à son tour,

d’autres transitions de substitution.

Un module RdP hiérarchique est un 9-uplet N = (P, T, E, S, M

0

T

sub,

P

port,

PT) où :

- (P, T, E, S, M

₀

) définissent un RdP

- T

_sub

est un ensemble de transitions de substitutions appartenant à l’ensemble fini des

transitions T d’un RdP. T

_sub

⊆T.

- P

_port

définit une place représentant l’ensemble des ports de connections d’un module.

Celles-ci appartenant à l’ensemble fini des places P. P

port

⊆ P.

- PT défini un attribut caractérisant le type de port de la place P

_port.

Cet attribut peut être

de type entrée (IN), sortie (OUT), ou d’entrée et de sortie (I/O). tel que PT : P

_port

→

{IN,OUT,I/O}.

Un RdP hiérarchique est un n-uplet N = (P, T, C, E, S, M

0,

T

sub,

P

port,

PT, S, SM, PS, FS) où :

- (P, T, C, E, S, M

0

) définissent un RdP coloré

- (T

sub,

P

port,

PT) définissent un module RdP hiérarchique.

- S définit un ensemble non vide de modules RdP hiérarchique

- SM : T

sub

→ S est la fonction qui assigne à chaque transition de substitution T

sub

un

ensemble de module S.

- PS définit la fonction d’assignation des places P

port

à une transition de substitution T

sub.

- FS est un ensemble non vide de P où tous les éléments on la même couleur et les mêmes

poids (nombre de jeton).

La Figure 24 représente un RdP hiérarchique comportant 3 places A, B et C ainsi qu’une

transition de substitution Module, associée réseau de droite sur la figure dont les places A, B et

C constituent respectivement les ports d’entrée(IN), d’entrées/sorties (I/O) et de sortie (OUT).

L’intérêt de cette extension est de permettre une description hiérarchique des systèmes mais

aussi modulaire dans la mesure où deux transitions de substitution du réseau hiérarchique

peuvent être associées à deux instances d’un même modèle RdP de module hiérarchique. Elle

offre donc à la fois une visualisation simplifiée par niveau d’un modèle RdP complexe mais

aussi la possibilité de mettre en œuvre une modélisation, sinon orientée objet au sens strict du

terme, tout au moins orientée « composants » au sens des approches Component-Based

Automation prônées par la norme IEC 61499 (Maffezzoni, et al., 1999), (Thramboulidis, 2004),

(Sünder, et al., 2006), (Estévez, et al., 2007).

Les extensions colorées et hiérarchiques sont donc tout à fait pertinentes pour la

modélisation d’architectures de contrôle-commande caractérisées par une structuration

hiérarchique et par la présence de composants dont les comportements sont similaires.

Dans le document Évaluation de performance d’architecture de contrôle-commande en réseau dans un contexte incertain d’avant-vente (Page 53-56)