P COLLETTE Op cit (p 51 T.1)

De la même manière, les nombres solides peuvent se disposer en parallélépipèdes mais aussi en cubes, en pyramides ou polyèdres.

A partir de ces figurés, on peut démontrer des propriétés des nombres. Les nombres triangulaires sont obtenus par sommation des nombres entiers consécu­ tifs ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 . . . ) , les nombres carrés résultent de la somme des im­ pairs consécutifs (1 + 3 + 5...). , les hétéromèques pair sommation des nombres pairs (2 + 4 + 6...).

On démontre avec les diagrammes de points que tout nombre carré est la somme de deux nombres triangulaires successifs (1, 1 + 3 , 3 + 6 ...)

Le gnomon est la figure qu'il faut ajouter pour passer d'un nombre figuré au suivant de même nature. Dans l'illustration ci-après, empruntée à l'ouvrage dirigé par A. TATON (1), les gnomons sont représentés par les points blancs.

0 • O • • O O O • • O O O O 1 4 9 Carrés O t • • • • • • • •

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Géométrie et arithmétique ne sont donc pas totalement distinguées dans les travaux de la période pythagoricienne. Si au début l'une est caractérisée par

la perception sensible de certaines évidences, l'autre apporte la certitude 1

du calcul mais progressivement, la géométrie va définir un ensemble de défini­ tions précises et des procédures de démonstration rigoureuses.

Le fameux théorème attribué à PYTHAGORE : "Dans les triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit est égal aux carrés des côtés com­ prenant l'angle droit" est également lié à la formule pythagoricienne pour définir deux nombres carrés dont la somme est un carré.

La construction de "figures cosmiques" ou solides réguliers (tétraèdre, cercle, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre) est attribuée par les trois premiers aux Pythagoriciens, pour les deux derniers à THEETETE, contemporain de PLATON.

Les pythagoriciens sont également les initiateurs de méthodes de représentation des nombres au moyen de formes et de quantités géométriques. Aussi, avec des

2 tracés, arrivent-ils à établir géométriquement les identités (a + b)

( a + b ) ^ = a ^ + 2 a b + b ^ , (a - b)^ = a^ + b^ - 2 ab ou (a + b) ( a - b ) = a 2 - b 2 Parabole 4- X- Air* bc X♦ 1 Air* bc Début X* ♦ X 1 »■ • » «■ • ... a — .Aira bc. Excès Ellfpse HyparboU

Les équations quadratiques sont résolues par une méthode d'application des aires. Dans les "Eléments", EUCLIDE ne fait intervenir que les problèmes susceptibles d'être résolus par la règle et le compas ou qui ne nécessitent que les techniques d'application des aires. Des questions faisant appel à des équations dépassant le premier et le second degré sont pourtant posées et résolues. Il en est ainsi de la quadrature du cercle, de la duplication du cube, de la trisection de l'angle.

Ces livres III et IV des "Eléments" traitent de la géométrie du cercle et de la géométrie des polygones inscrits. Les constructions des polygones régu­ liers à 3, 4, 5, 6 et 15 côtés sont données ainsi que la méthode pour doubler

ces nombres de côtés (1). Le contenu de ces deux livres est généralement attri­ bué à HIPPOCRATE de CHIO qui s'installe à ATHENES vers 470 avant J.C. alors que le traité d'EUCLIDE est rédigé à ALEXANDRIE vers 300 avant J.C.

Il est généralement admis que les treize livres des "Eléments" correspondent à une compilation et à une mise en ordre des travaux antérieurs en géométrie, en théorie des nombres, en algèbre traitée géométriquement qui sont présentés en une suite logique de 465 propositions accompagnées d'axiomes, de postulats et de définitions (2). L'ouvrage d'EUCLIDE est sans conteste le plus célèbre et le plus remarquable traité de mathématiques légué par l'antiquité.

Sur EUCLIDE lui-même, on ne possède que peu d 'informations. Il fut le fondateur de l'école de mathématiques d'ALEXANDRIE et a probablement été formé à ATHENES. L'influence des Eléments couvre toute la période du début du 3ième siècle avant J.C. à nos jours. Ils ont marqué l'enseignement de la géométrie et la pensée scientifique pendant plus de 20 siècles.

A l'issue de cet examen rapide des acquis des mathématiques grecques jusqu'à EUCLIDE, nous constatons que les éléments mathématiques présents dans les traités d'esthétique et d'architecture que nous avons répertoriés sont entiè­ rement constitués dans la période qui correspond à la fondation des mathématiques grecques jalonnée par les propositions des pythagoriciens et la synthèse d'EUCLIDE.

(1) - J. Cl. CARREGA dans "Théorie du corps, la règle et le compas" - Ed. HERMAN, PARIS (1984) signale que personne n'a pu en obtenir d'autres jusqu'en 1796 où K.F. GAUSS démontra que le polygone régu­

lier à 17 côtés était constructible à la règle et au compas. (2) - COLLETTE J.P. - Op. cit. (p. 68 - Tome 1)

Deux exceptions peuvent pourtant être opposées à cette affirmation. Elles concernent,1 'une les développements en série tels qu'ils apparaissent dans le

"Liber abaci" de LEONARD de PISE plus connu sous le nom de FIBONACCI (1180-1250)(1 ) L'autre la méthode de décomposition harmonique des rectangles ou à l'inverse

leur construction récurrente préccrâée par HAMBIDGE (2) et reprise par d'autres auteurs.

De manière synoptique, nous pouvons mettre en regard les principaux éléments mathématiques examinés dans la période de référence de l'antiquité grecque et leurs correspondances dans les traités d'architecture et d'esthétique que nous avons retenus depuis 1850 jusqu'à la période contemporaine. Nous obtenons la classification indiquée page suivante.

(1) - L a suite de FIBONNACI a été formulée à l'occasion du problème, suivant : "Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin d ’une année si, commençant avec un couple, chacun des couples produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son exis­ tence ?"

Ce problème donne lieu à la suite : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... U o u Un = Un - 1 + Un - 2. Cette suite comporte des particularités remar­ quables :

Ainsi : Un et Un + 1 sont premiers entre eux

Un/Un + 1 = 5 - 1 - 0

2

- Première théorie numérique des proportions (valeurs commensurables) M. GHYKA, LE CORBUSIER, A. LURCAT, G. JOUVEN

- Théorie des proportions élargies aux incommensurables A. THIERSCH, F.M. LUND, M. GHYKA, G. JOUVEN

- Théorie des moyennes ou médiétés M. GHYKA, A. LURCAT, G. JOUVEN

- Géométrie du cercle et des polygones inscrits