Uma outra maneira de resolver o problema das microlentes gravitacionais e encontrar as soluções para a topologia das causticas e magnificação da luz, é simulando a trajetória da luz vinda do observador e indo em direção a lente, e verificar se a luz chega até o ponto da fonte, assim não resolvendo a equação da lente explicitamente. Por depender da simulação do caminho inverso da luz, esta técnica se chama disparo de raios invertido, do inglês "Inverse Ray Shooting"(IRS) (Schneider & Weiss, 1987). A equação a seguir é uma generalização da eq. 2.3 que nos permite aplicar a deflexão da luz para n lentes.
~ zf = ~zi− n X j=1 j |~zi− ~rj|2 (~zi− ~rj) (3.30)
Onde ~zi é a posição inicial do ponto, j e ~rj são a fração de massa e posições das
lentes respectivamente e ~zf é a posição final do ponto após sofrer a deflexão. Aplicando
diretamente a eq. 3.30 à bilhões de pontos (fótons simulados) distribuídos no plano do observador, simulamos o envelope de luz que discutimos nos capítulos anteriores chama- dos de causticas. A utilidade desta técnica só é válida se pudermos extrair a variação da magnitude da estrela fonte em função do tempo. Este processo é estabelecido através da criação de mapas de magnificação. Após a aplicação da equação de deflexão na distri- buição de pontos (fótons), definimos uma grade de pixeis que mapeará a quantidade de fótons em cada local (mapa de magnificação). Uma vez simulado o mapa de magnificação, definimos a trajetória da fonte através do mapa, e então calculamos a magnificação em forma de curva de luz deste trajeto.
3.2.1
Tipos de Distribuição
A maneira mais básica de simular a deflexão dos fótons é distribuir randomicamente bilhões de pontos em um plano bidimensional e aplicar a deflexão devido às lentes em cada um dos pontos. A figura 3.1 exemplifica uma distribuição randômica de pontos em uma área de 5r2
E com 50 mil pontos na qual é calculada a deflexão de cada um dos pontos em
relação à uma única lente, gerando o padrão visto no quadro superior direito. O quadro inferior direito mostra o padrão formado para duas lentes de massas iguais, de forma que 1+ 2 = 1, com posições ~r1 = 0.75ˆx e ~r2 = −0.75ˆx. Este exemplo foi feito com poucos
Figura 3.1: O quadro da esquerda mostra uma distribuição randômica de 50 mil pontos dispostos em uma área de 5 r2
E, sendo visto em detalhe uma região de 3rE2. O quadro
superior da direita mostra a mesma distribuição após aplicada a deflexão da lente singular em todos os pontos. E o quadro inferior mostra o caso para duas lentes de mesma massa à uma distância de 1.5rE uma da outra.
pontos com o intuito de melhor visualizarmos a distribuição considerada.
Inicialmente, quando se tenta modelar um evento de microlente gravitacional via IRS, precisamos imaginar uma fonte isotrópica, de forma que toda a luz que atinga o plano do observador seja homogênea. Estando suficientemente longe, seu raio se tornará despre- zível e o plano de interesse do observador terá uma densidade de energia constante por toda a área de interesse. Para atingirmos essa homogeneidade utilizando uma distribui- ção randômica, precisamos aumentar a quantidade de pontos (fótons), assim asseguramos que todos os espaços do plano serão ocupados por pontos. Porém, mesmo se simularmos bilhões de fótons, ainda existe uma probabilidade de alguns espaços do plano não serem preenchidos. Isso é resolvido aumentando a quantidade de fótons simulados, o que au- menta absurdamente o tempo computacional gasto, pois a equação da lente deverá ser aplicada a cada um dos fótons simulados.
A homogeneidade da distribuição dependerá do método utilizado na randomicidade dos pontos, porém, se analisarmos qualquer função de distribuição randômica, sempre haverá a probabilidade de não existirem pontos em uma determinada coordenada espa- cial. Poderíamos então realizar uma distribuição igualmente espaçada, distribuindo os ponto em distâncias iguais em um plano cartesiano bidimensional. Esse método gera um mapa com densidade constante de pontos, pois todos esses estão igualmente espaçados. O problema aparece quando calculamos a equação da deflexão pois, estaremos fazendo
interferência conhecidos como padrões de Moiré (Bryngdahl,1974). O aparecimento des- ses padrões somente é problemático próximo das causticas pois, nessas regiões buscamos uma maior precisão, e essa interferência esconde o sinal real na curva de luz. Para dimi- nuirmos o aparecimento desses padrões, podemos fazer uma distribuição já curvilínea no plano do observador, assim, ao passar os pontos pela equação de deflexão, os padrões serão reduzidos. Abaixo, na figura 3.2, segue uma ilustração das três distribuições mencionadas.
IV V VI
I II III
Figura 3.2: Os quadros I, II e III mostram três distribuições de 50 mil pontos arranjados em um plano de área 5r2
E com método randômico, cartesiano e semi-regular respectiva-
mente. Os quadros inferiores mostram o resultado da passagem da equação de deflexão para 2 lentes pontuais de mesma massa.
O quadro V da figura 3.2 mostra os padrões criados ao aplicarmos a equação de de- flexão para duas lentes em uma distribuição cartesiana de pontos igualmente espaçados. Podemos ver ainda a criação dos padrões de interferência criados pela aparente superposi- ção dos pontos. No quadro VI, percebemos os padrões criados no caso de uma distribuição quase regular de pontos. Neste último caso, o método de distribuição de pontos utilizado foi o método deVogel (1979) detalhado no Apêndice D.
Quando criamos o mapa de magnificações para essas distribuições, podemos traçar um trajeto por uma reta e plotar uma curva de luz que representa a magnificação da fonte em cada ponto do gráfico. A figura 3.3 mostra mapa de magnificação e a curva de luz para um sistema com duas lentes simulado a partir de uma distribuição randômica de 150 milhões de pontos. Podemos perceber que, a curva de luz possui um grande ruído nas regiões afastadas da caustica porém, é bem definida nos picos de magnificação. Para melhorarmos o sinal desta curva, uma solução seria aumentar a quantidade de fótons simulados, o que aumentaria em muito o tempo computacional.
I II
III
Figura 3.3: O quadro II mostra o mapa de magnificação para um sistema com duas lentes de igual massa à distância de 1rE uma da outra gerado a partir de uma distribuição
randômica (quadro I). A curva de luz mostra a magnificação em relação ao tempo da fonte que passa pelo trajeto em branco no mapa de magnificação.
Por outro lado, se fizermos uma distribuição utilizando o método de Vogel, podemos distribuir a mesma quantidade de pontos da distribuição randômica e obter um melhor resultado e uma curva de luz mais suave, como podemos perceber comparando a figura 3.3 com a figura 3.4.
I II
III
Figura 3.4: O quadro II mostra o mapa de magnificação para um sistema com duas lentes de igual massa à distância de 1rE uma da outra gerado a partir de uma distribuição de
Vogel. A curva de luz no quadro III mostra a magnificação em relação ao tempo da fonte que passa pelo trajeto em branco no mapa de magnificação.
O método IRS supera a resolução semi-analítica quando se trata da velocidade na computação das curvas de luz para cada mapa de magnificação. A resolução semi-analítica precisa ser re-calculada para cada curva de luz, o que consome bastante tempo. No IRS, uma vez que já tenhamos criado o mapa de magnificação para a fração entre as massas das lentes e a distância entre elas, a computação das curvas de luz é praticamente instantânea. Então, mesmo que a simulação de cada mapa de magnificação dependa do poder computacional e da quantidade de fótons simulados, ganha-se muito tempo na criação das curvas de luz. A figura 3.5 mostra 5 curvas de luz diferentes para cada caminho traçado no mapa de magnificação. Essas curvas são facilmente produzidas e podemos computar milhares de curvas de luz para cada mapa de magnificação em menos de 1 segundo utilizando uma máquina simples com processador de 2.2GHz com 4 núcleos.
Figura 3.5: Mapa de magnificação com 5 caminhos da fonte com suas respectivas curvas de luz.
Cap´ıtulo
4
Topologia e Região de Interesse
"Nós não conseguimos definir nada pre- cisamente. Se o tentamos, encaramos uma paralisia cerebral que os filósofos encaram ao sentar um em frente ao ou- tro e dizer: - Você não sabe do que você está falando! E ou outro diz: - O que você quer dizer com "sabe"? o que você quer dizer com "falando"? o que vc quer dizer com "você"?"
Richard Feynman
No capítulo anterior, demonstramos as equações que caracterizam um evento de micro- lente gravitacional e a metodologia para resolver essas equações de forma semi-analítica e por simulação individual de cada fóton para n lentes. Neste capítulo vamos analisar as características das imagens, curvas críticas, causticas e curvas de luz, para diferentes configurações de massa e separação entre as lentes.
4.1
Fonte finita para o caso de n
= 1
Vimos no Capítulo 2 eq. 2.34 a magnificação para uma fonte pontual e uma única lente de massa 1 posicionada na origem do sistema. Vimos ainda que se o parâmetro de impacto µ0 for maior que zero, temos duas soluções que são as imagens da fonte. Porém
Figura 4.1: O primeiro quadro mostra as imagens (vermelho e verde) formadas a partir da fonte (azul) com ρ? = 0.5rE e o círculo preto é a curva crítica (raio de Einstein). O
segundo quadro mostra a interpolação feita nos pontos da primeira imagem para calcular a área.
em que o Jacobiano será zero, então a magnificação será infinita. Para contornarmos esse problema, podemos imaginar a fonte como sendo um disco com brilho superficial uniforme com tamanho ρ?. Assim, podemos calcular a magnificação como sendo de fato a razão
entre a área das imagens com a área do disco da fonte. Uma maneira direta de realizar esse cálculo, é dispor a fonte como uma circunferência de raio ρ? com n1 pontos formando
seu perímetro e então calcular a solução das imagens para cada ponto desta circunfe- rência. Como visto nos capítulos anteriores, a solução retorna duas imagens para cada ponto. Basta então calcularmos as áreas dessas imagens formadas por esses pontos. A fi- gura 4.1 mostra as duas imagens produzidas a partir da fonte com o parâmetro ρ? = 0.5rE.
Para avaliarmos a área das imagens, utilizamos o método numérico Alpha-Shape (Arias- Castro & Rodríguez Casal,2015). Este método aproxima o perímetro definido pelos pon- tos de quaisquer distribuições. Tendo o perímetro, podemos resolver numericamente o valor da área de cada imagem e então calcular a magnificação em cada posição da fonte. A figura 4.2 mostra a trajetória das imagens geradas a partir da fonte com ρ? = 0.5rE e
µ0 = 0.1.
Figura 4.2: Trajetória das imagens + e − vermelha e verde respectivamente a partir da transformação da fonte pela lente (azul).
Revisitando a eq. 3.29, lembramos que a curva crítica é essencialmente o raio de Einstein e que as curvas das causticas se encontram na origem.