8.3.5 R´ esultats et Simulations
Des r´esultats num´eriques sont donn´es dans la section 3.6 pour les canaux BIAWGNC et BSC. Ces r´esultats montrent que l’approximation Gaussienne est plus int´eressante car les codes r´ealis´es avec les m´ethodes 1 et 3 produisent le plus petit ´ecart `a la limite de Shannon. Selon le rendement souhait´e, il est pr´ef´erable de d´eterminer la fonction EXIT du d´ecodeur interne en utilisant une simulation Monte Carlo (m´ethode 3) ou l’approximation duale (m´ethode 1).
Pour le BIAWGNC, les meilleurs codes LDPC [9] ont une meilleure per-formance que les codes IRA. N´eanmoins, les codes IRA repr´esentent une alternative int´eressante au vu de la simplicit´e de leur encodage et d´ecodage.
8.4 Codes R´ ep´ etition-Accumulation de Lon-gueur Finie
Les graphes de Tanner des ensembles de codes IRA optimis´es ne contiennent aucun cycle, dans la limite d’une longueur de code infinie. Par contre, les graphes de codes dont la longueur est finie peuvent contenir des cycles courts.
Par cons´equent, le d´ecodeur BCJR est sous-optimal car la l’ind´ependance locale des messages n’est plus valide. En effet, des codes IRA construits de fa¸con al´eatoire peuvent avoir de mauvaises performances lors du d´ecodage somme-produit. Ces mauvaises performances se mat´erialisent comme suit:
1. Dans la r´egion de bas SNR, le taux d’erreur de bits (BER pourbit error rate) est loin du seuil de l’ensemble des codes IRA, creusant l’´ecart `a la limite de Shannon pour la longueur infinie.
2. Dans la r´egion de SNR moyen et ´elev´e, le BER s’aplatit et creuse d’autant plus l’´ecart `a la limite de Shannon. Ce comportement est appel´eerror floor.
3. Si λ2 6= 0, le taux d’erreur de mots (WER pour word error rate) est mauvais.
8.4.1 Entrelaceurs
La performance de codes IRA de longueur finie peut ˆetre am´elior´ee en con-struisant l’entrelaceur de fa¸con appropri´ee. Deux strat´egies sont adopt´ees.
La premi`ere strat´egie consiste `a ´eliminer des cycles courts [60, 61, 62] en utilisant l’algorithme progressive edge growth ou PEG [60]. Cette approche a pour effet de maximiser la longueur du plus petit cycle, appel´ee girth. La deuxi`eme strat´egie consiste `a maximiser la longueur du plus petit ensemble bloquant [27] en utilisant l’algorithme SSMAX [63].
8.4.2 Le Girth
Le girth de codes IRA construits avec l’algorithme PEG est comparable `a la limite th´eorique pour des longueurs de codes courtes, mais l’´ecart se creuse quand la longueur de bloc augmente. La borne th´eorique sur le girth de codes IRA est donn´ee par
8.4.3 D´ ecodage au Maximum de Vraisemblance
Afin de d´eterminer l’origine de la mauvaise performance des codes IRA ( qui du d´ecodeur somme-produit ou de la famille d’entrelaceurs est en cause), on calcule une borne sup´erieure au taux d’erreur sous le d´ecodage au maximum de vraisemblance (ML pourmaximum likelihood), `a l’aide du TSB (tangential sphere bound). A cet effet, les IOWE (pour input output weight enumerator ou´enum´erateurs de poids entr´ee – sortie) du code de r´ep´etition, du groupe-ment et de l’accumulateur sont calcul´es individuellegroupe-ment. En consid´erant un code RA r´egulier avec les param`etres a = 2 et a = 4, les IOWE du code peuvent ˆetre obtenus analytiquement, et sont respectivement donn´es par
Aw,w+h =
8.4 Codes R´ep´etition-Accumulation de Longueur Finie 145 o`u les sommes sont sur tous les entiers t tels que dw− t est pair et t ≤ min(m, dw).
8.4.4 R´ esultats et Simulations
La m´ethode d’impulsion [75, 76] est utilis´ee pour estimer la distance minimale de codes RA r´eguliers de petite longueur. Des exemples pour des codes RA r´eguliers de rendement 1/2 montrent que la distance minimale augmente proportionnellement avec le girth.
Nos simulations montrent que la maximisation du girth am´eliore les per-formances en BER et WER des codes RA r´eguliers de petite et moyenne longueur par rapport `a l’ensemble RA r´egulier al´eatoire. En effet, l’augmen-tation du girth a un impact direct sur la distance minimale, r´esultant en de meilleures performances par rapport `a l’ensemble al´eatoire et `a l’ensemble de codes LDPC de mˆeme girth. En conclusion, le compromis performance/com-plexit´e des codes RA r´eguliers est avantageux quand la longueur de bloc est petite `a moyenne.
Les codes RA irr´eguliers de grande longueur ont une meilleure perfor-mance avec l’algorithme SSMAX, en comparaison avec les perforperfor-mances de l’ensemble IRA al´eatoire et de l’ensemble IRA construit avec l’algorithme PEG. N´eanmoins, la performance des codes IRA par SSMAX reste inf´erieure
`a celle de codes LDPC construits de la mˆeme fa¸con.
CDMA Cod´ e avec D´ ecodage Successif 8.5 Efficacit´ e Spectrale de CDMA cod´ e
8.5.1 Mod` ele Canonique CDMA
Le canal CDMA complexe discret est mod´elis´e par
yi =Sxi+ni, i= 1, . . . , n (8.32) obtenu en ´echantillonnant un syst`eme CDMA au rythme de bribe [29], o`u:
1. yi,ni ∈CN sont respectivement le vecteur re¸cu ´echantillonn´e au rythme de la bribe et le vecteur d’´echantillons de bruit ∼NC(0,1) correspon-dants;
2. S ∈ CN×K contient les s´equences d’´etalement ordonn´ees par colonne.
Les s´equences d’´etalement sont complexes, connues au r´ecepteur, et les bribes sont iid caract´eris´ees par une moyenne nulle, une variance 1/N et un moment fini du quatri`eme ordre;
3. xi ∈CK est le vecteur des symboles modul´es transmis `a l’instant i, o`u lek-`eme ´el´ementxk,i prend sa valeur dans une certaine constellation et dont l’´energie moyenne (parN bribes) est E[|xi,k|2] = αk SNR. Le fac-teur d’´echelleαk repr´esente un contrle de puissance tel que K1
XK k=1
αk = 1;
4. N, K et n sont respectivement le facteur d’´etalement, le nombre d’uti-lisateurs et la longueur de bloc.
Les K utilisateurs appartiennent `a L classes. Chaque classe j poss`ede kj utilisateurs qui ont SNR γj. Sans perte de g´en´eralit´e, on suppose que γ1 ≤ · · · ≤ γL. La charge d’une classe j est donn´ee par βj = Kj/N, et la charge totale du canal est
β = XL
j=1
βj utilisateurs/bribe .