3.2 Th`emes de recherche actuels
4.1.3 Codage pour canaux mod´elis´es par des mixture de gaussiennes
⎝∑ 𝑘∕=𝑖 ℎ𝑘𝑗𝐽−1(𝑥(ℓ−1)𝑐𝑣 (𝑘, 𝑗)) + (ℎ𝑖𝑗 − 1)𝐽−1(𝑥(ℓ−1)𝑐𝑣 (𝑖, 𝑗)) + 𝑚𝑐ℎ,𝑗 ⎞ ⎠
∙ Mise `a jour des nœuds de contraintes de parit´e : ∀𝑖 = 0 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑚 − 1 𝑒𝑡 ∀𝑖 = 0 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑛 − 1 (𝑎) si ℎ𝑖𝑗 = 0, 𝑥𝑐𝑣(𝑖, 𝑗) = 0. (𝑏) sinon 𝑥(ℓ)𝑐𝑣(𝑖, 𝑗) = 1− 𝐽 ⎛ ⎝∑ 𝑘∕=𝑗 ℎ𝑖𝑘𝐽−1(1− 𝑥(ℓ)𝑣𝑐(𝑖, 𝑘)) + (ℎ𝑖𝑗 − 1)𝐽−1(1− 𝑥(ℓ)𝑣𝑐(𝑖, 𝑗)) ⎞ ⎠
∙ Calcul de de l’information mutuelle a posteriori par nœud de variable: ∀𝑗 = 0 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑛 − 1, 𝑥(ℓ)𝑎𝑝𝑝(𝑗) = 𝐽 ( ∑ 𝑘 ℎ𝑘𝑗𝐽−1(𝑥(ℓ)𝑐𝑣(𝑘, 𝑗)) + 𝑚𝑐ℎ,𝑗 )
La convergence est obtenue si 𝑥(ℓ)𝑎𝑝𝑝(𝑗) = 1 ∀𝑗. Cette analyse permet de calculer pour un pro-tographe donn´e son seuil de convergence, permettant ainsi de comparer les performances entre diff´erentes familles de codes protographes.
4.1.3 Codage pour canaux mod´elis´es par des mixture de gaussiennes
Plusieurs m´ethodes d’optimisation utilisant un m´elange de canaux Gaussiens ont ´et´e avec succ`es utilis´ees dans plusieurs travaux pour concevoir des codes LDPC pour des applications comme les modulations cod´ees entrelac´ees, l’OFDM, le CDMA ou la turbo-´egalisation [SSN04,MGD05,
WYN05,NWY05]. Dans la plupart de ces travaux, le m´elange de canaux Gaussiens (resp. de
densit´es) est utilis´e comme une approximation du canal r´eel (resp. de la densit´e r´eelle). Nous pr´esentons ici un mod`ele de m´elange utilis´e pour les approches de type EXIT chart (´evolution de l’information mutuelle) qui utilise un m´elange de Gaussiennes consistantes.
4.1.3.1 Analyse asymptotique et mod´elisation
Nous pr´esentons ici la mod´elisation asymptotique pour les codes LDPC standards dans le cadre de canaux d´efinis par une mixture de Gaussiennes consistantes.
On notera 𝑁𝑐 le nombre de canaux impliqu´es dans la mixture, 𝜎𝑚2 le param`etre de canal du 𝑚−i`eme canal, and 𝑝𝑚 la probabilit´e d’occurrence associ´ee au param`etre 𝜎2
𝑚 de la mixture. Comme auparavant, les distributions de degr´es associ´ees au code LDPC seront not´ees 𝜆(𝑥) (resp. 𝜌(𝑥) ), 𝑥(ℓ)𝑐𝑣 et 𝑥(ℓ)𝑣𝑐 seront les quantit´es d’information mutuelle associ´ees aux messages des nœuds de contrainte de parit´e vers les nœuds de variables et des nœuds de variables vers les
nœuds de contraintes de parit´e `a la ℓ-i`eme it´eration. Les ´equations d’´evolution de l’information mutuelle sont alors donn´ees par:
∙ Mise `a jour des nœuds de variables: 𝑥(ℓ)𝑣𝑐 = 𝑑𝑣 ∑ 𝑖=2 𝜆𝑖 𝑁𝑐 ∑ 𝑚=1 𝑝𝑚𝐽( 2 𝜎2 𝑚 + (𝑖− 1)𝐽−1(𝑥(ℓ−1)𝑐𝑣 )) (4.13) ∙ Mise `a jour des nœuds de parit´e:
𝑥(ℓ)𝑐𝑣 = 1−
𝑑𝑐
∑
𝑗=2
𝜌𝑗𝐽((𝑗− 1)𝐽−1(1− 𝑥(ℓ)𝑣𝑐)) (4.14)
En combinant (4.14) et (4.13), on obtient l’´equation mono-dimensionnelle 𝑥(𝑙)𝑣𝑐 = 𝐹𝑝(𝑥(𝑙−1)𝑣𝑐 ). Pour une distribution 𝜌(𝑥) donn´ee, cette expression est lin´eaire par rapport `a {𝜆𝑖}. La condition de stabilit´e est une extension directe de celle du canal gaussien (par lin´earit´e) et est donn´ee:
𝜆2 𝑁𝑐 ∑ 𝑚=1 𝑝𝑚𝑒− 1 2𝜎2𝑚 < ∑𝑑 1 𝑐 𝑗=2𝜌𝑗(𝑗− 1) (4.15)
4.1.3.2 Contribution `a l’´etude des codes LDPC codes pour les canaux `a ´evanouissement rapides
La mod´elisation par mixture de canaux gaussiens consistants peut ˆetre ´egalement mise `a profit pour l’optimisation de codes LDPC pour les canaux `a ´evanouissements rapides avec connaissance du canal `a la r´eception tel que les canaux de Rayleigh ou de Nakagami. L’optimisation pour ce type de canaux est possible par ´evolution de densit´e [HSM01a]. On se propose ici de d´eriver un nouveau mod`ele bas´e uniquement sur une approche EXIT. Cette approche est bas´ee sur la simple observation que pour les canaux `a ´evanouissements rapides avec connaissance parfaite du canal, la densit´e de transition du canal observ´e est gaussienne conditionnellement au coefficient d’´evanouissement. Le mod`ele de communications est le suivant
𝑦[𝑛] = 𝛼[𝑛]𝑥[𝑛] + 𝑏[𝑛]
o`u 𝛼 est le coefficient d’att´enuation suivant une loi de densit´e de probabilit´e p(𝛼), 𝑥[𝑛] est un symbole BPSK et 𝑏[𝑛] est un bruit blanc gaussien centr´e de variance 𝑁0/2. Dans la suite nous traiterons le cas de Rayleigh, mais l’´etude peut s’´etendre `a tout type de densit´e.
4.1.3.3 Codes LDPC codes pour le canal de Rayleigh Si les coefficients sont connus parfaitement, la densit´e est donn´ee
p(y∣x, 𝛼) = √ 1
(2𝜋𝜎2)exp (−∣𝑦 − 𝛼𝑥∣
2
2𝜎2 )
. Le gain d’´evanouissement 𝛼 est une variable al´eatoire suivant une loi de Rayleigh normalis´ee dont la densit´e de probabilit´e est donn´ee par
Contributions `a l’´etude des Codes Fontaines et Raptors. Section 4.2
avec E(𝛼2) = 1.
Le LLR initial 𝑢0 associ´e est alors donn´e par
𝑢0 = 2 𝜎2𝛼𝑦
. Conditionnellement `a 𝛼 et 𝑥, 𝑢0 est une variable al´eatoire gaussienne consistante de densit´e 𝒩 (sg(𝑥)2𝛼𝜎22,4𝛼𝜎22). Ainsi l’information mutuelle associ´ee au message initial avec le coefficient 𝛼 est donn´ee par 𝑥0(𝛼) = 𝐽(𝑚0(𝛼)) avec 𝑚0(𝛼) = 2𝛼𝜎22. En se basant sur cette expression et sur le fait qu’au r´ecepteur, un nœud de variable peut ˆetre associ´e avec n’importe quelle valeur 𝛼 suivant la distribution p(𝛼), on peut alors ´ecrire l’information mutuelle moyenne associ´ee `a un message sortant d’un nœud de variable comme une mixture continue de canaux Gaussiens consis-tants. Cela apparaˆıt donc comme le cas limite du mod`ele pr´ec´edent. Finalement, les ´equations d’´evolution de l’information mutuelle peuvent ˆetre r´e´ecrites comme suit:
∙ Mise `a jour des nœuds de variables: 𝑥(𝑙)𝑣𝑐 = 𝑑𝑣 ∑ 𝑖=2 𝜆𝑖 ∫ +∞ 0 p(𝛼).𝐽( 2𝛼2 𝜎2 + (𝑖− 1)𝐽−1(𝑥(𝑙−1)𝑐𝑣 ))𝑑𝛼 = 𝑑𝑣 ∑ 𝑖=2 𝜆𝑖𝐽𝑟 ( (𝑖− 1)𝐽−1(𝑥(𝑙−1)𝑐𝑣 )) (4.16) ∙ Mise `a jour des nœuds de contraintes:
𝑥(𝑙)𝑐𝑣 = 1−
𝑑𝑐
∑
𝑗=2
𝜌𝑗𝐽((𝑗− 1)𝐽−1(1− 𝑥(𝑙)𝑣𝑐)) (4.17)
La condition de stabilit´e est alors donn´ee par
𝜆2 ∫ +∞ 0 𝑝(𝛼)𝑒−2𝛼2𝜎2 𝑑𝛼 < ∑𝑑 1 𝑐 𝑗=2𝜌𝑗(𝑗− 1) et on obtient finalement comme montr´e dans [HSM01a][RSU01][RU01]
𝜆2 < 1 + 1/2𝜎
2
∑𝑑𝑐
𝑗=2𝜌𝑗(𝑗− 1) (4.18)
4.1.3.4 Performances
On donne les performances `a taille finie figure4-7pour 𝐾 = 5000 bits d’information et 𝑑𝑣 = 30 pour diff´erents rendements. Les codes sont construits par l’algorithme PEG et sont compar´es quand cela est possible `a ceux de [HSM01b]. Comme nous pouvons le constater, cette m´ethode m`ene `a de bonnes distributions proches de celles obtenues par ´evolution de densit´e. Nous compa-rons ´egalement les seuils obtenus par ´evolution de densit´e pour nos distributions `a ceux obtenus pour les distributions issues de la m´ethode de r´ef´erence [HSM01b]. On observe que les codes ob-tenus ont des performances asymptotiques proches de celles obtenues pour des codes optimis´es par ´evolution de densit´e.
1 2 3 4 5 6 7 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 E b/N 0 T a u x d e rr e u rs Erreurs bit Erreurs trame R=2/3 R=3/4 R=1/3 R=1/2
Fig. 4-7 – Performances de codes LDPC optimis´es pour le canal de Rayleigh (noir) pour 𝐾 = 5000 bits d’information. On donne les codes de [HSM01b] en r´ef´erence (bleu)