echantillon est compos´e des niveaux de d´egradation des diff´erents composants d’un cluster
inspect´es `a la date T . Les param`etres r´eels utilis´ees pour g´en´er´es les niveaux de d´egradation sont connus et nous cherchons `a les r´e-estimer `a partir des donn´ees. L’objectif est d’analyser
le comportement de la m´ethode d’estimation du maximum de vraisemblance en fonction de
la taille de l’´echantillon. La figure 7.4pr´esente un exemple de r´esultats obtenus.
Les ´evolutions des valeurs estim´ees des param`etres α et β sont pr´esent´ees respectivement sur les figures7.4aet7.4b. Elles montrent que pour avoir une bonne estimation il est n´ecessaire de disposer d’un ´echantillon qui contient un grand nombre de mesures de d´egradation. D’apr`es
cet exemple nous remarquons qu’il faut plus de 500 ´echantillons pour assurer une certaine
stabilit´e de l’estimation. Cela est peu raisonnable en pratique et nous travaillerons dans la
zone dans laquelle la variance de l’estimateur peut ˆetre significative. Notons cependant que
l’estimation de la vitesse moyenne de d´egradation α/β est pertinente mˆeme pour de petites
tailles d’´echantillons.
7.5 Clustering & estimation
Dans les sections pr´ec´edentes nous avons pr´esent´e s´epar´ement des exemples num´eriques du clustering des donn´ees de d´egradation et de l’estimation des param`etres α et β d’un processus
106
PROCESSUS DE D ´EGRADATION : APPRENTISSAGE NON SUPERVIS ´E ET
ESTIMATION DES PARAM `ETRES
(a) ´evolution de la valeur de α estim´ee en fonction de la taille de l’´echantillon.
(b) ´evolution de la valeur de β estim´ee en fonction de la taille de l’´echantillon.
Figure 7.4 – Impact de la taille l’´echantillon sur la qualit´e de l’estimation par la m´ethode MV.
Gamma. Dans la pr´esente section nous pr´esentons quelques illustrations num´eriques relatives
`
a l’enchainement et donc au couplage des ´etapes de clustering et d’estimation. L’´echantillon
disponible est toujours constitu´e de donn´ees de d´egradation g´en´er´ees `a un instant T selon deux qualit´es.
Soit (α1, β1) le couple de param`etres caract´eristiques des composants de qualit´e 1 et (α2, β2) le couple de param`etres caract´eristiques des composants de qualit´e 2. Nous supposons que l’´echantillon de d´epart contient des donn´ees de d´egradation g´en´er´ees `a un instant T pour les deux qualit´es. Dans les exemples que nous pr´esentons nous fixons la taille de l’´echantillon `a 2000 individus s´epar´es `a parts ´egales entre les deux qualit´es (1000 mesures de chaque qualit´e).
Chaque configuration est simul´ee 10 fois pour obtenir une estimation stable des param`etres.
Nous consid´erons deux configurations de param`etres α1, β1, α2 et β2 et nous cherchons `a estimer ˆα1, ˆβ1, ˆα2 et ˆβ2 apr`es clustering. Les r´esultats num´eriques sont pr´esent´es s´epar´ement pour chaque configuration.
(a) Taux de mauvais classements en fonction de la date d’inspection.
(b) Les ´evolutions de ˆα1 et ˆα2 en fonction de la date d’inspection.
(c) Les ´evolutions de ˆβ1 et ˆβ2 en fonction de la date d’inspection.
Figure 7.5 – Configuration 1 : (α1 = 1, β1 = 1) et (α2= 4, β2 = 2).
La premi`ere configuration correspond `a une vitesse de d´egradation moyenne par unit´e de temps ´egale `a m1 = 1 pour la qualit´e 1 et m2 = 2 pour la qualit´e 2. Les variances associ´ees
7.6. CONCLUSION 107
qualit´e 2. Les figures 7.5a, 7.5b et 7.5c montrent successivement les ´evolutions du taux de
mauvais classement et des valeurs des param`etres ˆα1, ˆβ1, ˆα2 et ˆβ2 estim´es apr`es le clustering en fonction de T .
(a) Taux de mauvais classements en fonction de la date d’inspec-tion.
(b) Les ´evolutions de ˆα1 et ˆα2 en fonction de la date d’inspection.
(c) Les ´evolutions de ˆβ1 et ˆβ2 en fonction de la date d’inspection.
Figure 7.6 – Configuration 2 : (α1= 1, β1 = 1) et (α2 = 2, β2= 1).
La seconde configuration correspond `a une vitesse de d´egradation moyenne par unit´e de
temps ´egale `a m1 = 1 pour la qualit´e 1 et m2 = 2 pour la qualit´e 2 et `a une variance par unit´e de temps var1 = 1 pour la qualit´e 1 et var2 = 2 pour la qualit´e 2. La signification des figure 7.6a,7.6bet 7.6cest similaire `a celles des figures 7.5a,7.5b et7.5c.
On remarque, d’apr`es les figures des deux configurations, que quelle que soit la
configura-tion du syst`eme le taux d’erreur du clustering et l’´ecart entre les param`etres r´eels et estim´ees diminuent avec l’augmentation de la date d’inspection des composants. On peut conclure
que la performance de l’estimation des param`etres est fortement reli´ee `a la performance du
clustering : une bonne s´eparation des composants conduit `a une bonne estimation des
pa-ram`etres. On constate par ailleurs que mˆeme lorsque les estimations des param`etres sont de
mauvaise qualit´e, la valeur correspondante du taux de d´egradation est pertinente. Ce dernier
point semble constituer un ´el´ement positif pour la performance de la r`egle de d´ecision de
maintenance pr´esent´ee dans la suite.
7.6 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons pr´esent´es les m´ethodes de clustering et d’estimation utilis´ees dans les mod`eles de maintenance que nous d´eveloppons dans le chapitre suivant. Les r´esultats num´eriques pr´esent´es nous permettent de confirmer que :
◦ L’instant T de l’inspection des composants joue un rˆole tr`es important dans la qualit´e du clustering et de l’estimation des param`etres des diff´erentes qualit´es.
◦ La disposition d’un ´echantillon de taille suffisante est importante pour assurer une
certaine stabilit´e de l’estimation.
◦ Les valeurs des couples de param`etres r´eels de d´egradation (α1, β1) et (α2, β2) pour
les deux qualit´e ont un impact sur la qualit´e du clustering et par cons´equent sur
Chapitre 8
Strat´egies de maintenance conditionnelle
avec inspections hybrides
8.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous pr´esentons le d´eveloppement de nouvelles strat´egies de
mainte-nance conditionnelles avec inspections hybrides pour des syst`emes multi-composants dont
les composants sont de qualit´es diff´erentes et inconnues. Pour ces strat´egies de maintenance,
nous proposons une nouvelle structure de d´ecision dans laquelle nous int´egrons une ´etape
d’apprentissage statistique et plus pr´ecis´ement de clustering par utilisation de techniques
d’apprentissage non-supervis´e. Les informations de surveillance disponibles sur les
compo-sants du syst`eme sont exploit´ees dans cette ´etude pour la prise de d´ecision en maintenance et pour l’appr´eciation des qualit´es des composants.
Les strat´egies de maintenance propos´ees ont pour objectif d’assurer une prise de d´ecision
de maintenance `a la fois performante et robuste en garantissant une efficacit´e ´economique
par rapport aux strat´egies classiques face `a la m´econnaissance et une possible h´et´erog´en´eit´e
de la qualit´e des composants pour lesquels elles s’appliquent. Nous utiliserons le coˆut moyen
asymptotique `a long terme comme crit`ere d’´evaluation de la performance des strat´egies de
maintenance propos´ees. Les variables de d´ecision optimales seront donc d´etermin´ees sur la
base de ce crit`ere.
Le pr´esent chapitre est organis´e de la mani`ere suivante. La section 8.2est consacr´ee `a la description du processus de d´ecision des strat´egies de maintenance conditionnelle propos´ees. Dans le cadre introduit, nous pr´esentons deux r`egles de d´ecision de maintenance. Dans la sec-tion8.3nous rappelons la constitution du crit`ere ´economique d’´evaluation de la performance.