minimiser les coûts de transports. Nous considérons le cas où on dispose d’un nombre illimité de camions avec une capacité illimitée pour effectuer les transports, et le cas où le nombre de ces camions est illimité avec une capacité limitée.
5.3.2 Notations
Pour ce problème, nous utilisons les notations suivantes : :
NC Nombre d’arrivées de composants.
: j
QC Quantité associée à la jème arrivée de composants. :
j
DC Date d’arrivée associée à QCj. :
ND Nombre de livraisons des produits finis. :
i
QD La quantité associée à la ième livraison. :
i
DD La date de départ de livraison associée à QDi (les t unités de temps nécessaires au transport sont soustraits à la date de livraison convenue chez le client).
: i
CQP La quantité cumulée produite à partir de l’instant 0 et jusqu’à la ième date de livraison i
DD incluse. : i
CQD La quantité cumulée demandée à partir de l’instant 0 et jusqu’à la ième date de livraison DDi incluse.
: i PQ
∆ Quantité produite entre DDi−1 et DDi. ,
ND NC, QDi, DDi, QCj et DCj sont les données du problème. CQPi, CQDi et ∆PQi sont calculés par l’algorithme 1 décrit ci-dessous.
5.3.3 Problème de faisabilité
En supposant que les capacités de transport sont illimitées, le problème est faisable si, et seulement si, à chaque date de livraison la quantité cumulée produite jusqu’à cette date est supérieure ou égale à la quantité cumulée demandée jusqu’à cette date. Plus formellement, cette condition peut être formulée comme suit :
i i CQD
CQP ≥ pour i=1 à ND.
L’algorithme 1 calcule les valeurs des CQPi et aussi celles des ∆PQi en produisant au plus tôt. Algorithme 1 Début j=T=stock=Qtity=0 Pour i =1,..,ND Faire Qtity=stock
Tant que DCj ≤ DDi et T≤ DDi Faire Qtity= Qtity+QCj ;
T=max (T, DCj)+QCj*P ; j=j+1
FinTQ
stock= − P DD T i ; Qtity= Qtity –stock ; FinSi
∆PQi=Qtity *fin de l’itération * FinPour
Fin
A capacité illimitée, la production et le transport peuvent être organisées de la manière suivante. Entre chaque deux dates de livraison on produit au maximum et on transporte t
unités de temps avant la date de livraison. A chaque date de livraison on vérifie si les quantités transportées sont supérieures ou égales au cumul des quantités demandées à cet instant là, si c’est le cas on poursuit la procédure, sinon, le problème est non réalisable. Si à la fin de la procédure on a satisfait toutes les demandes, alors le problème est réalisable. La complexité de l’algorithme 1 dépend des dates auxquelles sont programmées une livraison ou une arrivée de composants, sa complexité est donc de
O
(ND+NC).La figure suivante montre un exemple d’un plan de livraisons réalisable, et la figure montre un plan non réalisable.
Figure 5.7 scénario faisable. Livraisons
faisables Production
Figure 5.8 Scénario infaisable.
5.3.4 Minimisation des transports : capacité illimitée
En supposant que le problème est faisable à la fin de l’application de l’algorithme 1, on cherche ici à minimiser les coûts de transport. On suppose que l’activité de transport a été déléguée à une tierce partie, de ce fait, on dispose d’une flotte d’un nombre illimité de camions. La capacité de ces camions est illimitée. Cette hypothèse peut arriver dans le cas où les produits finis sont des objets de taille très petites (objets technologiques ou composant électroniques). Un coût de transport est associé à chaque trajet effectué entre le producteur et le client. La minimisation des coûts de transport revient donc à minimiser ce nombre de trajets. La politique de transport calée droite consistant à effectuer des trajets le plus tard possible (t unités de temps avant la date de livraison) est optimale dans notre cas.
Ce problème de transport peut être modélisé par les équations suivantes. On définit d’abord la variable Xi tel que :
= inon 0 livraison. de date la à effectué est un trajet si 1 ème s i Xi
Soit CQTi la quantité cumulée transportée entre l’instant 0 et la ème
i date de livraison DDi incluse.
∑
= ∆ = i j j j i PQ X CQT 1 . pour i=1 à ND. i i CQDCQT ≥ pour i =1 à ND (satisfaction de la demande du client).
Minimiser
∑
= ND i i X 1Propriété 1. Le nombre optimal de trajets entre le producteur et le client est donné par : Livraisons
infaisables Production
= X
∑
= ND i i X 1tel que si CQTi−1 ≥CQDi alors Xi =0 sinon Xi =1.
Preuve. On suppose que notre solution n’est pas optimale. C’est à dire qu’on peut faire au moins un trajet en moins sans que le problème ne devienne non faisable. Soit le iéme trajet celui qu’on peut supprimer. On aura donc Xi =0 ce qui implique que CQTi =CQTi−1 et comme CQTi−1 <CQDi on aura CQTi <CQDi ce qui rend le problème non faisable.
L’algorithme 2 suivant permet de calculer le nombre minimum de trajets à effectuer. En effet, l’Algorithme 2 est similaire à l’algorithme 1. Après vérification de la faisabilité du problème, on ajoute les opérations suivantes à la place de *fin de l’itération * :
Algorithme 2
Appliquer l’algorithme 1.
Si CQTi−1 ≥CQDi alors Xi =0 Sinon Xi =1 FinSi
Fin
Comme ces instructions n’affectent pas le temps d’exécution de l’algorithme, l’algorithme 2 aura la même complexité que l’algorithme 1, c’est à dire O(ND+NC).
5.3.5 Minimisation des transports : capacité limitée
C’est un problème similaire à celui de la section précédente où on rajoute une nouvelle contrainte sur la capacité des camions. Nous supposons ici que les camions ont une capacité limitée à C items des produits finis. Nous disposons toujours d’un nombre illimité de camions. Pour minimiser le nombre de trajets, nous proposons l’algorithme 3 qui est une extension de l’algorithme 1. En effet, on rajoute les instructions suivantes à la place de *fin de l’itération * : Algorithme 3 Appliquer l’algorithme 1. ∆ = C PQ X i i ; C X CQT CQTi = i−1+ i. Si CQTi <CQDi alors Xi = Xi +1; CQTi =CQTi+∆PQimod C Sinon inventory=∆PQi mod C FinSi Fin
On transporte à chaque fois que la production atteint la quantité C. A la fin de chaque période, il reste une quantité Q (éventuellement nulle et obligatoirement inférieure à C). Si la
i i
i
CQT PQ
somme des quantités transportées jusque là est supérieure ou égale à la somme des quantités demandées à cet instant, alors Q reste en attente sinon, elle est transportée.
Théorème 1. Le nombre optimal de trajet pour le problème de minimisation des coûts de transports avec capacité limitée des camions est donné par l’algorithme 3.
Preuve. On suppose que notre solution n’est pas optimale. Ceci implique que l’on peut supprimer au moins l’un des trajets sans pour autant rendre le problème non faisable. Soit ce trajet, le trajet de la ème
i itération. On aura à considérer deux cas :
I. On supprime un camion qui a été totalement chargé : Dans ce cas, et comme la somme des quantités transportées est égale à la somme des quantités demandées, ce trajet peut être effectué à une autre itération k, tel que i<k≤ ND et dans ce cas le nombre total de trajets va rester constant.
II. On supprime un trajet avec un camion non totalement chargé : nous somme alors dans le cas où CQTi <CQDi et on choisit de ne pas transporter, ce qui implique que CQTi reste inchangée et on aura donc CQTi <CQDi ce qui rend le problème infaisable.
L’algorithme 3 a la même complexité que les deux algorithmes précédents, pour les mêmes raisons que pour l’algorithme 2.
5.4 Problème 3: Optimisation des transports dans une supply
chain spécifique
Nous étudions dans cette section trois nouveaux problèmes d’optimisation des transports qui sont une extension des problèmes étudiés dans la section précédente (problème 2) mais avec l’addition de nouvelles contraintes. Dans le premier problème de cette section nous nous intéressons à l’optimisation des coûts de transport dans une chaîne logistique mono produits, ayant plusieurs clients dispersés géographiquement, et avec un seul producteur. Dans le deuxième problème de cette section on considère la même chaîne logistique mais avec la production de plusieurs types de produits finis. Dans ces deux problèmes, le planning de production est supposé fixé et connu, et donc on optimise les coûts de transport relativement à une politique de production optimale calculée en avance. Dans le dernier et troisième problème, on considère l’optimisation simultanée des coûts de production et de transport. Pour ces différents problèmes nous proposons une modélisation en graphes et une approche de résolution basée sur la programmation dynamique.