Classification des méthodes de synthèse

Tout au long du développement de la théorie de la commande, le problème de la commande (cf. section 1.4) a été traité par plusieurs approches de résolution. Dans cette section, nous rappelerons les grandes classes de ces méthodes, en donnant leurs avantages et inconvénients.

1.6.1. Méthodes de synthèse synthétiques

Pour les méthodes synthétiques, le correcteur est, initialement, bâti autour d’un correcteur simple. Dans le but d’atteindre les objectifs de commande, la structure de ce correcteur est augmentée par l’ajout de plusieurs parties selon les objectifs requis (filtre réjecteur pour annuler l’effet d’une résonance, filtre passe-bas pour réduire le bruit de mesures, filtre avance de phase pour augmenter la phase de la boucle ouverte…). Le correcteur peut ainsi être structuré en plusieurs sous-systèmes ce qui est l’un des avantages majeurs des méthodes synthétiques. Le correcteur est alors synthétisé étape par étape, avec la possibilité d’utiliser plusieurs outils et techniques aux différentes étapes [Nyq32, Bla34,

Bod45, Hor63, Mac77, Mac79, Hor82] (tracé de Bode, lieu de Nyquist, abaque de Black, lieu des pôles/zéros…).

Les méthodes de synthèse synthétiques trouvent leur application, principalement, pour les systèmes qui acceptent plusieurs correcteurs relativement simples vérifiant les objectifs de commande. Les principaux avantages de ces méthodes sont : une complexité réduite des correcteurs, une structure de correcteurs modulaire, une efficacité surtout avec des objectifs de commande simples, une économie en terme de temps. Néanmoins, elles présentent également quelques inconvénients : impossibilité de chiffrer la limite des performances, nécessité d’une bonne connaissance du système à commander, difficulté rencontrée pour les systèmes multivariables et d’ordres élevés. Pour des systèmes plus compliqués, les avancées dans le domaine de l’optimisation et les méthodes de calcul numérique permettent l’utilisation de méthodes d’optimisation paramétrique très sophistiquées pour calculer ou affiner le réglage de ces correcteurs.

1.6.2. Méthodes de synthèse modernes (LQ/LQG/LTR)

Les méthodes de synthèse analytiques sont des méthodes basées sur une solution analytique d’un problème de commande optimale, par exemple, la commande Linéaire Quadratique Gaussienne (LQG) qui est basée sur une résolution d’une équation de Ricatti algébrique. Les solutions analytiques ne sont valables que pour des problèmes de synthèse très spécifiques, l’ingénieur doit donc essayer de formuler son problème de commande sous la forme d’un problème analytiquement solvable tout en considérant, aussi finement que possible, les spécifications du cahier des charges [Kal61, Ath66, Kwa72, Bry75, And90]. Les techniques existantes pour la synthèse de ces commandes optimales supposent la sélection des matrices de pondérations [Bry75] (comme dans le cas LQG), l’ajout de bruits fictifs ou encore de dynamiques fictives dans le modèle du système [Kwa72, Doy81].

L’un des avantages significatifs des méthodes analytiques est que, si le problème de commande optimale est raisonnablement bien posé, le contrôleur optimal résultant tend à garantir, au pire des cas, ou à améliorer, les objectifs originaux de la synthèse. En particulier, les correcteurs analytiquement synthétisés garantissent la stabilité du système à commander, ce qui représente un atout capital dans le cas de systèmes multivariables instables où l’ingénieur automaticien aura du mal à utiliser facilement son expertise comme dans le cas des méthodes synthétiques.

Le principal défaut des méthodes analytiques est la difficulté de bien formuler le problème de commande original sous la forme d’un problème de commande analytiquement solvable. Lors de la conception du problème de commande optimale, l’ingénieur automaticien sera ramené à reformuler le problème original dans le cadre de la méthode analytique. Cette tâche est compliqué par le fait qu’il peut être plus difficile d’employer son intuition et ses compétences pratiques afin d’ajuster des matrices de pondération et des dynamiques fictives. Les correcteurs synthétisés par des méthodes analytiques sont souvent complexes : ordres élevés, interconnexions dans le cas de systèmes multivariables. Cette complexité obscurcit l’éventualité d’une équivalence à un simple correcteur qu’on pouvait synthétiser par les méthodes synthétiques. Ces méthodes sont souvent suivies par une phase de réduction du correcteur afin de déterminer le correcteur le moins complexe qui remplit les mêmes performances que le correcteur synthétisé analytiquement.

1.6.3. Méthodes de synthèse par optimisation

Au cours du développement de l’Automatique linéaire, l’optimisation a joué un rôle prépondérant dans l’évolution des techniques de commande. Plusieurs méthodes de la commande linéaire sont établies à partir de la théorie de l’optimisation et ses différents algorithmes.

Une première catégorie de techniques de commande à base d’optimisation est celle de la commande optimale (LQ et LQG). Ces méthodes traitent en particulier les problèmes de commande multivariables avec des spécifications temporelles et se formulent comme un problème sans contraintes de minimisation convexe avec un critère quadratique pondéré rassemblant les spécifications de poursuite et les limitations sur les énergies de commandes. Sous certaines conditions, la résolution analytique de ce type de problème est effectuée via une résolution d’une équation algébrique de Ricatti.

Dans la même catégorie, la synthèse H_∞ présente des solutions aux problèmes de commande robuste via une formulation fréquentielle du cahier des charges. Elle se base sur l’utilisation des concepts fondamentaux de l’Automatique fréquentielle classique : le cahier des charges est traduit comme des gabarits sur les modules des fonctions de transfert en boucle fermée (voir les paragraphes 1.5.2 et 1.5.3). Son formalisme mathématique est basé sur la norme H_∞ pondérée. Le problème d’optimisation formulé est convexe, il assure une optimalité globale du correcteur synthétisé. Ce type de problèmes peut être résolu par deux méthodes : soit analytiquement, sous certaines conditions, via une résolution d’une équation de Ricatti (Problème H_∞ standard) [Glo88, Doy89a], soit à travers la formulation d’un problème d’optimisation faisant intervenir des inégalités matricielles linéaires⁵ (problème LMI) [Gah94, Iwa94, Zho95]. Certains cahiers des charges mixtes, avec des spécifications temporelles et fréquentielles, peuvent être formulés sous forme de problèmes LMI, on cite les techniques

∞

H

H /₂ [Doy89b, Sch95, Hin98].

Une deuxième formulation du problème de commande sous forme d’un problème d’optimisation est possible. Elle consiste à formuler un problème d’optimisation paramétrique afin de réaliser des spécifications plus génériques et qui ne se formulent pas sous forme d’un problème d’optimisation analytiquement solvable (convexe). L’idée de ce type de formulation remonte à l’ère de l’Automatique fréquentielle classique. En effet, les premières utilisations de l’optimisation paramétrique sont nées suite au problème de structure de correcteurs qui est présent dans la plupart des approches classiques et modernes. Ce problème était particulièrement motivé par les compromis entre les différentes spécifications. Les approches développées dans ce sens, se basent initialement sur une structure paramétrique du correcteur. Par exemple : la structure d’un correcteur proportionnel intégral

p K

K_p+ _i où les paramètres à ajuster sont K_p et K_i, ou également la structure d’un correcteur d’ordre fixe dans l’espace d’état ; les paramètres sont alors tous les éléments des matrices de la forme d’état mises sous une forme canonique donnée.

Une troisième approche consiste à définir un critère pour l’analyse ou l’optimisation générale des qualités du système commandé. Une première façon de faire consiste à choisir ce critère à partir d’un problème solvable analytiquement comme dans le cas de la commande LQG. Ceci aura l’avantage de pouvoir comparer le critère optimal, associé au correcteur optimal, à tout autre minimum global réalisé par n’importe quel contrôleur analytiquement calculable. Une deuxième façon de faire consiste à

5

La solution par équations de Riccati est antérieure à la solution par optimisation LMI. Cependant, la démarche adoptée pour l’obtenir est beaucoup moins générale.

définir la fonction critère comme une somme pondérée ou un maximum de plusieurs indices de performance (l’intégrale quadratique de l’erreur d’une réponse à un échelon, l’intégrale du module d’un transfert sur une bande de pulsations où le bruit est concentré, l’amplitude maximale du signal de commande,…). Finalement, il est possible d’ajouter des contraintes explicites comme des plages de variation sur les paramètres du correcteur ou des limites pour le placement des pôles de la boucle fermée ou encore des gabarits sur le module du transfert en boucle ouverte…etc. Une fois que la structure du correcteur, le critère et les éventuelles contraintes sont spécifiés, l’ingénieur aura à résoudre un problème d’optimisation non linéaire et surtout non convexe [Boy90].

Dans la littérature, plusieurs techniques d’optimisation numérique ont été développées pour résoudre le problème de commande. Certaines de ces techniques ne sont que des algorithmes heuristiques simples tels que les méthodes de descente. Quelques-unes se basent sur des algorithmes plus spécialisés pour des catégories de problèmes bien spécifiques, d’autres sont des boites à outil sophistiquées pour traiter de très larges classes de problèmes. À titre d’exemples, nous citons les travaux suivants : une analyse étendue sur la synthèse itérative des correcteurs LQG dans [Doy81], “SANDY” une technique à base de gradients pour la recherche de correcteurs optimaux d’ordre fixe [Lyu83], un recueil de travaux sur le problème de recherche de correcteurs optimaux à retour d’état statique et d’ordre fixe à partir d’un critère LQG [Mak87], une technique d’optimisation paramétrique appliquée aux problèmes de commande en avionique [Gan86], une boite à outil interactive de simulation et d’optimisation pour des problèmes de commande avec contraintes paramétriques [Pol84, Pol85, Fan89]. Pour une vision plus globale concernant le choix des algorithmes d’optimisation non linéaire et leurs implémentations, le lecteur peut se reporter à [Gil81].

Plus récemment, on peut citer les méthodes de synthèse à base d’algorithmes métaheuristiques [Tan98, Lem02], les travaux de retouche de correcteurs à base de l’identification Bayésienne [Mou02, Del05], les travaux de K.J. Åström sur la synthèse de correcteurs PID [Ast05], les travaux de D. Henrion concernant le problème de retour de sortie statique [Hen05, Hen06] ainsi que les travaux de J.V. Burke et P. Apkarian sur la synthèse de correcteurs de retour de sortie par optimisation non différentiable [Bur06, Apk05, Apk06].

1.6.3.1.Classification (convexité et dimension du problème)

Dans le cadre de la résolution du problème fondamental de commande, les approches d’optimisation peuvent être divisées en deux grandes catégories : les approches convexes et les approches non convexes.

Dans le but de répondre à la faisabilité du cahier des charges étudié, les approches convexes établissent le problème de commande sous la forme d’un problème d’optimisation avec un optimum global (le correcteur optimal obtenu est global). Dans le cas où cette formulation est possible, la résolution du problème formulé nécessite, par la suite, des algorithmes efficaces.

Le meilleur exemple d’une telle classe de problème est la commande via la résolution de LMI. Cette technique permet de répondre à une formulation fréquentielle des spécifications de commande. Historiquement, sa première formulation était à base des techniques fréquentielles classiques ce qui a mené à un problème d’optimisation convexe dit problème H_∞ standard. Malgré la convexité du problème formulé, sa résolution n’était pas facile, vu que sa dimension était infinie (les contraintes sur les modules des transferts dépendent de la pulsation ω). Afin de surmonter cette difficulté, une

première formulation équivalente à ce problème sous la forme d’une équation de Riccati a été proposée par [Doy89a]. A partir de cette formulation et pour une classe moins générale de systèmes, une solution au problème de synthèse H_∞ a été proposée [Glo88, Doy89a]. Dans la même optique d’obtenir une formulation de dimension finie du problème, une démarche était de passer en représentation d’état. D’une part, pour un ordre donné, le correcteur est alors paramétré par les matrices de sa représentation d’état (soit un nombre fini de variables de décision). D’autre part, un résultat fondamental, le lemme borné réel (cas particulier du lemme de Kalman-Yakubovitch-Popov [Zam66]) des années 60 permet de transformer la vérification des contraintes infinies (qui doit être vraie pour toute pulsation ω) en la résolution d’un problème d’optimisation de dimension finie [Saf80].

Problème fondamental de la commande

Cahier des charges (CC)

(Spécifications de performance et de robustesse)

Formulation sous la forme d’un problème d’optimisation

Calcul du correcteur Analyse du correcteur CC rempli ? Oui Non Fin

Choix de la structure du correcteur

Choix des paramètres de réglage

Réglage du correcteur

CC rempli ?

Oui

Non

Analyse du correcteur

Convexe Non convexe

Calcul du correcteur

Analyse du correcteur

CC rempli ? ^Non

Oui

Dimension finie Dimension infinie

Reformulation sous un problème de dimension finie

Fig. 1.27: Structure générale d’une synthèse par optimisation

En revanche, les problèmes d’optimisation à structure fixe du correcteur sont généralement non convexes. Une fois que la structure est choisie, les paramètres du correcteur sont ajustés de façon à ce que le cahier des charges soit rempli (étape “Réglage des paramètres du correcteur” sur la figure 1.27). Ceci est fait à l’aide d’une stratégie d’optimisation choisie. A l’issue de cette étape, il est impératif de vérifier si le correcteur obtenu remplit bien le cahier des charges initial (étape “Analyse du correcteur” sur la figure 1.27). S’il n’est pas vérifié alors soit il n’existe pas de correcteur remplissant le cahier des charges, soit un mauvais choix a été fait à l’une des étapes du processus de conception :

• mauvaise traduction des spécifications du cahier des charges (choix du critère par exemple)

• mauvais choix de structure pour le correcteur ;

Malgré l’abondance des possibilités, la synthèse par optimisation représente un outil très puissant qui, associé au savoir-faire de l’ingénieur, permet d’identifier clairement ; pourquoi le correcteur obtenu ne remplit pas le cahier des charges, où le processus de conception doit être repris, et enfin comment il doit être modifié.