Classification via l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet

(a) Sommes des fonctions propres discréti- sées V1,1 associées aux deux premières valeurs

propres

(b) Fonction propre discrétisée V1,2 associée à

la septième plus grande valeur propre

Figure 2.4 – Exemple des donuts

Remarque 2.15. L’exemple précédent montre que les premières fonctions propres à support sur les différentes composantes connexes ne sont pas associées aux plus grandes valeurs propres : la deuxième composante connexe correspond (figure 2.4 (b)) à la 7ème plus grande valeur propre de {λ_{n, n ∈ N}. Cela permet de soulever le rôle de la normalisation dans l’algorithme 1 de spectral} clustering. La normalisation permet de classer les 2 premières fonctions propres, associées aux plus grandes valeurs propres, comme étant la plus grande fonction propre sur chaque composante connexe Ω1 et Ω2.

Maintenant, il faut lier les fonctions propres de l’opérateur de Laplace avec conditions de Diri- chlet avec celles de l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet.

2.3.3 Classification via l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet Comme pour l’opérateur de Dirichlet, l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet est d’abord introduit avant d’étudier une propriété de clustering sur ses fonctions propres.

Opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet

Soit f ∈ L2(Ω), on considère maintenant l’équation de la chaleur avec conditions de Dirichlet sur la frontière de l’ouvert bornéSk

i=1Ωi : (P_ΩD)      ∂tu − ∆u = 0 sur R+× Ω, u = 0, sur R+× ∂Ω, u(t = 0) = f, sur Ω.

Alors l’opérateur solution de ce problème est défini comme suit [60] :

Proposition 2.16. Soit f ∈ H₀1(Ω). Il existe une unique fonction u définie sur [0, +∞[ à valeur dans H₀1(Ω), différentiable sur [O, +∞[ et satisfaisant les conditions suivantes :

– ∂tu = ∆u(t) pour tout t > 0.

46 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne

En outre, cette fonction u est donnée par : u(t, x) = ∞ X n=0 (f |vn)H1 0e −λnt_v n(x), pour tout t > 0, x ∈ Ω (2.5)

où les vn sont les fonctions vérifiant (PΩL) et les séries sont convergentes sur H01(Ω).La fonction u

est appelée solution du problème de la chaleur sur Ω avec une donnée initiale f et des conditions de Dirichlet.

Démonstration. L’opérateur de Laplace −∆ est injectif, compact, autoadjoint positif sur H₀1(Ω) d’après la proposition 2.11. Donc d’après le théorème 2.9 de Hille-Yosida, il existe une unique fonction u à valeurs dans H₀1(Ω) telle que :

(

∂tu − ∆u = 0 sur R+× Ω,

u(t = 0) = f, sur Ω.

Soit u(t, x) définie par (2.5). Alors comme les vn vérifient (P_ΩL) on a :

−∆u(x, t) = − ∞ X n=0 (f |vn)H1 0e −tλn_∆v n(x) = ∞ X n=0 (f |vn)H1 0e −tλn_λ nvn(x).

De plus, la dérivée partielle par rapport à t est égale à : ∂tu(t, x) = − ∞ X n=0 (f |vn)H1 0λne −tλn_v n(x)

En sommant les deux termes, on obtient : (∂_t− ∆)u(x, t) = 0 et u(t = 0) = f . C’est donc la solution.

Proposition 2.17. Soit l’opérateur solution à valeurs dans H2(Ω) ∩ H₀1(Ω) associé au problème (P_ΩD) défini, pour f ∈ L2(Ω), par :

S_DΩ(t)f (x) = Z

Ω

KD(t, x, y)f (y)dy, x ∈ Rp,

où K_DΩ est le noyau de Green du problème (P_ΩD). Alors les fonctions propres de l’opérateur de Laplace vn vérifiant (PΩL) sont fonctions propres de l’opérateur SDΩ(t) c’est-à-dire : pour tout i ∈ {1, .., k} et

n > 0,

S_DΩ(t)vn,i= e−λn,itvn,i. (2.6)

Démonstration. Soit vm vérifiant (P_ΩL) les fonctions propres de l’opérateur de Laplace, pour tout

m > 0. D’après l’unicité de solution (proposition 2.16), on a : SΩ_Dvm =P∞_n=0(vm|vn)H1 0e

−tλn_v n(x).

Or, d’après la proposition 2.14, les (v_n)n décrivent une base Hilbertienne normée de H01(Ω) donc :

pour tout m > 0,

S_DΩ(t)vm = e−tλmvm(x).

Donc les fonctions propres (v_n)n de l’opérateur −∆ sont fonctions propres de (PΩD).

Dans la suite, on note K_DΩ le noyau de Green du problème (P_ΩD). Les fonctions propres de l’opé- rateur SΩ_D(t) et celles de l’opérateur de Laplace ∆ sont les mêmes. Ainsi, si vn est une fonction

propre de (P_ΩL) associée à la valeur propre λnalors vnest aussi fonction propre de SDΩ(t) associée à

la valeur propre exp−tλn _{dans le sens que S}Ω

D(t)vn(x) = e −tλn_v

n(x). Alors la propriété géométrique

sur les fonctions propres est préservée, i.e le support des fonctions propres peut être définie sur une seule composante connexe Ωi, pour i ∈ {1, .., k}.

2.3.3 Classification via l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet 47

Propriété de clustering

A partir de cette propriété géométrique 2.14 sur les fonctions propres de l’opérateur de la cha- leur avec conditions de Dirichlet, un critère de clustering sur l’espace de projection spectrale peut maintenant être établi.

Théorème 2.18 (Critère de clustering). Pour tout point x ∈ Ω et ε > 0, on notera ρε_x une régularisée de la fonction Dirac centrée en x, c’est-à-dire telle que ρ_x∈ C∞_{(Ω, [0, 1]), ρ}ε

x(x) = 1 et

supp(ρε_x) ⊂ B(x, ε).

Il existe une famille de fonctions vn,i pour i ∈ {1, .., k} et n > 0 qui vérifient (2.6) et telles que

pour tout x ∈ Ω et pour tout i ∈ {1, .., k} et pour tout t > 0, on obtient le résultat suivant :

∃ε0 > 0, ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n > 0, (SD(t)ρεx|vn,i)L2_(Ω)6= 0 ⇐⇒ x ∈ Ω_i (2.7)

où (f |g)_L2_(Ω)=

R

Ωf (y)g(y)dy, ∀(f, g) ∈ L

2_{(Ω) est le produit scalaire L}2 _usuel.

Démonstration. On considère la famille des v_n,ifonctions propres de SΩi

D décrits par la proposition

2.16.

On démontre par la contraposée le sens direct de l’équivalence. Soit donc i ∈ {1.., k} et un point x ∈ Ωj avec j quelconque, j 6= i. Soit dx = d(x, ∂Ωj) > 0 la distance de x au bord de Ωj.

Par hypothèse sur Ω, on a d₀ = d(Ωi, Ωj) > 0. Donc pour tout ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Ωj.

Alors pour tout t > 0, supp(S_D(t)ρε_x) ⊂ Ωj et donc, d’après la proposition 2.16, pour n > 0,

(SD(t)ρεx|vn,i)L2_(Ω)= 0. Donc il n’existe pas de ε₀ > 0 qui vérifie la première partie de l’implication

(2.7).

Réciproquement, soit x ∈ Ωi et ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Ωi. Donc le support de ρεx est dans

Ωi. Comme les (vn,i)n>0 sont une base hilbertienne de L2(Ωi) et que ρεx(x) = 1 6= 0 alors il existe

un n > 0 tel que (ρε_x|vn,i) 6= 0 (sinon ρεx serait la fonction identiquement nulle sur Ωi). Dans ce cas

là, (SD(t)ρεx|vn,i)L2_(Ω) = e−λn,it(ρε_x|v_n,i) 6= 0.

Remarque 2.19. A titre d’exemple, on peut considérer ρε_x une fonction régularisante positive cen- trée en x, C∞ sur Ω et dont le support est inclus dans Ωi, par exemple : pour ε > 0 assez petit,

ρε_x(z) =    exp  − 1 −|z−x| ε +1  , pour |z| < ε, 0, for |z| ≥ ε. (2.8)

On peut encore relâcher la contrainte de l’implication (2.7) en se limitant à demander l’existence d’une suite (εm)m décroissant vers 0 vérifiant la propriété. Cette relaxation élargit l’éventail des

fonctions régularisantes susceptibles de vérifier le critère de clustering.

Corollaire 2.20 (Critère de clustering). Pour tout point x ∈ Ω et ε > 0, on notera ρε_x une régularisée de la fonction Dirac centrée en x, c’est-à-dire telle que ρx∈ C∞(Ω, [0, 1]), ρεx(x) = 1 et

suppρε_x⊂ B(x, ε).

Il existe une famille de fonctions vn,i pour i ∈ {1, .., k} et n > 0 qui vérifient (2.6) et telles que

pour tout x ∈ Ω et pour tout i ∈ {1, .., k} et pour tout t > 0, on obtient le résultat suivant : h ∃ε0 > 0, ∃(εm)m∈]0, ε0[, lim m→∞εm= 0, ∃n > 0, (SD(t)ρ εm x |vn,i)L2_(Ω)6= 0 i ⇐⇒ x ∈ Ωi (2.9) où (f |g)_L2_(Ω)= R Ωf (y)g(y)dy, ∀(f, g) ∈ L

48 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne

Démonstration. En reprenant la preuve de l’implication directe dans la démonstration du théo- rème précédent, on monte que pour une suite de valeurs positives (ε_m)m telle que εm → 0 quand

m → ∞, si m est tel que εm < inf(dx, d0) alors supp(SD(t)ρεxm) ⊂ Ωj et donc, pour n > 0,

(SD(t)ρεx|vn,i)L2_(Ω)= 0.

Réciproquement, si x ∈ Ω_i, par le théorème 2.18, il existe un ε₀ > tel que ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n >

0, (SD(t)ρεx|vn,i)L2_(Ω) 6= 0. On construit alors la suite de terme général ε_m = ε₀/m vérifie les

hypothèses (2.7).