Classification analytique

On reproduit de [16] (avec quelques modifications) des définitions et proprié-tés premières de certains faisceaux de transformations sectorielles. SoitS¹⊂C le cercle unité, etU ⊂S¹ connexe. On désigne aussi parU le secteur de C, de sommet0, formé des pointsz6= 0tel que _|z|^z ∈U et|z|< R(le rayon n’est pas précisé en général). On dit que le secteurU est ouvert (resp. fermé) si l’arc qui le représente dansS¹ est ouvert (resp. fermé).

Faisceaux. — Soitα∈S¹. On considère l’ensembleVαdes germes en0∈C×Cⁿ de fonctions analytiquesf :Vα×∆→C,C^∞au sens de Whitney (cf. [10], [20]) surV ×∆, où on désigne par V_α=V_α(r, θ)le secteur fermé bissecté parαR⁺ de rayonr et d’ouverture2θ, et par∆un polydisque fermé de centre 0∈Cⁿ.

Les fonctions f peuvent être considérés comme des fonctions analytiques admettant un développement asymptotique fort (cf. section2) : en effet, le jet

o

infini de f le long de{0} ×∆ s’interprète comme une série formelle en z∈V avec coefficient à paramètre x∈∆

(10.1) fˆ(z, x) =X

n≥0

fn(x)zⁿ,

où les coefficientsfnsont analytiques sur un même polydisque de centre0∈Cⁿ. Si on note fˆ^k =Pk

n≥0fn(x)zⁿ, on a pour toutk, l∈N,V¯ ⊂V secteur fermé et K⊂∆ compact

|z^−k+1|

∂^lf

∂^rz(z, x)−∂^lfˆ^k

∂^lz (z, x)

z→0−→0 uniformément surV¯ ×K.

On définit Bbcomme l’anneau des séries formelles de forme (10.1), et B le faisceaux d’anneaux sur S¹ tel pour toutα∈S¹, la fibre enαsoit l’ensemble Vα. On noteBαla fibre enα∈S¹deB.

SoitDR,Λle faisceau de groupes (ditdes transformations sectorielles) surS¹ dont la fibre enα∈S¹est constituée des transformationsΦ_α: (z, x₁, . . . , x_n)→ (z, x₁e^f1, . . . , e^fn), avecf_i∈ B_α,f_i(0, x) = 0et tel quex^R◦Φ_α=x^R,x^Λ◦Φ_α= x^Λ.

On note D_Ep,Λ^∞ ⊂ DR,Λ le sous-faisceau (dit destransformations infiniment plates) tel que les transformationsΦα soient infiniment plates enz le long de {0} ×∆(les f_i sont alors également infiniment plats).

Cochaînes, cocycles et isomorphisme. — Soit U = {U1, . . . , Um} un recouvre-ment ouvert deS¹tel que lesUi soient des arcs de longueur inférieure ou égale à 2π,Ui,i+1≡Ui∩Ui+16=∅.

On noteC⁰(U,D_R,Λ)(0-cochaînes) le groupe des applications qui àU_i ∈ U font correspondre une sectionΦi du faisceauDR,Λ et telles que pour tout1≤ i, j≤mon aΦˆi= ˆΦj.

On noteC¹(U,D_R,Λ^∞ )(1-cochaînes) le groupe des applications qui à toutUi∩ U_j6=∅font correspondre une sectionΨ_ijdu faisceauD^∞_R,Λdes transformations infiniment plates. Soit Z¹(U,D^∞_R,Λ) ⊂ C¹(U,D^∞_R,Λ) (1-cochaînes) tel qu’on a Ψij◦Ψjk= Ψik surUi∩Uj∩Uk 6=∅(Pour les raisons de ces dénominations cf. [16] et à la bibliographie qui s’y trouve).

On définit l’applicationcobord de Cˇech ∂:C⁰(U,DR,Λ)→Z¹(U,D^∞_R,Λ)par

∂{Φi} =¶

Φ_iΦ⁻¹_j ©

Pour la preuve du résultat suivant du à B. Malgrange et repris par Martinet-Ramis, on renvoie à [11].

Théorème 10.1. — L’application∂ est surjective.

On considère maintenant la restriction à la surfacez=x^Rde ce qui précède.

SoitBˆ l’anneau des séries formelles de la forme fˆ=X

n≥0

fn(x)(x^R)ⁿ

où les coefficientsfn sont analytiques sur un même polydisque deCⁿ centré en 0. Posons π: Cⁿ →Cdéfini parπ(x) =x^R. Soit B le faisceau d’anneaux sur S¹ défini ainsi : pour toutα∈S¹, un élément de la fibreBα enαest le germe en 0 ∈ Cⁿ d’une fonction f :π⁻¹(U)∩∆ →C, oùU ≡Uα(r, θ)⊂C est un secteur fermé bissecté parαR⁺, d’ouverture2θet de rayon r;∆∈Cⁿ est un polydisque fermé de centre0. On suppose la fonctionf analytique sur l’intérieur deπ⁻¹(U)∩∆. Let jet infini d’une telle fonction le long deE∩∆est un élément deB, c’est-à-dire queˆ f admet un développement asymptotique fort (cf. section 2) en le monômex^R. On noteB^∞ le faisceau des fonctions infiniment plates surπ⁻¹(U)∩∆. Soit le faisceauDR,Λ de groupes (non-abélien) surS¹ dont la fibre enα∈S¹ est constituée des transformations

(x1, . . . , xn)7→(x1e^f1, . . . , xne^fn) avec pour tout1≤i≤n,fi ∈BαetPn

i=1Rifi= 0,Pn

i=1Λifi = 0. On désigne par D_R,Λ^∞ ⊂DR,Λ le sous-faisceau (dit des transformations infiniment plates) défini par la condition supplémentaire que pour tout 1 ≤i ≤n,f_i est infini-ment plat surπ⁻¹(U)∩∆. On désigne parDˆR,Λle groupe des transformations formelles deC×Cⁿ en0de la forme

(x1, . . . , xn)7→(x1e^f1, . . . , xne^fn) avec pour tout 1≤i≤n,f_i∈Bˆ etPn

i=1R_if_i = 0,Pn

i=1Λ_if_i= 0.

Soit C⁰(U, D_R,Λ) ( 0-cochaînes) le groupe des applications qui à U_i ∈ U font correspondre une section Φi du faisceau DR,Λ et telles que pour tout 1≤i, j≤m on aΦˆi= ˆΦj.

On définit alors comme plus haut C⁰(U, D_R,Λ), C¹(U, D_R,Λ^∞ ) ainsi que Z¹(U, D^∞_R,Λ) . La preuve du résultat qui suit est identique à celle de [12]

(corollaire 4.6, p. 603).

Corollaire 10.1. — L’applicartion ∂:C⁰(U,D_R,Λ^∞ )→Z¹(U, D_R,Λ^∞ )est sur-jective.

Soient{f_i}_i=1,...,ndes fonctions analytiques bornées surπ⁻¹(U_i)∩∆ admet-tant toutes fˆcomme développement asymptotique au sens de Gérard-Sibuya dans π⁻¹(U_i)∩∆. Posons f_i,i+1 =f_i◦f_i+1⁻¹ dans π⁻¹(U_i,i+1)∩∆. Lesf_i,i+1 admettent la fonction nulle comme développement asymptotique au sens de Gérard-Sibuya. La preuve du résultat qui suit est identiques à [11] (proposi-tions I.6.2, I.6.3, p. 91-92).

o

Proposition 10.1. — Supposons que{fi,i+1)} ∈Z¹(U, B^∞). Alorsfˆ appar-tient àBˆ.

Dans le reste de cette section on considère une forme normale polynomiale fixée Πn = Π²+x^RΠ^R telle que dans le théorème 3.1 (de normalisation sec-torielle). Le but est de donner une classification analytique des structures de Poisson holomorphes formellement conjuguées à Πn, à multiplication par une unité analytique près. Soit 0 < < π/2 fixé quelconque. D’après le théorème 3.1 on a Λ, δ tels que pour toute structure de Poisson holomorphe de forme normale formelle Πn il existevΛ,r, r⁰>0 etΦ^Λ_j,j= 0,1 tels que surDS_j^R on a (Φ^Λ_j)^∗(vΛΠ) = Πn. Fixons maintenant le recouvrement ouvertU deS¹

U ={Uj}_j=0,1 Uj=

θ∈S¹;|θ−[argδ+π(j+ 1/2)]|< π− . Définition 10.1. — On dit que Φ01 ∈ D_R,Λ^∞ est une isotropie sectorielle de Π_n si on aΦ^∗₀₁(Π_n) = Π_n. On dit queΦ₀₁∈D^∞_R,Λ est uneisotropie sectorielle de _x¹ΛXΠ_n(x^Λ)siΦ^∗_{01 x}¹ΛXΠ_n(x^Λ)

=_x¹ΛXΠ_n(x^Λ).

Désignons par D_R,Λ,Πn ⊂ D^∞_R,Λ le sous-faisceau des transformations iso-tropes deΠn, et parD_R,Λ,[ 1

xΛXΠn(x^Λ)]⊂D^∞_R,Λle sous-faisceau des transforma-tions isotropes de _x¹_ΛX_Πn(x^Λ).

Proposition 10.1. — On aDR,Λ,Π_n=D_R,Λ,[ 1

xΛXΠn(x^Λ)].

Preuve de la proposition 10.1. — SoitΦ∈D_R,Λ^∞ . Commex^Λ◦Φ =x^Λ, on a Φ^∗

Å 1

x^ΛXΠ_n(x^Λ) ã

= 1

x^ΛXΦ^∗(Π_n)(x^Λ).

Il suit D_R,Λ,[ 1

xΛX_Πn(x^Λ)] ⊂ DR,Λ,Π. Montrons l’inclusion inverse. Supposons Φ ∈ D_R,Λ,[ ¹

xΛX_Πn(x^Λ)]. On a Φ^∗(Πn) = Πn +R où R est tel que dans la proposition 8.1. En même temps _x¹ΛX_Φ^∗_(Πn)(x^Λ) = _x¹ΛX_(Πn)(x^Λ). On montre alors comme dans la preuve du théorème3.1queR= 0.

Définissons encore l’espaceH¹(U, D_R,Λ,Π^∞

n)dont on a besoin plus bas. Deux 1-cochaînes{Ψij}et{Ωij} ∈C¹(U, D^∞_R,Λ,Πn)sont dites cohomologues s’il existe une 0-cochaîne {Φi} ∈ C⁰(U, D^∞_R,Λ,Π

n) tel que Ω_ij = Φ⁻¹_i Ψ_ijΦ_i. Cela définit une relation d’équivalence sur C¹(U, D^∞_R,Λ,Π

n) et on montre qu’elle respecte Z¹(U, D^∞_R,Λ,Π

n) : si {Ψij} et {Ωij} sont cohomologues et si {Ψij} est un 1-cocycle, alors {Ωij} est également un 1-cocycle. On définit H¹(U, D^∞_R,Λ,Π

n) comme l’ensemble des classes d’équivalences dansZ¹(U, D^∞_R,Λ,Π

n).

PuisqueU est uniquement composé de deux ouverts on aC¹(U, D^∞_R,Λ,Π

n) = Z¹(U, D^∞_R,Λ,Π

n), et on montre comme dans [16, section 3.4], en utilisant la

proposition10.1, queC⁰(U, D^∞_R,Λ,Π

n)est réduit à la cochaîne triviale : l’identité deCⁿ.

Rappelons _x¹ΛX_Π2(x^Λ) :=µ1Y1+· · ·+µnYn et posonsN = (µ1, . . . , µn)∈ Cⁿ. En utilisant la proposition 10.1on obtient comme dans [16, prop. 3.4.3] : Proposition 10.2. — On a

H¹(U, D_R,Λ,Π^∞

n)∼=C¹(U, D_R,Λ,Π^∞ _n).

De plus, cet espace s’identifie à l’espace des2nséries holomorphes au voisinage de0∈Cⁿ de la forme

Ñ

X

(−1)^j(Q,N)/δ<0

a^j_i,Qx^Q é

i=1,...,n

j= 0,1

et Pn

i=1Ria^j_i,Q= 0,Pn

i=1Λia^j_i,Q= 0.

Désignons par EΠ_n l’ensemble des structures de Poisson holomorphes de forme normale formelleΠn telles que l’unité analytiquevΛ fourni par le théo-rème3.1soit égale à la fonction constante1.

Remarque. — Par multiplication par une unité analytique adéquate, toute structure de Poisson telle que dans le théorème 3.1, peut être ramenée à une structure de Poisson appartenant àE_Πn.

Théorème 10.2. — L’espace des orbites de DR,Λ dans EΠ_n est en bijection avec H¹(U, D_R,Λ,Π^∞

n).

Démonstration. — Soit : EΠ_n →C¹(U, D_R,Λ^∞ ,Πn) =H¹(U, D_R,Λ^∞ ,Πn) l’ap-plication qui associe à une structure de Poisson Π ∈ EΠn l’isotropie secto-rielle

Φ^Λ₀ ◦(Φ^Λ₁)⁻¹ , où Φ^Λ_j, j = 0,1, est la transformation analytique sur DS_j^R(r, r⁰, δ)fourni par le théorème3.1, conjuguantΠà la forme normaleΠ_n. Montrons que l’application passe au quotient en une application injective

¯:E_Πn/D_R,Λ→H¹(U, D^∞_R,Λ,Π_n). SoientΠ₁,Π₂∈E_Πnanalytiquement conju-guées par Ψ ∈ DR,Λ sur un voisinage V de 0 ∈ Cⁿ. Par le théorème 3.1, ils existent des transformations Φ^Λ,1_j ,Φ^Λ,2_j ∈ DR,Λ, j = 0,1, uniques telles que (Φ^Λ,1_j )^∗(Π1) = Πnet(Φ^Λ,2_j )^∗(Π2) = ΠnsurDS_j^R(r, r⁰, δ)j= 0,1. On en déduit que sur DS^R_j(r, r⁰, δ)∩V,j = 0,1, on a Ψj = (Φ^Λ,2_j )⁻¹◦Φ^Λ,1_j . On en déduit que l’application passe bien au quotient.

Montrons l’injectivité. Supposons qu’on a (Π1) = (Π2), avec Π1,Π2 ∈ EΠ_n, c’est-à-dire Φ^Λ,1₀ ◦1 Φ^Λ,1 = Φ^Λ,2₀ ◦ Φ^Λ,2₁ sur π⁻¹(U0 ∩ U1) ∩ ∆ :=

DS₀^R(r, r⁰), δ∩DS₁^R(r, r⁰, δ). La transformationΨ_j:= (Φ^Λ,2_j )⁻¹◦Φ^Λ,1_j est défi-nie, analytique est bornée surπ⁻¹(U_j)∩∆. Dans l’intersectionπ⁻¹(U₀∩U₁)∩∆

o

on a Ψ1 = Ψ2. Les transformationsΨ0,Ψ0 se prolongent donc en une trans-formationΨanalytique et bornée sur W\ {0}, oùW désigne un voisinage de 0∈Cⁿ, etΨse prolonge analytiquement en0. D’oùΨ^∗(Π₂) = Π₁ surW.

Reste à montrer la surjectivité de l’application¯, i.e. à synthétiser une struc-ture de Poisson Πappartenant àEΠ_n à partir d’une1-cochaîne{Ψ01}surU à valeurs dansD_R,Λ,Π^∞ _n qui est aussi un cocycle – on rappelleC¹(U, D^∞_R,Λ,Πn) = Z¹(U, D^∞_R,Λ,Π

n). D’après le corollaire 10.1, il existe une 0-chaîne {Φ0,Φ₁} ∈ C⁰(U, D_R,Λ)telle que Φ₁◦Φ⁻¹₀ = Ψ₀₁ (rappelons que Φ₁ et Φ₂ admettent le même développement asymptotique fort enx^R).

Posons Πi = (Φ⁻¹_i )^∗(Πn), i = 0,1. Sur π⁻¹(U0∩U1)∩∆ on a Π0 = Π1, puisque (Φ0◦Φ⁻¹₁ )^∗(Πn) = Πn. Par conséquentΠ0et Π1se prolongent en une structure de PoissonΠanalytique sur un voisinage de0∈Cⁿ et on vérifie que Πsatisfait les hypothèses du théorème3.1et que l’unité analytique associé est égale à1. D’oùΠ∈EΠ_n.

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