Classiation

1.3 Bilan

2.1.3 Classiation

Les méthodes par lassiation ont pour but d'obtenir une partition de l'image en un

ertainnombrede lasses.Lesprinipalesatégoriessontlesalgorithmesnonparamétriques

(supervisésounon),l'approhebayésienne,l'algorithmedes

K

^-moyennes^etl'algorithmedes

C

^-moyennes ^oues ^(FCM). L'algorithmeFCM est présenté plus en détailsà lasetion 2.3.

2.1.3.1 Méthodes non paramétriques

Lesméthodes non paramétriques sont utiliséesdans leas oùauune onnaissane n'est

disponible sur la forme de la distribution des éléments à lassier. Plusieurs types

d'al-gorithmes existent, onsistant soit à estimer la fontion de densité à partir d'éhantillons

représentatifs de ette fontion, soit à estimer diretement la probabilité a posteriori de la

distribution.

Une première façon d'eetuer une lassiation est d'estimer lafontion de densité de

probabilitéselon laméthode des

k

^plus ^prohes^voisins ^(kPPV).^Soit^un ^ensemble

d'appren-tissage

P

^,^onsistant ^en

N

éhantillonsde dimension

D

^dont ^larépartition en

C

^lasses^est

onnue. Un élément

y _j

^est ^lassé ^dans ^la ^lasse

c

^si ^la ^majorité ^des

k

^plus ^prohes

éhan-tillons de l'ensemble d'apprentissage appartient à la lasse

c

^. ^La ^distane ^entre ^les ^motifs

est aluléeselon une normeadaptée à haque as. Cependant, ette méthode suppose que

l'ensembled'apprentissage est représentatifdes données traitéesetdoit être fournien

préa-lable omme entrée de l'algorithme. Cet ensemble peut être fourni soit par un expert, soit

être extrait de l'ensembledes motifsselon ertaines onditions.

L'artile[Wareld 2000℄ montre une approhe utilisantlekPPV ave un ensemble

d'ap-prentissage déni par un expert. Typiquement,

50

^à

100

^voxels ^par ^lasse ^sont séletionnés (uniquement en fontion de l'intensité des voxels). Un modèle anatomique est également

fournide manièreàontraindrelasegmentation and'obtenir desrésultatsplus pertinents.

Un autre exemple d'utilisationdes kPPV est donné dans [Cooso 2003℄.La prinipale

dif-férene ave les travaux préédents réside dans l'extration de l'ensemble d'apprentissage.

Plutt qu'une séletion manuelle, les auteurs ont déni une séletion automatique par

éla-gage d'unarbre ouvrant minimald'un ensemble de voxels à partir d'un atlas anatomique.

Une autre méthodologie non paramétrique renontrée en segmentation est la méthode

du Mean-Shift [Fukunaga1975, Cheng1995℄ quia l'avantage d'êtrenon-supervisée, évitant

ainsi l'étape de dénition de l'ensembled'apprentissage. Ce type d'algorithmereherhe les

modes (ou maxima loaux) de la distribution et regroupe les diérents éléments selon leur

proximitépar rapport à es modes. De manièregénérale, l'information prise en ompte est

l'intensité des voxels, mais également leurs oordonnées spatiales, onduisant à une

sur-segmentation de l'image.

Un exemplede l'utilisationdu Mean-Shift pour lasegmentationdes tissus érébraux est

donnédans [Jiménez-Alaniz 2006℄.La segmentationest également ontraintepar l'ajoutde

l'informationfournieparladétetiondesontoursdel'image.L'enjeuestensuitedefusionner

l'ensembledes régionsdétetéesparleMean-Shift pourobtenirlasegmentationnale.Cette

étape est faite par l'analyse des régions adjaentes an de fusionner lesrégions homogènes

d'intensité prohe, ainsi que par une étape de suppression des petites régions. Les régions

nalessontalors lasséesselonune méthode bayésienne aveun a priori fournipar unatlas

statistique. L'artile [Mayer2009℄ dénit une approhe reposant sur une première étape

toujours fondéesur un Mean-Shift ave la priseen ompte de l'intensitéetdes oordonnées

spatiales.Parlasuite,après uneétapede fusiondesmodesadjaents, lalassiation nale

esteetuéeselonun algorithmedes

k

^-moyennes^pondéré^par^le^nombre^de ^voxels ^de^haque

région.

2.1.3.2 Méthode bayésienne

Mélanges de gaussiennes Ces approhes introduisent un a priori sur la forme de la

distribution des éhantillons, en la modélisant omme un mélange de gaussiennes, le but

étant de aluler les paramètres optimauxpermettant de quantier e mélange.Soit

y _j

^un

veteur de dimension

d

représentant les données issues du voxel

j

^à ^lasser. L'intensité de e voxel est onsidérée omme la réalisation d'une variable aléatoire régie par un mélange

de gaussiennes :

f (y j , θ) = X C

k=1

α k (2π) ^d/2 |Σ k | ² ¹ exp (− 1

2 (y j − u _k ) ^t Σ ⁻¹ _k (y j − u _k )),

^(2.3)

où

C

^est ^le ^nombre ^de ^lasses ^reherhées,

θ = (α, u, Σ)

u _k

^est ^le ^veteur ^moyenne ^de ^la

k

^ième distribution gaussienne et

Σ _k

êst ^sa ^matrie ^de ôvariane, êt

α

^est ^la ^proportion ^du

mélange.Les poids

α k

^sont^positifs^et ^vérient^la ^relation^:

X C

k=1

α _k = 1.

^(2.4)

L'objetif est d'assigner une étiquette

x _j

^à ^haque ^voxel

j

^ave

x _j ∈ {c ₁ , c ₂ , . . . , c _k }

L'outil privilégié pour estimer l'ensemble de es paramètres est l'algorithme

Expetation-Maximization (EM) [Dempster1977℄onsistant àestimer le maximumde vraisemblane.

Parmi le grand nombre d'artiles utilisant ette tehnique, nous pouvons iter tout

d'abord les artiles [VanLeemput 1999a℄ et [Ashburner 2000℄, qui ajoutent une

orre-dans [Dugas-Phoion 2004℄, et l'étape de maximisation de la vraisemblane est

rempla-ée par un estimateur de vraisemblane tamisé dans [Aït-Ali2005℄. Une approhe loale a

également été introduite dans [Kovaevi 2002℄ qui modélise l'histogramme du volume

in-trarânien par un mélangede quatre gaussiennes aussibien auniveau loal('est-à-diresur

une partie de l'image)que global('est-à-dire sur l'ensemblede l'image)pour apporter une

réponse au problème des inhomogénéitésen intensité. Enn, l'artile[Rihard 2004℄ dénit

une approhe multi-agents, haque agent étant dédié à une partie de l'image ou un tissu

partiulier, la segmentation globale étant reonstruite par un agent global à partir des

in-formations olletées auprès des agents loaux. L'algorithme EM étant sensibleau bruit, il

néessite l'introdutiond'apriori pour garantirl'homogénéitéspatialedesétiquettes. L'une

des méthodes les plus utilisées pour obtenir ette homogénéité est la régularisation par les

hampsde Markov.

RégularisationparhampsethaînesdeMarkov LeshampsdeMarkovpermettent

de modéliser l'interation spatiale entre les voxels. Soit

S

^un ^ensemble ^de ^sites

s

^et ^des

variablesaléatoires

X _s

^assoiées^à^es^sites.^Le^hamp

X = (X _s ) _s∈S

^est^un^hamp^de^Markov

pour un système de voisinage

V s

^donné^si ^et^seulement ^si ^:

P (X s |X t , t 6= s) = P (X s |X t , t ∈ V s ).

^(2.5)

Le théorème de Hammersley-Cliord établit une équivalene entre les hamps de Gibbs et

les hamps de Markov, dontla distribution peut alors être exprimée selon :

P (X = x) = 1

Z exp (−U(x)),

^(2.6)

ave

U (x) = P

c∈C V c (x s ), s ∈ c

^et ^où

Z

êst ûne ônstante ^de normalisation.

C

^est

l'en-semble des liques dénies par le système de voisinage et

V c

^un ^potentiel ^dépendant ^de ^la

onguration de lalique

c

^[Geman ^1984℄. L'algorithmeICM (Iterated Conditional Modes) issu de [Besag 1986℄,herhant leMAP de ladistribution, peut être utilisé omme

alterna-tiveà l'algorithmeEM dans e adre,l'a priori étantapporté par lesrelationsde voisinage

modéliséespar les hamps de Markov.

Les hamps de Markov se sont révélés être partiulièrement bien adaptés à la

segmen-tation des tissus érébraux dans un environnement bruité,omme le montrent [Held1997℄,

[VanLeemput 1999b℄,[Zhang2001℄et[Shattuk 2001℄.L'artile[Marroquin2002℄ présente

uneapprohereherhantleMAPaveunerégularisationpardeshampsdeMarkovahés.

Un atlas anatomique est utilisé en omplément de manièreà obtenir des a priori spatiaux

et avoir une initialisationautomatique. L'artile [Briq 2008℄ utilise une régularisation par

haînesdeMarkov,oùlevoisinageest prisen omptegrâeàunparours frataldel'image.

Nous pouvons également iter[Sherrer 2009℄ quia déniun modèle de hamps de Markov

loaux oopératifs, permettant une segmentation onjointe des tissus (LCR, matière grise

et matière blanhe) et des strutures érébrales (par exemple le putamen ou le thalamus).

Enn, l'artile [Cardoso 2011℄ réalise un anement de la segmentation du ortex en

han-geantloalementl'aprioride l'atlasetenintroduisantunemodélisationexpliiteduvolume

2.1.3.3

K

^-moyennes

L'objetif de l'algorithme des

K

^-moyennes ^est ^de ^regrouper ^l'ensemble ^des ^voxels ^de

l'imageen

K

^lassesên^fontion^de ^leurîntensité.^Chaque^lasseêst ^dénie^parûn êntroïde

(en générallamoyenne de l'intensitédes voxelsappartenantàla lasse)ethaque voxel est

assignéàlalassedontleentroïdeestleplusprohe.Enonsidérantuneimageomposéede

N

^voxels,^lasegmentation par l'algorithmedes

K

^-moyennes ^revient^à^minimiser^la ^fontion

d'énergie suivante :

J _K

-moyennes

= X K

k=1

X

j∈S k

ky j − v _k k ² ₂ ,

^(2.7)

où

y _j

^représente l'intensité du voxel

j

^et

v _k

^le ^entroïde ^de ^la ^lasse

k

^et

S k

^l'ensemble^des

voxels lassésomme éléments de lalasse

k

^.L'algorithme est lané àpartir d'uneposition initiale et alterne une étape d'appariement des données aux lasses et une étape de mise

à jour des entroïdes. La onvergene est atteinte lorsque la arte des étiquettes n'est plus

modiée àla n d'une itération.

Cet algorithme aété utiliséen segmentationdes tissus érébraux [Vemuri1995℄.

Cepen-dant,ilest sensibleàl'initialisationetne tientpas ompted'unenvironnement bruité,nide

l'eet de volume partielprésent dans les IRM. Eneet, l'appartenane binaire àune lasse

peut poser problème, l'eet de volume partiel se aratérisant par le mélange de plusieurs

tissus dans un voxel. L'algorithme des

C

^-Moyennes ^oues ^(FCM), ^dérit ^en ^setion ^2.3,

répond à etteproblématique.

Dans le document Contributions à la segmentation des structures cérébrales en IRM foetale (Page 37-40)

1.3 Bilan

2.1.3 Classiation

K

C

k

P

N

D

C

y j

c

k

c

50

100

k

y j

d

j

f (y j , θ) = X C

k=1

α k (2π) d/2 |Σ k | 2 1 exp (− 1

2 (y j − u k ) t Σ −1 k (y j − u k )),

C

θ = (α, u, Σ)

u k

k

Σ k

α

α k

X C

k=1

α k = 1.

x j

j

x j ∈ {c 1 , c 2 , . . . , c k }

S

s

X s

X = (X s ) s∈S

V s

P (X s |X t , t 6= s) = P (X s |X t , t ∈ V s ).

P (X = x) = 1

Z exp (−U(x)),

U (x) = P

c∈C V c (x s ), s ∈ c

Z

C

V c

c

K

K

K

N

K

J K

= X K

k=1

X

j∈S k

ky j − v k k 2 2 ,

y j

j

v k

k

S k

k

C

y _j

y _j

α k (2π) ^d/2 |Σ k | ² ¹ exp (− 1

2 (y j − u _k ) ^t Σ ⁻¹ _k (y j − u _k )),

u _k

Σ _k

α _k = 1.

x _j

x _j ∈ {c ₁ , c ₂ , . . . , c _k }

X _s

X = (X _s ) _s∈S

J _K

ky j − v _k k ² ₂ ,

y _j

v _k