Classication des écoulements gaz-solide

Dans la formulation des équations de transport quelques échelles de temps caractéris-tiques sont dénies. Ces échelles de temps sont fondamentales dans la classication et la compréhension des mécanismes dominant dans les suspensions. L'échelle de temps caracté-ristique des grands tourbillons au sein de la phase uide (τt

f) est dénie par la relation (Eq.

II.64.a), en accord avec le modèle k − ² classique. Le temps caractéristique du mouvement turbulent de la phase uide vue par les particules (τt

f s), est principalement aecté par la perte de corrélation entre les mouvements uctuants dus aux mouvements relatifs moyens

Complexité

Puissance Machine

Modèle du second ordre RSM & ASM Modèle du premier ordre

k − ²

Simulation des Grandes Echelles LES

Simulations Numériques Directes DNS

Fig. II.4  Classication des diérentes approches pour la modélisation de la turbulence

des particules (crossing-trajectories eects). Suivant la proposition de Csanady (1963), il peut s'écrire sous la forme donnée par l'équation (Eq.II.64.b). La constante Cβ dépend de l'écoulement et de la direction de celui-ci. Pratiquement, ce temps caractéristique exprime le fait que le temps passé par une particule de uide virtuelle dans un tourbillon est dié-rent de celui passé par une particule solide du fait de la vitesse relative qui existe entre les deux phases. Le temps de relaxation d'une particule solide (τf s) est donné par la relation (Eq. II.64.c) et il représente l'entraînement des particules par l'écoulement du uide. Le coecient de traînée moyen pour une particule (CD) est fonction du nombre de Reynolds particulaire. La vitesse relative fait intervenir la vitesse de dérive qui est discutée ci-après (Cf. a)). Dans le cadre de la théorie cinétique des milieux granulaires, le temps caracté-ristique des collisions particule-particule (τc

s) est donné par la relation (Eq. II.64.d) et il représente le temps écoulé entre deux collisions binaires successives pour deux particules données. g0 est appelé fonction de distribution radiale et il traduit l'augmentation de la probabilité des collisions avec l'augmentation de la concentration.

                           τt f = ³ 2^{Cµkf/²f (a)} τt f s = τt f[1 + C_β.(3 k −^→u_r k2)/(2k_f)]−1/2 (b) τf s = ^4dpρs 3ρ_fC_D k −^→u_r k ^(c) τc s = (d_p/(24g₀α_s))^p(3π)/(2k_s) (d) (II.64)

II.3. Modélisation de la turbulence pour la phase solide

Elgobashi (1991) a proposé une classication des écoulements gaz-solide, basée sur les échelles de temps caractéristiques dénies précédemment, mais aussi sur la distance interparticulaire (x1− x₂)/d_p, et l'échelle de temps de Kolmogorov τK (Fig.II.5).

10−7 10−5 10−3 10−1

1 10

102

Eet négligeable ^turbulence

turbulence des particules Augmentation de la τf s/τK τ_{f s}/τt f Couplage à sens unique Couplage à deux sens Couplage à quatre sens

sur la turbulence _{Diminution de la}

α_s (x₁− x₂)/d Suspension dense Suspension diluée 10−2 104 102 100 10−2 100 102 10−4

Fig. II.5  Classication des régimes d'écoulement gaz-solide selon Elgobashi (1991)

Lorsque la suspension est très diluée (αs< 10−6) les particules n'ont aucun eet sur la turbulence de la phase uide mais leur mouvement peut être gouverné par le mouvement turbulent du uide, si leur inertie est susamment faible : c'est ce que l'on appelle le couplage à sens unique ("one-way coupling"). Quand la fraction volumique est plus élevée (αs ≈ 10−3) les eets dus à la présence des particules sur le mouvement turbulent du uide sont observés : c'est ce que l'on appelle le couplage à deux sens ("two-way coupling").

La turbulence peut être modiée de deux façons, soit elle est ampliée, soit elle est amortie. Pour une fraction volumique donnée la turbulence est ampliée si le temps de relaxation des particules augmente (ce qui signie que le diamètre moyen des particules augmente). Il est communément admis que lorsque le nombre de Reynolds particulaire dépasse une certaine valeur critique, des tourbillons apparaissent localement dans le sillage des particules, qui ont pour eet d'augmenter l'énergie cinétique turbulente du uide. A contrario, si le temps de relaxation diminue, il n'y a pas de tourbillons engendrés et l'énergie est dissipée par le travail fourni par les tourbillons pour accélérer les particules. Le mécanisme de création de tourbillons - travail fourni par les tourbillons aux particules, est supposé être le mécanisme prépondérant dans les écoulements gaz-solide.

En général, cinq mécanismes peuvent être responsables de la modulation de la turbu-lence :

1. la dissipation d'énergie cinétique turbulente par les particules ;

2. l'augmentation de la viscosité turbulente due à la présence des particules ;

3. l'apparition de tourbillons dans le sillage des particules ;

4. le mouvements du uide avec les particules impliquant une masse ajoutée aux par-ticules ;

5. l'augmentation du gradient de vitesse entre deux particules.

Ces mécanismes ne sont certainement pas indépendants et les mécanismes 2 et 5 doivent être moins importants dans les écoulements très dilués.

Pour des fractions volumiques supérieures à 10−3, la distance interparticulaire est suf-samment petite pour que des collisions se produisent. Ce régime est qualié de couplage à quatre sens ("four-way coupling").

Une classication systématique des écoulements gaz-solide, qui ne tient pas compte de la modulation de la turbulence, peut être établie en fonction des temps caractéristiques dénis précédemment.

Quand τf s << τt

f s le mouvement des particules est régi par la turbulence de la phase uide. Dans le cas contraire, les particules sont peu aectées par la turbulence de la phase uide. Ces deux comportements asymptotiques sont appelés le cas limite scalaire (scalar limit) et le cas des particules grossières (coarse particule).

Lorsque τc

s << τ_{f s} le mouvement des particules est régi par les collisions tandis que si τf s << τc

s les particules sont surtout aectées par la turbulence de la phase uide. Ce sont respectivement les cas denses et dilués.

Quand la vitesse relative moyenne entre les phases est nulle, i.e. les particules ne chutent pas, on peut montrer que τt

f s ≈ τt

f. Alors que pour une vitesse relative moyenne non nulle τt

f s < τt f.