Il est clair d’après cette définition que si Y est une autre variable aléatoire ayant même loi queX(donc mêmes probabilités d’appartenance aux intervalles),

elle a aussi la densité f. D’autre part, il n’y a pas unicité de la densité d’une variable aléatoire. Par exemple g₁ “ 1_r0,1s et g₂ “ 1_s0,1r sont deux densités de probabilité qui donnent les mêmes intégrales :^ş_a^bg₁ptqdt“^ş_a^bg₂ptqdtpour toute paire de réels aetb. Ces deux fonctions peuvent chacune être prise comme densité de la loi uniforme surr0,1s.

L’exemple ci-dessus montre qu’il ne suffit pas de vérifier que deux variables aléatoires ont des densités qui diffèrent en un point pour en déduire qu’elles n’ont pas même loi. Nous admettrons le lemme suivant qui donne une condition suffisante pratique pour que deux variables à densité n’aient pas même loi.

Lemme 4.16. Soient X et Y deux variables aléatoires admettant respectivement pour densité les fonctionsf et g. On suppose qu’il existe un réelt₀ tel que fpt₀q ‰gpt₀qet que de plus,f et g sont toutes deux continues au point t₀. Alors X et Y n’ont pas même loi. Examinons maintenant les relations entre la densité d’une variable aléatoire,lorsqu’elle existe, et sa fonction de répartition, qui elle, existe toujours, .

Proposition 4.17. Si la variable aléatoire X a pour densité f, sa fonction de répartition

F vérifie :

a) @xP _R, Fpxq “^ş_´8^x fptqdt; b) F est continue sur _R;

c) si f est continue au point x₀, alors F est dérivable en ce point et F1

px_{0q “}f_px_0q. Corollaire 4.18. Si la variable aléatoire X a pour densité f, les égalités suivantes sont vérifiées pour tous a, bP _R tels que a ăb :

PpaăX ăbq “PpaăX ďbq “PpaďX ăbq “PpaďX ďbq “ żb a fptqdt, PpX ăaq “ Ppxďaq “ ża ´8 fptqdt, P_pX _ąb_{q “}P_pX _ěb_{q “} ż`8 b f_pt_qdt.

Preuve de la proposition 4.17 et du corollaire 4.18.

4. On peut démontrer que l’ensemble des points de discontinuité d’une f.d.r. quelconque est au plus dénombrable.

4.2. Généralités 69 Preuve de a). Puisque X a pour densité f, on a pour tous réels aăb,

PpX P sa, bsq “Fpbq ´Fpaq “

żb a

fptqdt. (4.19) Il suffit d’appliquer (4.19) avec b“x fixé et a “ ´n pour chaque n P _N tel que ´n ăx. La suite d’évènements

A_n:“ tX P s ´n, xsu, n ą ´x,

est croissante pour l’inclusion et a pour réunion A “ tX P s ´ 8, xsu. Par continuité monotone séquentielle (cf. proposition 2.4), on a PpA_nq ÒPpAq, d’où

Fpxq “PpAq “ lim nÑ`8PpX P s ´n, xsq “ lim nÑ`8 żx ´n fptqdt“ żx ´8 fptqdt,

en notant que l’intégrale généralisée de la densité f converge en _´8.

Preuve de b). Fixonsx₀ P _Rquelconque. On sait déjà queF est continue à droite en tout point commetoute fonction de répartition. Il suffit donc de montrer la continuité à gauche en x₀. D’après le point b) de la définition 4.12, il existe a ă x₀ tel que f soit définie et Riemann intégrable sur tout intervalle ra, xs Ă ra, x₀r. On a alors

lim xÒx0 żx a fptqdt “ żx0 a fptqdt,

où la deuxième intégrale est soit une intégrale de Riemann ordinaire soit une intégrale généralisée convergente. Cette relation peut aussi s’écrire à l’aide de F :

lim

xÒx0

`

Fpxq ´Fpaq^˘“Fpx₀q ´Fpaq.

On en déduit par addition de Fpaq que Fpxq tend vers Fpx₀q quand x tend vers x₀ par valeurs inférieures.

Preuve de c). Puisque f est continue en x₀, elle est définie sur un voisinage dex₀ et donc sur un intervalle sa, br contenant x₀. La continuité de f enx₀ peut alors s’écrire :

@εą0,D sx₀´δ, x₀`δr Ă sa, br; @t P sx<sub>0</sub>´δ, x<sub>0</sub>`δr, |fptq ´fpx₀q| ăε. (4.20) Pour tout h tel que 0ă |h| ăδ, on a alors Fpx₀ `hq ´Fpx<sub>0</sub>q “ <sup>şx</sup><sub>x</sub><sup>0`h</sup>

0 fptqdt d’où |Fpx₀`hq ´Fpx<sub>0</sub>q ´hfpx<sub>0</sub>q| “ ˇ ˇ ˇ ˇ żx0`h x0 ´ fptq ´fpx₀q ¯ dt ˇ ˇ ˇ ˇď |h|ε.

En divisant parh, puis en faisant tendre h vers 0, on voit queF a bien une dérivée enx₀

et que celle-ci vaut f_px_0q.

La proposition 4.17 est maintenant complètement démontrée. Pour vérifier le corol-laire 4.18, il suffit de combiner les relations générales (4.7)–(4.14) avec (4.18) et les points a) et b) de la proposition 4.17.

Remarques 4.19.

1. D’après b) toute variable aléatoire à densité a une fonction de répartition continue. La réciproque est fausse : il existe des lois à fonction de répartition continue sans densité.

2. Par ailleurs si X a une densité, sa fonction de répartition n’est pas forcément déri-vable en tout point. Par exemple la densitéf₂ci-dessus a pour fonction de répartition associée F₂pxq “^?x1_s0,1spxq `1<sub>s1,`8r</sub>pxq(cette écriture condensée signifie queF₂pxq est nul sur _R´, vaut ^?x entre 0 et 1 et reste constant égal à 1 sur s1,`8r). F₂ est dérivable en tout point sauf en 0 et en 1.

La proposition suivante donne une règle pratique permettant de trouver la densité (lorsqu’elle existe !) à partir de la fonction de répartition dans les cas les plus courants. Proposition 4.20.On suppose que la fonction de répartitionF deX estC1 par morceaux au sens suivant : F est continue sur _R et dérivable sur _R privé (éventuellement) d’un ensemble fini de points a1 ă . . . ă an. Sur chacun des intervalles ouverts s ´ 8, a1r, sa_i, a<sub>i`1</sub>r (1ďiăn),sa<sub>n</sub>,`8r, la dérivée f de F est continue. AlorsX a pour densité f. Preuve. Il est commode de poser a₀ :_{“ ´8} et a_{n`1 “ `8}. Sur chacun des intervalles ouvertsI découpés par les a_i, F est dérivable et sa dérivée f est continue. On sait alors quef a une infinité de primitives sur I et que si l’on fixe un α dans I, toute primitive H

def surI est de la forme H_px_{q “} ^şx_αf_pt_qdt_`C, avecC constante. CommeF est l’une des primitives def surI, en prenant H “F et en faisant x“α, on voit que la constante C

vautFpαq. On a donc pour α et xquelconques dans I, Fpxq ´Fpαq “ ^şx_αfptqdt. Fixons

α et prenons x _ě α. Faisons tendre x vers la borne supérieure a_i de I. Comme F est continue (ou dans le cas a_i “ `8, F a une limite 1), l’intégrale généralisée ^şai

α fptqdt

converge et vautFpaiq ´Fpαq(ou 1´Fpαqquand ai “ `8). De même en faisant tendre

αversa_i´1 on voit que l’intégrale généralisée^şai

ai´1f_pt_qdt converge et vautF_pa_{iq ´}F_pa_i´1q

(ou Fpaiqquand ai´1 “ ´8). Finalement soient a etbąa quelconques dans_R. Si a etb

sont dans le même intervalle I on a directement Fpbq ´Fpaq “ ^şb_afptqdt. Sinon on note pa_iqi0ďiďi1 l’ensemble de tous les a_i qui sont dansra, bs et on écrit

Fpbq ´Fpaq “Fpai₀q ´Fpaq ` i1´1 ÿ i“i0 ` Fpai`<sub>1</sub>q ´Fpaiq<sup>˘</sup>`Fpbq ´Fpai₁q “ żb a fptqdt,

en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales généralisées. On a donc toujours

P_pX _{P s}a, b_{sq “}F_pb_{q ´}F_pa_{q “}^ş_a^bf_pt_qdt, ce qui montre que X a pour densité f.

4.3 Lois discrètes classiques

Dans toute la suite du chapitre, on fixe un espace probabilisé_pΩ,F, P_q, on désigne par

X une variable aléatoire sur pΩ,Fq et par P_X sa loi sous P. Cette clause sera implicite chaque fois que nous écrirons dans les définitions « La variable aléatoire X suit la loi . . . si . . . ». Pour X de loi discrète, nous utiliserons la notation :

X_PpΩq:“ txP_R; PpX “xq ą 0u. (4.21) Bien sûr, X_PpΩq est toujours inclus dans l’ensemble des valeurs « possibles » XpΩq et dans la plupart des situations pratiques d’utilisation des variables aléatoires, ces deux ensembles sont égaux5.

5. Ce distinguo entre XpΩq et XPpΩq, à ignorer en première lecture, vient du fait que la loi d’une variable aléatoire réelleX,sous une certaine probabilitéP, peut être discrète sans queX elle-même soit discrète au sens de la définition 4.3.

4.3. Lois discrètes classiques 71

4.3.1 Lois de Bernoulli