Choix d’un type d’incertitudes

Incertitudes additives, sans pond´eration fr´equentielle (gabarit) pour cela, on d´efinit l’ensemble :

Gadd(β_add) =n

G(p) | ∃ e∆, k e∆k∞≤ βadd et G(p) = G_modele(p) + e∆(p)o .

Mod´eliser l’ensemble des transferts qui nous int´eressent par une incertitude de type additif sans pond´eration revient `a chercher l’ensembleGadd(β_add) de plus petite dimension β_addtel que :

∀ τ2 ∈ [0, τ2^max], G(p) = ^k

p(τ₁p + 1)(τ₂p + 1) ∈ Gadd(β_add),

c’est-`a-dire

G(τ2^max) ⊂ Gadd(β_add). (3.7)

Rechercher le plus petit ensemble se traduit ici par le choix deβ_addle plus faible possible.

Montrer queβ_add = kτ₂^max.

Avec l’introduction de cet ensemble de fonctions de transfert, on va remplacer l’´etude de la stabilit´e de tous les syst`emes en boucle ferm´ee constitu´es par le bouclage deK(p) sur G(p) appartenant `a G(τmax

2 ) par

celui de ceux constitu´es par le bouclage deK(p) sur G(p) appartenant `a Gadd(β_add). Du fait de l’inclusion

(3.7), si la stabilit´e est d´emontr´ee pour l’ensembleGadd(β_add), elle le sera pour l’ensemble G(τ2^max).

Que peut-on dire si on d´emontre que la stabilit´e n’est pas assur´ee pour l’ensembleGadd(β_add),

c’est-`a-dire qu’il existe au moins un ´el´ementG(p) ∈ Gadd(β_add) tel que la boucle ferm´ee correspondante est

instable ?

Il est int´eressant de rechercher une interpr´etation g´eom´etrique de l’inclusion (3.7). Pour cela, on va

se placer dans le plan complexe et `a une pulsation donn´eeω repr´esenter les ensembles {G(jω) | G ∈

G(τ2^max)} et {G(jω) | G ∈ Gadd(β_add)}. Le second ensemble admet une interpr´etation g´eom´etrique

simple puisque si

{G(jω) | G ∈ Gadd(β_add)} = {G(jω) | ∃∆(jω), |∆(jω)| ≤ βadd, G(jω) = G_mod(jω) + ∆(jω)} = {G(jω) | |G(jω) − Gmod(jω)| ≤ βadd}

Pour une pulsationω donn´ee, la repr´esentation dans le plan complexe de {G(jω) | G ∈ Gadd(β_add)}

correspond donc au disque de centre G_mod(jω) et de rayon β_add. On a vu que, pour une pulsation ω

donn´ee,{G(jω) | G ∈ G(τmax

2 )} correspond dans le plan complexe `a un arc de cercle (voir figure 3.30).

La figure 3.31 pr´esente cette repr´esentation pour plusieurs pulsations.

De ces figures, il est clair que {G(jω) | G ∈ Gadd(β_add)} est largement plus grand que l’ensemble

{G(jω) | G ∈ G(τmax

2 )}. Par suite, il est plus difficile d’assurer la stabilit´e de tous les syst`emes en

boucle ferm´ee constitu´es par le bouclage de K(p) sur G(p) appartenant `a Gadd(β_add) que d’assurer la

stabilit´e de ceux constitu´es par le bouclage deK(p) sur G(p) appartenant `a G(τ2^max) car on r´eclame que le

syst`eme boucl´e soit stable pour un nombre important d’´el´ementsG(p) qui appartiennent `a Gadd(β_add) sans

appartenir `aG(τ2^max) (ceci est visible sur la figure 3.30).

On voit ici que l’on a int´erˆet `a choisir le plus petit ensembleGadd(β_add) contenant G(τ2^max), donc pour

une pulsationω donn´ee `a rechercher le plus petit disque d´efini par {G(jω) | G ∈ Gadd(β_add)} qui contienne

l’arc d´efini par les{G(jω) | G ∈ G(τ2^max)}. Pour cela, le choix du “centre” du disque est important : il a

´et´e pris ´egal `aG<sub>mod</sub>, ce qui correspond pour une pulsationω donn´ee `a choisir une des extr´emit´es de l’arc.

C’est un choix motiv´e par le fait qu’il correspond au mod`ele qui a servi de base `a la synth`ese du correcteur. Mais, pour ce qui est l’analyse de la robustesse, ce choix est mauvais puisque si le centre du disque avait ´et´e choisi en n’importe quel point de l’arc, le disque obtenu aurait ´et´e plus petit.

D’autre part, si on examine les disques obtenus pour des pulsationsω faibles (voir la figure 3.31), en

−0.5 −0.48 −0.46 −0.44 −0.42 −0.4 −0.38 −0.36 −0.34 −0.32 −0.3 −0.6 −0.58 −0.56 −0.54 −0.52 −0.5 −0.48 −0.46 −0.44 −0.42 −0.4 partie reelle partie imaginaire

Representation pour ω=50 rad/s

G_mod(jω)

β_add

FIGURE 3.30 – Repr´esentation de {G(jω) | G ∈ G(τmax

2 )} et {G(jω) | G ∈ Gadd(β_add)} pour ω = 50 rad/s −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 partie reelle partie imaginaire G mod(jω) basses pulsations hautes pulsations

FIGURE3.31 – Repr´esentation de{G(jω) | G ∈ G(τ2^max)} et {G(jω) | G ∈ Gadd(β_add)} pour diff´erentes

disque. Par contre, si l’on se place aux hautes pulsations, on constate que ce n’est plus le cas. Par suite, l’uti-lisation d’une incertitude additive n’est (relativement) pertinente que sur une gamme de pulsations (basses

pulsations). Cela vient du fait que le rayon des disques est ind´ependant de la pulsationω. L’introduction

d’une pond´eration fr´equentielle va nous permettre de rendre ce rayon d´ependant de la pulsationω et donc

d’obtenir des disques de dimension plus faible.

Incertitudes additives, avec pond´eration fr´equentielle (gabarit) pour cela, on d´efinit l’ensemble :

Gadd(W_add) = {∃ ∆ | k∆k∞≤ 1 et G(p) = Gmodele(p) + W_add(p)∆(p)} .

Mod´eliser l’ensemble des transferts qui nous int´eressent par une incertitude de type additif revient `a cher-cher le plus petit ensembleGadd(W_add) tel que :

∀ τ2 ∈ [0, τ2^max], G(p) = ^k

p(τ1p + 1)(τ2p + 1) ∈ Gadd(W_add).

Rechercher le plus petit ensemble se traduit ici par le choix du transfert W_add poss´edant pour chaque

pulsationω le module |Wadd(jω)| le plus faible possible.

Montrer que

W_add(p) = ^kτ

max 2

(τ1p + 1)(τ₂^maxp + 1)^.

Comme pr´ec´edemment, avec l’introduction de cet ensemble de fonctions de transfert, on va rempla-cer l’´etude de la stabilit´e de tous les syst`emes en boucle ferm´ee constitu´es par le bouclage de K(p) sur G(p) appartenant `a G(τ2^max) par celui de ceux constitu´es par le bouclage de K(p) sur G(p) appartenant `a Gadd(W_add). Nous avons ici :

{G(jω) | G ∈ Gadd(W_add)} = {G(jω) | |G(jω) − Gmod(jω)| ≤ |Wadd(jω)|}.

Par suite, pour une pulsation ω donn´ee, la repr´esentation dans le plan complexe de {G(jω) | G ∈

Gadd(W_add)} correspond donc au disque de centre Gmod(jω) et de rayon |Wadd(jω)|. Contrairement au cas

pr´ec´edent, le rayon du disque d´epend ici de la pulsationω. La figure 3.32 pr´esente pour plusieurs pulsations ω les ensembles {G(jω) | G ∈ Gadd(W_add)} et {G(jω) | G ∈ G(τ2^max)}.

On constate qu’en imposant la contrainte que le centre du disque est `a l’extr´emit´e de l’arc, on obtient pour toutes les pulsations le plus petit disque. L’int´erˆet de moduler la taille de l’incertitude en fonction de la pulsationω apparaˆıt ici clairement.

Maintenant, ce sont les incertitudes multiplicatives qui sont examin´ees.

Incertitudes multiplicatives, sans pond´eration fr´equentielles (gabarit) pour cela, on d´efinit l’en-semble :

Gmul(β_mul) =n

∃ e∆ | k e∆k∞≤ βmul et G(p) = G_modele(p)(1 + e∆(p))o .

Mod´eliser l’ensemble des transferts qui nous int´eressent par une incertitude de type multiplicatif sans pond´eration revient `a chercher le plus petit ensembleGmul(β_mul) tel que :

∀ τ2 ∈ [0, τ2^max], G(p) = ^k

p(τ₁p + 1)(τ₂p + 1) ∈ Gmul(β_mul)

Rechercher le plus petit ensemble se traduit ici par le choix deβ_mulle plus faible possible.

Montrer queβ_mul = 1.

Nous avons ici :

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 partie reelle partie imaginaire

FIGURE3.32 – Repr´esentation de{G(jω) | G ∈ G(τ2^max)} et {G(jω) | G ∈ Gadd(W_add)} pour diff´erentes

pulsationsω −0.4 −0.2 0 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 −6 −4 −2 0 2 x 10⁻³ −5 0 5^{x 10} −3 −6 −4 −2 0 2 x 10⁻⁵ −5 0 5^{x 10} −5 partie reelle partie imaginaire ω =10000 rad/s ω =1000 rad/s ω =100 rad/s

FIGURE3.33 – Repr´esentation de{G(jω) | G ∈ G(τmax

2 )} et {G(jω) | G ∈ Gmul(β_mul)} pour diff´erentes

Par suite, pour une pulsation ω donn´ee, la repr´esentation dans le plan complexe de {G(jω) | G ∈ Gmul(β_mul)} correspond donc au disque de centre Gmod(jω) et de rayon β_mul|Gmod(jω)|. La figure

3.33 pr´esente pour plusieurs pulsationsω les ensembles {G(jω) | G ∈ Gmul(β_mul)} et {G(jω) | G ∈

G(τ2^max)}.

On constate que pour les hautes pulsations, sous la contrainte que le centre est pris `a l’extr´emit´e de l’arc, les disques obtenus sont les plus petits, ce qui n’est pas le cas en basses pulsations. Comme dans le cas de l’incertitude additive, on va voir que ceux-ci sont obtenus pour toutes les pulsations avec l’introduction d’une pond´eration fr´equentielle bien choisie.

Incertitudes multiplicatives, avec pond´eration fr´equentielle (gabarit) pour cela, on d´efinit l’ensemble :

Gmul(W_mul) = {∃ ∆ | k∆k∞≤ 1 et G(p) = Gmodele(p)(1 + W_mul(p)∆(p))} .

Mod´eliser l’ensemble des transferts qui nous int´eressent par une incertitude de type multiplicatif avec pond´eration revient `a chercher le plus petit ensembleGmul(W_mul) tel que :

∀ τ2∈ [0, τ2^max], G(p) = ^k

p(τ₁p + 1)(τ₂p + 1) ∈ Gmul(W_mul).

Rechercher le plus petit ensemble se traduit ici par le choix du transfert W_mul poss´edant pour chaque

fr´equenceω le module |Wmul(jω)| le plus faible possible.

Montrer que

W_mul(p) = ^τ

max

2 p

τ₂^maxp + 1^.

Nous avons ici :

{G(jω) | G ∈ Gmul(β_mul)} = {G(jω) | |G(jω) − Gmod(jω)| ≤ |Wmul(jω)G(jω)|}.

Par suite, pour une pulsation ω donn´ee, la repr´esentation dans le plan complexe de {G(jω) | G ∈

Gmul(β_mul)} correspond donc au disque de centre Gmod(jω) et de rayon |Wmul(jω)G(jω)|. En notant

queW_mul(jω)G_mod(jω) = W_add(jω), on obtient donc les mˆemes disques que ceux obtenus dans le cas

d’une incertitude additive avec pond´eration fr´equentielle.

En r´esum´e On constate que l’utilisation d’incertitudes additives sans pond´eration fr´equentielle est adapt´ee `a la description d’incertitudes en basses pulsations alors que l’utilisation d’incertitudes multiplicatives sans pond´eration fr´equentielle est adapt´ee `a la description d’incertitudes en hautes pulsations⁸. L’introduction dans les deux cas d’une pond´eration fr´equentielle permet de d´ecrire des incertitudes sur toute la gamme de pulsations. De plus, le choix du mod`ele nominal (“centre”) est important sur la finesse de la description de l’incertitude : ici, le mod`ele nominal G_mod qui apparaˆıt “naturellement” n’est pas le plus adapt´e. La description de l’incertitude ´etant faite, la stabilit´e du syst`eme boucl´e peut ˆetre maintenant analys´ee.