Choix du modèle discret

Un modèle discret de croissance dépend d’un pas de temps qui est lié au mode de reproduction de l’espèce considérée (par exemple, les saisons pour les coquelicots) ou du protocole expérimental (par exemple, la mesure d’une population d’éléphants réalisée tous les ans). Par la suite, le pas de temps sera simplement appelé « temps » et sera noté n. Ce n’est bien sur qu’une convention et le pas de temps pourra être noté m, p, t... dans d’autres contextes.

La grandeur mesurée à chaque pas de temps peut être un nombre d’individus dans une population mais aussi un masse, une taille...

Expérimentalement, on va donc avoir accès à des couples de points (temps ; gran-deur mesurée). Il faut ensuite déterminer quel modèle peut décrire le mieux possible le comportement de système dynamique.

Soit Gn la grandeur mesurée au temps n, il existe principalement trois modèles pour modéliser l’évolution de Gn :

1. La suite arithmétique, d’équation de récurrence Gn+1 = r + G_n et de solution explicite Gn = G₀+r×n avec G0 la valeur de la grandeur au début de l’expérience et r la raison de la suite.

2. La suite géométrique, d’équation de récurrence Gn+1 = r × Gn et de solution explicite Gn = G₀× rn avec G0 la valeur de la grandeur au début de l’expérience et r la raison de la suite.

3. La suite arithmético-géométrique, d’équation de récurrence Gn+1 = a× Gn + b et de solution explicite Gn = an(G₀− e) + e avec G0 la valeur de la grandeur au début de l’expérience, a le facteur multiplicatif, b le facteur additif et e = b

1−a la valeur d’équilibe atteinte lorsque n tend vers +∞ et que −1 < a < 1.

On note ici les termes d’une suite par la lettre G alors qu’ils étaient préalablement notés x dans la première partie du cours. Une autre notation courante est U. La manière de noter une suite n’a pas d’importance. La notation G a été choisie ici pour souligner le fait que G est une grandeur physique mesurée.

Par ailleurs, le fait qu’on ne décrive ici que les suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques ne signifie pas qu’il n’existe que 3 types de suites. Dans la première partie du cours, vous avez déjà rencontré un autre type de suite : la suite de

Fibonacci. Cette suite a d’ailleurs, à l’origine, été conçue pour modéliser la croissance d’une population de lapins.

Le choix d’un de ces modèles peut se faire de deux manières : d’après le contexte ou d’après des mesures expérimentales.

8.3.1.1 Modélisation d’après le contexte

La description du fonctionnement du système biologique peut parfois suffire à en déduire le modèle mathématique adapté.

◦ Si le contexte précise un apport ou une perte constante de la grandeur étudiée, alors le modèle à privilégier est la suite arithmétique.

◦ Si le contexte précise un gain ou une diminution proportionnelle à la grandeur étudiée (souvent exprimé en pourcentage, en fraction ou en taux), alors le modèle à privilégier est la suite géométrique.

◦ Enfin, si le contexte précise un gain ou une diminution proportionnelle à la gran-deur étudiée et un apport ou un perte constant, alors le modèle à privilégier est la suite arithmético-géométrique.

8.3.1.2 Modélisation d’après des données expérimentales

La plupart du temps, on ne connait pas suffisamment le système pour choisir sim-plement le modèle mathématique adéquat et déterminer ses paramètres. Des données expérimentales sont alors très utiles.

En premier lieu, il est important de développer une intuition sur le modèle qui pourrait expliquer les valeurs expérimentales mesurées. Pour cela, il est pertinent de calculer les valeurs de la différence Gn+1−Gnet du quotient Gn+1

Gn . En effet, si Gn+1−Gn

semble constant, alors il s’agit probablement d’une suite arithmétique. Si Gn+1

Gn semble constant, alors il s’agit probablement d’une suite géométrique.

Attention cependant, calculer ces valeurs ne fournit qu’une indication sur le ca-ractère arithmétique ou géométrique du modèle et n’est, en général, pas suffisant pour déterminer avec précision les paramètres du modèle (notamment la raison de la suite). L’étude graphique permet de déterminer le modèle et ses paramètres. Dans ce qui suit, nous allons nous intéresser à l’évolution d’une grandeur dans trois cas de figure. Cas 1 (ronds bleus)

Toutes les formes explicites des suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques dépendent du pas de temps n, il est donc judicieux de représenter graphi-quement Gn en fonction du temps (figure 8.4).

(a) (b)

Figure8.4 – Évolution de Gn en fonction de n pour le cas 1.

Dans la figure 8.4(a), on observe une relation affine entre Gn et n de la forme G_n = A· n + B. Cette équation est caractéristique de la solution explicite d’une suite arithmétique.

Un moyen simple d’obtenir les paramètres A et B de ce modèle est de tracer une droite qui passe le plus près possible des points expérimentaux (figure 8.4(b)), puis de choisir deux points P1 et P2 sur cette droite et de lire sur le graphique leurs coordonnées (x₁; y₁) pour P1 et (x2; y₂)pour P2. On obtient alors les paramètres du modèle :

◦ la pente : A = y2−y1

x2−x1

◦ l’ordonnée à l’origine : B = y2 − A · x2 = y₂ − ^y2−y1

x2−x1.· x2. Un résultat similaire aurait été obtenu avec le point P1.

Par comparaison avec la solution explicite d’une suite arithmétique, Gn = G₀+ r× n, nous obtenons G0= B et r = A .

Cas 2 (carrés verts)

Dans un premier temps, on représente graphiquement l’évolution de la grandeur en fonction du temps (figure 8.5(a)). L’évolution de la grandeur Gn en fonction du temps ne semble pas linéaire. Par contre, Gn évolue très rapidement avec n.

Comme Gn semble augmenter très vite, on peut s’intéresser à la variation de la grandeur Gn entre deux temps successifs (Gn+1− Gn) et comparer cette différence à la grandeur Gn elle-même, ce qui donne la représentation graphique de la figure 8.5(b).

On observe une relation linéaire entre Gn+1− Gn et Gn de la forme Gn+1− Gn = A· Gn. Ceci est caractéristique d’une suite géométrique. On trace alors une droite (en pointillés verts sur le graphique de la figure 8.5(c)) qui passe le plus près possible des points expérimentaux.

Pour obtenir le paramètre A, on choisit un point P sur cette droite et on lit sur le graphique ses coordonnées (xP; y_P). On obtient alors :

◦ la pente : A = ^yP

(a) (b)

(c)

Figure 8.5 – Évolution de Gn en fonction de n (a), puis de Gn+1− Gn en fonction de G_n (b) et (c) pour le cas 2.

Nous connaissons maintenant le paramètre A de l’équation Gn+1− Gn = A· Gn. On en déduit que Gn+1 = (A + 1)· Gn. Par comparaison avec l’équation de récurrence d’une suite géométrique, Gn+1 = a× Gn, nous avons donc a = A + 1.

Pour obtenir la valeur G0, qui intervient dans la solution explicite d’une suite géomé-trique, Gn = G₀× an, on utilise les valeurs numériques d’un des points expérimentaux, de préférence un point qui se situe sur la droite verte. Par exemple, avec le k-ième point, G_k = G₀× ak d’où G0 = ^Gk

ak. Cas 3 (triangles rouges)

Comme précédemment, on représente graphiquement l’évolution de la grandeur en fonction du temps (figure 8.6(a)). L’évolution de la grandeur Gn en fonction du temps ne semble pas linéaire, mais évolue assez rapidement avec le temps.

Ici encore, on peut s’intéresser à la variation de la grandeur Gn entre deux temps successifs (Gn+1− Gn) et comparer cette différence à la grandeur Gn elle-même, ce qui donne la représentation graphique de la figure 8.6(b).

(a) (b)

(c)

Figure 8.6 – Évolution de Gn en fonction de n (a), puis de Gn+1− Gn en fonction de G_n (b) et (c) pour le cas 3.

On observe une relation affine entre Gn+1 − Gn et Gn de la forme Gn+1 − Gn = A· Gn+ B. Ceci est caractéristique d’une suite arithmético-géométrique. On trace alors une droite (en pointillés rouges sur le graphique de la figure 8.6(c)) qui passe le plus près possible des points expérimentaux.

Pour obtenir les paramètres A et B, on choisit deux points P1 et P2 sur cette droite et on lit sur le graphique leurs coordonnées (x1; y₁) pour P1 et (x2; y₂) pour P2. On obtient alors :

◦ la pente : A = ^y2−y1

x2−x1

◦ l’ordonnée à l’origine : B = y2 − A · x2 = y₂− ^y2−y1

x2−x1 · x2. Un résultat similaire aurait été obtenu avec le point P1.

Nous connaissons maintenant les paramètres A et B de l’équation Gn+1 − Gn = A· G_n+ B. On en déduit que Gn+1 = (A + 1)· Gn + B. Par comparaison avec l’équation de récurrence d’une suite arithmético-géométrique Gn+1 = a× Gn+ b, nous avons donc a = A + 1 et B = b.

arithmético-géométrique, Gn = (G₀ − e) × an + e avec e = b

1−a, on utilise les va-leurs numériques d’un des points expérimentaux, de préférence un point qui se situe sur la droite rouge. Par exemple, avec le k-ième point, Gk = (G₀ − e) × ak + e d’où G₀= ^Gk−e

ak + e.