Choix d’une méthode de résolution

Nous avons considéré les méthodes de résolution suivantes:

1) la méthode des éléments finis en voliune;

2) la méthode des différences finies;

3) la méthode des éléments finis de surface avec développement multipolaire et “panel clus- tering” ;

4) et la résolution par transformée de Fourier rapide.

Les deux premières méthodes souvent utilisées dans les problèmes d’écoulement; et nous n’avons fait que rappeler brièvement dans la suite leurs avantages et inconvénients principaux lorsqu’elles sont appliquées au problème d’écoulement en milieu géologique. Les deux dernières méthodes seront par contre étudiées plus profondément afin de déterminer leurs possibilités d’application au problème d’écoulement en milieu géologique. La comparaison des méthodes est clôturée par une discussion.

IV.2.1 Méthode des éléments finis (F.E.M. 3D)

Le principal avantage de cette méthode réside dans sa flexibilité et sa capacité à traiter des milieux à géométrie complexe. La décomposition du domaine en éléments simples (trian­ gles, rectangles, quadrilatères, ... à 2D ou prisme, tétraèdre, ... à 3D) permet une descrip­ tion fine de la géométrie du domaine; elle permet également de raffiner la maillage aisément dans les régions à fort gradient de potentiel. La méthode est donc efficace, par exemple, pour la résolution d’écoulement radiaux (au voisinage de puits). Elle a été appliquée notam­ ment dans le contexte du stockage de déchets radioactifs dans le code MELODIE du CEA [Bourgeois et al., 1991] pour un milieu fissuré 2D où des éléments à deux noeuds (segments) sont utilisés pour simuler des zones minces à forte perméabilité (fissures). Toujours à 2D, on trouve aussi le code FEMWASTE/FEMWATER. A 3D, les codes sont plus rares; on trouve le code WATERFLOW [Larabi and De Smedt, 1994] à éléments hexaédriques.

Nous pouvons mentionner deux inconvénients de la méthode des éléments finis:

1. la décomposition du domaine en éléments simples et l’assemblage de la matrice sont lourds à programmer (par rapport à la méthode des différences finies). Des codes de discrétisation existent mais ils sont en général interactifs, c.à.d. qu’ils demandent l’inter­ vention de l’utilisateur pour le placement de certains éléments (la procédure est difficile­ ment automatisable);

2. le nombre de noeuds voisins à considérer lors de la discrétisation est plus important que dans la méthode des différences finies. Pour un tenseur de conductivité diagonal et symétrique, la matrice obtenue après discrétisation est symétrique et possède 9 diagonales non nulles à 2D pour des quadrilatères et 27 diagonales non nulles à 3D pour des hexaèdres [Larabi and De Smedt, 1994] (par rapport à 5 et 7 diagonales non nulles respectivement pour la méthode des différences finies).

IV.2.2 Méthode des différences finies (F.D.M. 3D)

Le milieu géologique étant divisé en couches, des discontinuités de la conductivité hydraulique apparzdssent. Rigoiureusement parlant, les dérivées de la conductivité dans V (^K ^= Q

ne sont pas définies aux discontinuités et nous devons considérer plutôt un problème possédant des soiurces superficielles aux surfaces de discontinuité. Pour éviter cet inconvénient, l’équation de Poisson est intégrée sm: un volume élémentaire Vi de surface Si centré sur chîique noeud du maillage

^ n i^K dS =

J

Qdf

C’est cette dernière expression qui est utilisée pour la discrétisation en différences finies en appliquant des formules approchées pour le calcul des dérivées V (j). Ce cas particulier de discrétisation par différences finies porte le nom de discrétisation par volumes finis [Fletcher, 1991, Peyret and Taylor, 1990].

La méthode des différences finies présente comme grand avantage une discrétisation aisée (surtout pour des domaines réguliers) c.à.d. un ordonnancement très systématique des noeuds et un nombre faible de noeuds voisins à considérer. Dans le cas d’un ordre lexicographique et en considérant les 6 premiers voisins (à trois dimensions pour un tenseur de conductivité diagonal) on obtient une matrice, heptadiagonale c.à.d. une matrice fort creuse.

La matrice obtenue est symétrique et définie positive, ce qui est im point fort avantageux car beaucoup de méthodes itératives sont basées sm: cette hypothèse [Axelsson, 1994).

En outre, une des spécialités du laboratoire d’accueil s’avère être la résolution de ce genre de problème et des méthodes de résolution optimisées ont été mises en oeuvres [Notay et al., 1995]. Elles sont basées sur le préconditionnement du système à l’aide de la méthode de factorisation incomplète (Voir paragraphe IV.4.3). Le système préconditionné est alors résolu par la méthode du gradient conjugué. Le coût total en temps de calculs de la méthode a été estimé proportion­ nel à où N est le nombre total de noeuds dans le domaine. Cette estimation provient du coût pour la méthode du gradient conjugué {^N) et du coût dû au préconditionnement

{-i-y/K où K est le conditionnement spectral c’est-à-dire , k = avec Xmax et Amin les valeurs propres maximum et minimum de la matrice préconditionnée. De plus, k h~^ (cf.

[Axelsson, 1994, p.433] et donc y/ïz -r

La méthode a été parallélisée sur machine MIMD (8 IBM RISC 6000/360) en se basant sur une division du domaine en sous domaines. Chaque processeur traite un sous-domaine partic­ ulier mais des échanges d’informations entre processeurs sont nécessaires pour le traitement des noeuds communs à deux sous-domaines voisins. Les coûts en stockage des éléments de matrice ont été évalués pour des problèmes de Poisson avec un tenseur Ksymétrique et diagonal. Dans ce cas, le coût en stockage est :

/k

• sm architectinre parallèle (MIMD) -rl2l —haj où k = nombre de noeuds par côté (pour un cube de n noeuds de côté); p est le nombre de processems par ligne, cà.d. ^

processeurs = p^. Dans notre cas p = 2 et ^ processeurs = 8. On remarque la présence du terme “-f-a” sous l’exposant; ce terme provient du coût supplémentaire dû au double stockage de noeuds aux interfaces dans deux processeurs “voisins”. •

On peut citer deux inconvénients qui résultent de l’utilisation de la méthode des différences

finies. __

Si nous voulons garder une structure heptadiagonale {K diagonal) poiu: la matrice du système, nous devons avoir le même nombre de noeuds le long d’une ligne de coordonnées pour toute valeiu: de et entre les valemrs et ^moi Cela revient à considérer dans le cas de coordonnées cartésiennes un domaine parallélépipédique. Quand ce n’est pas le cas, un moyen pour remédier au problème consiste à introduire des noeuds fictifs pour compléter les lignes déficientes en noeuds. On introduit alors des équations suplémentaire

= 4>o donnant lieu à un élément diagonal unité dams la matrice du système et à un terme de source qui peut être choisi nul par exemple. L’influence de ces équations supplémentaires est la suivante: le nombre d’équations et donc la taille de la matrice est malheureusement augmentée. Il faut donc veiller à ce que le nombre de noeuds fictifs ne soit pas prohibitif.

Le deuxième inconvénient de la méthode des différences finies est une discrétisation moins précise des surfaces de séparation dans le domaine, ou des surfaces externes, quand celles-ci ne sont pas planes horizontales ou verticales. Dams le cas contraire, la forme véritable de la surface est représentée par une smrface en échelons.

Les codes MODFLOW et NEWSAM sont deux exemples de codes d’écoulement hydrogéologiques qui utilisent la méthode des différences finies.

IV.2.3 Méthode des éléments finis de surface (B.E.M.)

Cette méthode se base sur la théorie du potentiel qui revient à exprimer la solution générale du problème V = Q sous la forme d’une somme d’intégrales de smrface des potentiels simple et double couche. Cette méthode a été appliquée avec succès en électrostatique. Elle est basée siu: la fonction de Green du problème

1 1

4 7t p{x,y) p{x,y) = {det Kij)

1/2

OU _{k] =}

en supposant que det Kij ^ 0.

• Si K est isotrope et si on suppose n’avoir que des C.L. de Neumann, la solution s’écrit

---^' = solution pcirticulière

-f- / G{r,rs)cT{rs)drs G{r,rs) p{rs) dxg

JTe k

intégrale sur la surface intégrales sur les sur­ extérieure feces internes

(4.2)

où f G Q \ {Le, Ffc} V/c et Q est le domaine considéré. Il est limité extérieurement par une surface Fg. A l’intérieur du domaine, des surfaces internes F*, sont introduites. Elles représentent des limites séparant des sous-domaines de propriétés différentes (dams notre cas, il s’agira de limites entre couches géologiques).

On introduit ainsi une “densité de charge” inconnue <r(rs) sur Fc et p(ra) sur F*; (comme en électrostatique).

Sur Fe, on introduit les C.L. (de Neumann) où fo G Fg et sur les Fjt,

on K (ro )

on introduit les conditions de continuité des courants en tenant compte des conditions de saut du potentiel simple couche [Greengaxd and Moura, 1994].

â£: + î

f€iï®\n où fo € Ffc. yjii ix d<f) dn-d(j) dn₊ = lim f-+fo f € n = lim f-+fo

En tenant compte des conditions aux limites et des conditions de continuité, le système à résoudre est finalement

dui ^{G{ri,rs)u{ra)drs} u{rj) 2Xi u{rj) _ gin) . 2 K{fi) d4>Q{rj) dn si ri G surf, intérieures si fi G siurf. extérieure (4.3) Dans la somme de l’équation (4.3), Fq = Fg ; les constantes Xi sont définies par

Ai = ^{Kj-i - Kj}

Ki-i + Ki

et le terme générique u{r) est utilisé pour la “densité de charge” sur la surface extérieure (Fg) et sur les surfaces intérieures (Fjt). On résout l’équation précédente (4.3) et on

N

obtient la valeur de u(fj), Vfi G IJ Ff. Puis on en tire <f>{f) Vf G fl à partir de la

t=o

définition de (f>{f) donnée par l’équation (4.2).

• Si on veut considérer également le cas de conditions de Dirichlet, il faut introduire un terme de potentiel double couche à ajouter à la définition (4.2) de (f>{f).

= <l>Q{r) + [ G{r,rs) a (rs) + [ JrN JT dG{r,rs) rn dn_r. ^{H{rs)drs + G{r,rs)p{rs)drs} (4.4) i=i

où F^ et Ff sont les portions de Fg où sont imposées des conditions aux limites de Neu­ mann et des conditions aux limites de Dirichlet respectivement. Même si cela complique les expressions, l’équation intégrale obtenue est similaire à l’équation (4.3). C’est une équation de Fredholm de seconde espèce qui s’écrit formellement

Au = Au + f (4.5) où A est une constante; A est un opérateur intégral; / est un terme de source et u est l’inconne (c’est-à-dire le terme générique pour les densités de charge ct, p et p).

• Si nous supposons avoir aiïaire à une conductivité tensorielle, la généralisation est im­ médiate. On trouve pour un potentiel double couche uniquement et une condition de Dirichlet [Sabelfeld, 1991, p.92]

= 9{y) y e dû ; L <f){x) = 0 X G fi ;

2 7r/i(î/) =[p(y,y')] ^ n{y') dy' + g{y)

pour le potentiel double couche suivant

On remplace donc simplement dans les formules obtenues pour K scalaire

d d d d

dn dn{fo) duf, dn{fs)

• Le problème global se limite donc à la résolution d’ime équation de Predholm que l’on discrétise pour obtenir le système linéaire d’équations

Q

Xui = ^ ' Aij Uj fi i = 1,2,..., 9 (‘^•6) j=i

où Aij est une matrice q x q pleine et ne portant que sur les noeuds de surface. Même si le nombre de noeuds de surface est considérablement infériein: au nombre de noeuds en volume, la matrice Aij reste néanmoins une matrice de grandes dimensions. Etant donné que cette matrice est pleine, la méthode des éléments finis de surface nécessitera a priori

1) une coût important en temps de calcul; 2) un espace mémoire important.

La multiplication matricielle usuelle Uj Aij Uj requiert 0{q'^) opérations arithmétiques. C’est un gros inconvénient de la méthode B.E.M. par rapport aux méthodes classiques F.D.M. (par exemple) donnant des matrices creuses.

Des recherches récentes [Hackbush and NowaJk, 1989] ont permis de pallier cet inconvénient Elles se basent sur le morcellement d’une surface en différents “panneaux” (“panels”) regroupés dans une structure hiérarchique (“panels cluster”). La contribution en un point donné de différents panels est dépendante de la distance entre le point où est cal­ culée la contribution et le “panel”. Ceci permet d’envisager des approximations dans les intégrales de l’équation (4.3), ou plus généralement dans l’équation (4.5) pour les con­ tributions “lointaines”. Cette méthode de “panel clustering” se retrouve également dans les problèmes d’électrostatique [Nabors and White, 1991].

On définit les différents “pannels” 7ri,7T2,... , ils forment des “clusters” de niveau 0 : Tq. On définit à partir de plusiems Tq des “clusters” de niveau 1 : Ti et ainsi de suite jusqu’à couvrir les surfaces sur lesquelles on désire calculer les intégrales de (4.5).

Une structure en arbre binaire est ainsi définie (voir figure).

A chaque cluster r est associée une sphère unique B{t) de centre Zr et de rayon p(r);

p{t) est le rayon minimum tel que la sphère B{t) contienne l’entièreté du panel t. Un cluster T est appelé cluster admissible par rapport à un point de contrôle X{ (point où est calculé la contribution) s’il existe un e faible tel que

\ k{x,ÿ) - km{x,ÿ) \ < e ^ _ Vÿ e r et avec x = xt (4.7)

I a: - y r

poin: le noyau intégral k{x,ÿ) apparaissant dans l’équation (4.5) où A = f k{x,ÿ)... dÿ; tel que | k{x,ÿ) |< c | ï — ÿ et pour un développement multipolaire km{x,ÿ) d’ordre

m.

Dans [Hackbush and Nowak, 1989] les auteurs font l’hypothèse que pour un e donné et un développement d’ordre m, il existe 0 < y < 1 tel que la condition

p{x) < T] dist{xi,T) (4.8) implique que r est un cluster admissible par rapport à Æj (où dist{xi,T) est la distance entre le point de contrôle Xi et le centre de gravité du cluster t).

L’idée générale de la méthode est la suivante: les intégrales de surface apparaissant dans les équations (4.4) et (4.5) et que nous notons S, sont décomposées en une union de panels et de clusters

5 = 7Ti U 7T2 U ... -Kp U Tl U T2 U ... U Te

OÙ les TTt sont les panels “proches” du point de contrôle x et les clusters Tj (qui sont constitués de l’union de beaucoup de panels) sont des clusters admissibles par rapport à

X, c’est-à-dire, des clusters “éloignés” de x.

Sur les panels TTj, les intégrales des équations (4.4) et (4.5) sont calculées exactement, tandis que sur les clusters T{ un développement multipolaire du noyau intégral est utilisé autom d’un centre ÿo de T{

k{x\ ÿ) ~ km{x, ÿ) = Yl Kt{x\ ÿo) ipt{ÿ) (4.9)

t

où ipt{y) est une fonction indépendante de x et du centre ÿo et £ représente l’ensemble des indices du développement multipolaire et m son ordre. On peut donc écrire les intégrales de surfaces comme suit:

f k{x]y)u{y)dy

j

k{x;y)u{y) dy+ Y,J2' '^liv)’^iv) dy (4.10)

•>S JlTi ^ JTj

Les intégrales sur Tj étant indépendantes de x, elles peuvent être calculées dans une première phase. Ayant calculé ces intégrales poiu: tous les indices i (ce qui donne lieu à l’évaluation de 0{m^) intégrales où m est l’ordre du développement multipolaire et d = 3

à trois dimensions) et tous les clusters tj, l’évaluation de l’expression (4.10) peut être réalisée pom tout x.

En utilisant l’approximation (4.10) ainsi que la structure en arbre binaire des panels (les contributions dues aux clusters sont calculées à partir des contributions des clusters de niveaux inférieurs qui les constituent), Hackbusch et Nowak [Hackbush and Nowak, 1989] obtiennent une méthode permettant de réaliser le produit matrice-vectem: Aij Ujde l’équation (4.6) en seulement q) opérations.

Un des paramètres critiques de la technique de panel clustering est l’ordre du développement multipolaire m. Il s’agit en effet de déterminer la valeur de m dans l’équation (4.7) pour que I k{x,y) — km{x,y) \ soit inférieur à une erreur donnée pour x fixé et définissant un cluster (regroupant l’ensemble des ÿ tels que l’équation (4.7) est satisfaite) de dimension appréciable. En effet, si les r admissibles sont de petites dimensions, il faudra considérer un nombre prohibitif de panels ce qui alourdira les calculs.

Hackbusch et Nowak démontrent que r/ = dans (4.8). Si nous voulons dans (4.7) que

e ~ 1% et si nous supposons que s = 1, nous obtenons à partir de (4.8) :

Cir) ^ (_LY'"

dist{xi,Zr) ~ VlOO/

^ p{t) < (100)-^/”^ \xi-Zr\ (4.11) En considérant \ Xi — Zr |= 1000m dans (4.11), on obtient pom: :

m = 2 p(r) < 100 m m = 3 p(r) < 215,4 m m = 4 p{t) < 316,2m

c.à.d. qu’il faut discrétiser la surface avec des panels ayant une superficie au mieux comprise dans une sphère de rayon p(r) = 100 m pour m = 2.

Prenons comme exemple un domaine géologique de 10 x lOkm^ de superficie et 1km,

de profondein:. => Stot = 4 x 10 x Ifcm^ -I- 2 x 10 x lOfcm^ = 240 A:m^. On considère approximativement des panels sous forme de disques de superficie 7r(100m)^. Dès lors. le nombre minimum de panels vaut:

_ Stot

“ 7

t

(100)2

^7.640

Ce même problème traité par la méthode de discrétisation en différences finies conduirait par exemple à des mailles 100 m x 100 m x 50 m soit 200000 noeuds dans tout le domaine et 2 X 99 X 99 -I- 4 X 19 X 99 = 27.126 cellules rectangulaires en surface.

Mais dans la méthode de panel clustering, on amra environ

7.540 panels pour les contributions éloignées (développement d’ordre m = 2; au-delà de 1000m)

100 panels pour les contributions proches (au voisinage de Xj; en deçà de 1000m)

et la méthode sera efficace si l’intégration siu: les panels du champ proche (noyau intégral singulier) et sur les panels du champ lointain (ordre m = 2) est efficace.

On peut considérer un nombre plus faible encore de panels en augmentant l’ordre multi­ polaire m; mais au-delà de m = 2 les expressions de km{x,ÿ) deviennent très lourdes. La méthode B.E.M. à laquelle est appliquée la technique de “panel clustering” possède donc trois principaux avantages: 1) elle peut être rapide dans le calcul des densités sur les surfaces intérieures et extérieures du domaine; 2) elle utilise un espace mémoire limité et; 3) elle s’adapte à n’importe quelle géométrie de siurface.

Néanmoins, 1) la réalisation informatique de la gestion des panels est complexe, de plus le calcul du premier terme du second membre de l’équation (4.10) demande l’utilisation de techniques spéciales d’intégration du noyau k{x,ÿ) près de sa singularité ï = ÿ; 2) des conditions aux limites de Dirichlet ne sont envisageables que par l’introduction d’un potentiel double couche (cf. équation (4.4)) ce qui augmente la complexité des calculs et; 3) le système à résoudre (cf. équation (4.6)) est non symétrique et implique l’utilisation de techniques spéciales de résolution.

IV.2.4 Méthode F.F.T. 3D

La dernière méthode que nous avons envisagée poiu: résoudre le problème d’écoulement sta­ tionnaire V(ÜT V (^) = Q est la méthode des sources superficielles conbinée à une résolution par transformée de Fourier rapide (Fast Foiurier Transform) tridimensionnelle.

a. Méthodes des sources superficielles

Le milieu géologique est supposé consititué d’un empilement de couches de conductivités hy­ drauliques {K) constantes et les surfaces de séparation sont des siurfaces de discontinuité de la conductivité. Dans la méthode des sources superficielles, les effets dûs à la discontinuité de la conductivité hydraulique sont pris en compte à l’aide de sources qui s’ajoutent au terme de source de l’équation initiale et appelées sources superficielles. Pour une conductivité hy­ draulique K isotrope l’équation d’écoulement devient

V(XV</)) = Q que nous pouvons écrire

A(/,-vy-^ = —

^ K K

en utilisant la loi de Darcy et en posant Y = In K. L’équation d’écoulement s’écrit encore A* + V (i) I cax V

(1)

= -^VK =

Si K est constant pax région et que la transition d’une région à l’autre est abrupte, alors

= (4-12)

où H{f) = 1 si f G Vj ; Vf étant le domaine de la i couche

0 si f ^ Vt

Si n représente la normale à la surface de séparation entre la couche i et la couche j, n

étant orientée dans le sens i vers j

V j = - n {fs) 62{f - fs) (4.13) où Ô2{f) est la fonction de Dirac de surface, et fs un point quelconque appartenant à la surface de séparation i,j. L’équation d’écoulement s’écrit donc

^ <^2(f-rr,) (4.14) ^ ' s.i. r< \^i /

où i rt somme siu: l’ensemble des surfaces internes de discontinuité du domaine. Au lieu de résoudre le problème d’écoulement dans chaque couche de conductivité constante tout en veillant à respecter les conditions de continuité aux interfaces

(f>i = (f)j (continuité de la pression)

d(j)' dô

-Ki-^ = -Kj-^ (continuité du débit normal)

on ■' on

Nous pouvons résoudre l’équation d’écoulement dans la globalité du domaine en intro­ duisant les sources superficielles de l’équation (4.14). Néanmoins, l’intensité de ces sources dépend de la vitesse de Darcy normale aux smfaces de discontinuité (fp, ) qui est une incon­ nue du problème. Il convient donc d’obtenir une évaluation initiale de (fp, ) et de résoudre l’équation (4.14) itérativement.

Une première estimation de (rr<) peut être obtenue en résolvant l’équation (4.14) où les effets des discontinuités de la conductivité hydraulique sont négligés, c.à.d. résoudre

= (415)

avec les conditions aux limites imposées sur les siufaces extérieures. Le but est donc de résoudre le problème (4.15) à l’aide d’une méthode peu coûteuse en temps de calcul et qui nous fournira une approximation (même grossière) de 9n(^r<)- Deux possibilités se présentent:

1) si la méthode utilisée pour résoudre l’équation (4.14) en tous les points du domaine géologique n’est pas trop coûteuse, on l’utilisera pour résoudre l’équation(4.15) et obtenir une estimation initiale de Çn (rr<);

2) sinon, vu que la solution de l’équation (4.15) ne doit être connue que siu: les surfaces de séparation F^, on résoudra l’équation (4.15) à l’aide d’équations intégrales de surface.

La méthode de résolution du point 1) est traitée plus en détail dans le paragraphe b. Nous développons ici la méthode du point 2).

Si fo est un point intérieur au domaine quelconque T>, on pose G(f,fo) =---—z— 4 7T I r - ro I solution de l’équation AG{f,fo) = 5(f,fo). Dès lors, nous avons l’égalité

f df [</)(f) Ar G{f, fo) - G{f, fo) A 4>{f)] = 0(fo) - [ G{r, fo) df

Jv Jv

c.à.d. en utilisant le théorème de Green, où S est la surface extérieure du domaine V et fis la.

normale extérieiure à S ,

{rs,ro) - G{rs,ro)-^ {rs)

dns dns ^{dS (4.16)}

Nous prenons la dérivée normale de l’équation (4.16) par rapport à tq et obtenons 9no(’'o) =

-K{fo)-^ où -^ = ^o-Vro

dno dno qnoiro) = -Jv 9G(f,fo) K{n) dno d'^G{fs,ro) dno dns K{r)

il

dno dns dS (4.17)

Nous appliquons les équations (4.16) et (4.17) à une couche particulière du domaine géologique, couche de volume Ve limitée par une surface Se = Sf U U Ff_i (voir le graphique suivant qui représente une coupe verticale du domaine géologique)

Nous obtenons

'ï'(ro) = 5(ro) + A{ro,rs)'^{rs) drs Vro G Se

JSt ir ' (4.18) ; A(ro,r5) = ^dno {rs,ro) -K{fo)

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