Choix de l’incrément de temps

Le schéma d’intégration temporelle de Verlet-vitesse utilisé est un schéma explicite qui est conditionnellement stable. La condition de stabilité, condition classiquement appelée condition CFL (condition de Courant-Friedrichs-Lewy (Courant et al., 1967)), impose de ne pas dépasser une valeur maximale d’incrément de temps (appelé pas de temps critique) liée à la pulsation propre la plus élevée du domaine étudié. Le calcul de cette pulsation propre est très coûteux et n’est jamais réalisé dans la pratique. Seule une évaluation du pas de temps critique est proposée (déduite des répartitions de masses et de raideurs). Cette évaluation est agrémentée d’un coefficient de sécurité, choisi par l’utilisateur, pour garantir la stabilité du schéma d’intégration. Dans la DEM le pas de temps critique, 𝛿𝑡𝑐𝑟 est évalué grâce à la

relation : 𝛿𝑡 ≤ 1 𝐾𝑆× 2𝜋√min 𝑚𝑖 𝑘𝑖 = 1 𝐾𝑠× 𝛿𝑡𝑐𝑟 (5.1)

avec 𝐾_𝑠 le coefficient de sécurité et 𝑚_𝑖 et 𝑘_𝑖 respectivement la masse et la raideur d’une interaction équivalente (soit d’un lien, soit d’un contact). L’interaction équivalente est une liaison masse-ressort entre les deux éléments isolés, l’un étant fixé tandis que le second est en oscillation libre. La calibration de 𝐾_𝑠 permettant d’assurer la condition de stabilité du schéma d’intégration est empirique et fonction de la physique modélisée (Cambou et al., 2009). De ce fait, sa valeur doit être déterminée expérimentalement. De plus, une fois la stabilité assurée, les simulations doivent également convergées. En d’autres termes, 𝐾_𝑠 doit être suffisament fort pour qu’une augmentation de ce dernier n’entraîne plus de modification des résultats des simulations de coupe (modifications des efforts de coupe et du faciès des plaquettes et du domaine). Le coefficient est donc diminué progressivement jusqu’à assurer, d’une part la stabilité du schéma d’intégration numérique et d’autre part la convergence des résultats.

5.3.1.1 Influence du coefficient de sécurité sur la stabilité du schéma d’intégration

Lorsque le schéma d’intégration est instable, une énergie non physique est générée, les positions des ED divergent de plus en plus (observation d’oscillations dont l’amplitude croit de manière exponentielle). Il est cependant délicat de séparer l’instabilité du schéma d’intégration numérique et la simple non convergence des résultats car la rupture rapide de certains ED empêche les instabilités de se propager. Les positions des ED sollicités divergent,

5.3 Influence et choix des paramètres numériques des simulations

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mouvement mais le reste du domaine sera peu affecté, jusqu’à un nouveau contact. Le paragraphe suivant montre néanmoins que le coefficient de sécurité requis pour assurer la convergence des résultats des simulations est tel, qu’il est très sécuritaire vis-à-vis des coefficients de sécurité usuels validant la condition de stabilité.

5.3.1.2 Influence du coefficient de sécurité sur la convergence des résultats

Le choix de 𝐾_𝑠 a un impact important sur les phénomènes de contact entre l’outil et les ED. Si le pas de temps est trop élevé, une interpénétration soudaine avec les ED entraîne un rebond très énergique de ceux-ci, alors qu’un pas de temps plus faible permet à cette interaction d’être plus lissée en ayant lieu sur plusieurs incréments, la position des ED suivant progressivement celle de l’outil. Cette convergence est atteinte pour un coefficient de sécurité de 2π/0,02 (Figure 5.4).

Figure 5.4 : Influence du coefficient de sécurité sur l’apparence des résultats de simulations de coupe après 3,25 mm de coupe.

Le coefficient de sécurité présente donc une influence majeure sur les résultats des simulations. La non-convergence a non seulement un impact sur les plaquettes générées, la déformation et la fissuration du domaine, mais aussi sur les efforts de coupe enregistrés sur le couteau causés par les ruptures plus ou moins rapides du domaine (Figure 5.5). L’évolution des phénomènes observés est visible aisément au travers des efforts de coupe, car les ruptures de liens se traduisent par des diminutions d’efforts franches. Lorsque le coefficient de sécurité est trop faible, les liens rompent très rapidement à l’approche de l’outil, ce dernier ayant même régulièrement des périodes où il n’est plus en contact avec aucun ED car les ruptures d’une rangée d’ED a lieu bien avant que l’outil ne soit en contact potentiel avec la suivante. Ceci se traduit par les efforts en créneaux (Figure 5.5), d’amplitude variable sur le coefficient utilisé, obtenus jusqu’à un coefficient de sécurité de 2π/0,035. Passé 2π/0,02, les efforts convergent par contre vers un résultat unique.

Figure 5.5 : Influence du coefficient de sécurité sur les efforts de coupe mesurés sur l’outil

dans la direction de coupe.

Après 3,5 mm de coupe, la convergence n’est plus tout à fait vérifiée (les efforts de coupe ne coïncident plus à partir de ce stade, même pour les deux coefficients de sécurité les plus contraignants). Mais, étant donné l’arrachement généré du matériau et la multitude de contact en découlant, nous choisissons de négliger ces différences qui ne sont pas représentatives du comportement souhaité ; elles ne suffisent pas à justifier le doublement du temps de calcul.

Ces réglages préliminaires nous permettent d’ores et déjà deux observations. Premièrement, la durée de simulation étant inversement proportionnelle à l’incrément de temps, elle est linéairement affectée par 𝐾_𝑆, donc devoir utiliser un coefficient de sécurité aussi fort impose des temps de calcul très longs (une douzaine de jours pour une simulation complète avec 𝐾𝑆 = 2π/0,02). Deuxièmement, même si à ce stade, tous les paramètres

numériques ne sont pas encore déterminés, ces premières observations laissent déjà présager des résultats de simulations aux faciès de ruptures très sensibles vis-à-vis des paramètres utilisés.

Malgré la contrainte en temps de calcul, le respect de la convergence et l’emploi d’un coefficient très sécuritaire est l’unique moyen de s’assurer de la robustesse de l’approche choisie. Afin de pouvoir multiplier les simulations, les simulations traitées dans la suite ne concerneront que les quatre premiers millimètres de coupe, qui permettent, qualitativement, de juger des solutions obtenues. Elles seront toutes réalisées avec 𝐾𝑆 = 2π/0,02.

5.3 Influence et choix des paramètres numériques des simulations

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5.3.2 Gestion du contact entre l’outil et le domaine