Choix des ´etats discrets et d´efinition de l’automate hybride

3.2 D´efinition du mod`ele hybride

3.2.1 Choix des ´etats discrets et d´efinition de l’automate hybride

On d´eduit du lemme 3.1.5 que le maillage ∆ obtenu est de taille√

n+ 1h.

Dans cette première partie, nous avons décrit les principales étapes de la construction

d’un maillage simplicial implicite de l’espace ´etat-contrˆole. Nous allons maintenant montrer

que ce maillage, combin´e `a l’approximation affine par morceaux du chapitre 2, nous permet

de définir une approximation hybride du système non linéaire initial.

3.2 D´efinition du mod`ele hybride

Au paragraphe précédent, nous avons défini un maillage semi-implicite ∆ de l’espace

état-contrôle. Grâce aux techniques d’approximation affine par morceaux développées au chapitre

2, on construit une approximation du système différentiel non linéaire (3.1) :

˙

X(t) =f_h(X(t), u(t))

o`u f_h est une approximation affine par morceaux de f d´efinie sur le maillage ∆. Nous nous

intéressons maintenant à la définition d’un automate hybride modélisant le système non

lin´eaire initial.

L’état d’un système hybride est décrit par deux variables : l’une discrète notée q(t) à

valeurs dans un ensemble dénombrable Q, la seconde continue notée X(t) à valeurs dans

l’espace des phases Rⁿconsidéré. Dans chaque état q∈ Q, l’évolution de la variableX(.) est

soumise à la dynamique fq du mode considéré. De ce fait, du choix de l’ensemble d’état Q

choisi, dépend le type de dynamique considérée et donc le choix des méthodes de résolution

appropri´ees.

3.2.1 Choix des ´etats discrets et d´efinition de l’automate hybride

Au chapitre 2, paragraphe 2.3.1, nous avons insisté sur le fait qu’en théorie du contrôle,

nous sommes généralement amenés à considérer des fonctions de contrôle mesurables, non

continues (au mieux continues par morceaux). Ainsi, toute trajectoire (X(.), u(.)) dans

l’es-pace ´etat-contrˆoleRⁿ×U_m est a priori discontinue, alors que la trajectoireX(.) dans l’espace

d’´etat est continue (cf figure 3.4).

3.2 D´efinition du mod`ele hybride 61.

X0 X

u

D2

D1

u_min= 0

u_max

Fig. 3.4 – Exemple de trajectoire discontinue dans l’espace ´etat-contrˆole R×[0, u_max]

Par ailleurs, la figure 3.4 met ´egalement en ´evidence le fait que la notion de transition

entre deux cellules du maillage ∆ n’a aucun sens par rapport `a la variable de contrˆole. En

effet, toute fonction de contrˆole admissible peut passer `a n’importe quel moment d’une

cel-lule du maillage ∆ `a une autre, non n´ecessairement adjacente et surtout, que la trajectoire

(X(.), u(.)) ait ou non atteint une garde du syst`eme.

Pour toutes ces raisons, le choix de la variable continue décrivant l’état du système hybride

`

a définir est limité à la variable X à valeurs dans Rⁿ. En conséquence, l’ensemble des états

discrets choisi est celui des indices du maillage simplicial de l’espace d’´etatRⁿ.

On introduit alors les notations suivantes :

– Q l’ensemble d´enombrable des indices d’un maillage simplicial (Dq)q de taillehde

l’es-pace d’´etat comme d´efini au paragraphe 3.1.2.

– E = {(q, q⁰) ∈ Q ; ∂Dq ∩∂D_q0 6= ∅} l’ensemble des transitions : une transition est

possible entre deux ´etats qetq⁰ si les cellules correspondantesD_q etD_q0 du maillage de

Rⁿ sont adjacentes.

– D={D_q; q ∈ Q}la collection des domaines du maillage deRⁿ. Par construction, pour

tout q ∈ Q, D_q est un n-simplexe de Rⁿ et est donc d’int´erieur non vide (_D^◦_q6=∅). Le

domaine Dq d´efinit un ensemble de contraintes affines sur l’´etat :

D_q={X∈Rⁿ ; N_qX+L_q≤O}

– U ={U_m ; q∈ Q} la collection des domaines de contrˆoles. Dans chaque ´etat discret q,

le contrˆole est `a valeurs dans le domaine initialU_m.

– F ={f_q ; q∈ Q}la collection de champs de vecteurs affines par morceaux, d´efinis par

interpolation du champ non lin´eaire f (cf chapitre 2) :

∀q ∈ Q, fq : Dq×U_m → Rⁿ

62. Chapitre 3 : Construction d’un mod`ele hybride de contrˆole

D’apr`es le lemme 3.1.3, on sait que :Dq×U_m = [

q0∈K(q)

∆_q0. Le champfq est donc d´efini

localement par :

∀q⁰ ∈ K(q), ∀(X, u)∈∆_q0, f_q(X, u) =A_q0X+B_q0u+c_q0

– G ={G_e ; e∈ E}l’ensemble des gardes :

∀e= (q, q⁰)∈ E, Ge=∂Dq∩∂D_q0 ⊂Dq

– R={R_e ; e∈ E} l’ensemble des fonctions Reset. On pose :∀e∈ E, R_e(X) ={X}, ce

qui traduit le fait que la variable continueX(.) n’est pas r´e-initialis´ee au moment d’une

transition edu syst`eme.

D’après la définition générale des systèmes hybrides donnée en introduction (cf paragraphe

1.3.1), nous avons ainsi construit un syst`eme hybride approchant la dynamique non lin´eaire

initiale :

Proposition 3.2.1. Le septuple H= (Q,E,D,U,F,G,R) d´efini ci-dessus est un syst`eme

hybride.

D_q₀

D_q₁

D_q₂

D_q₃

0 _X₁

X₂ _G₍

q₁,q₃)

Fig.3.5 – Illustration de la d´efinition d’un automate hybride

Par définition de l’automate H, l’évolution de la variable continue X(.) détermine à elle

seule celle de la variable discr`ete q(.) au cours du temps. En effet, tout ´etat discretq∈ Q

cor-respond à une unique celluleDqde l’espace d’état et est donc lié à la position du système dans

l’espace d’état. Si l’on considère une trajectoireX(.) dansRⁿ, celle-ci traverse nécessairement

un certain nombre de cellulesD_q du maillage D de Rⁿ, d´efinissant ainsi la suite discr`ete des

valeurs prise par la variableq(.) au cours du temps.

`

A tout instantt, l’état du système hybrideHest décrit par sa positionX(t) dans l’espace

d’état et le modeq(t) = q associé. À l’instant t = 0, le système se trouve à la position X0.

On en d´eduit le modeq₀ dans lequel se trouve l’automate H `a l’instant t= 0. Dans le mode

3.2 D´efinition du mod`ele hybride 63.

q₀, la variable continueX(.) est soumise `a la dynamique : ˙X(t) =f_q₀(X(t), u(t)) d´efinie sur

le domaine D_q₀ ×U_m. Dès que le système atteint une garde G₍_q₀_,q₁₎ à un instant t₁, il peut

effectuer une transition discrète de l’état q0 vers l’état q1. On applique alors à nouveau le

même processus à partir de la position X(t₁) dans l’état q₁.

Remarque 3.2.1. Dans la suite de ce manuscrit, nous supposons que le mod`ele hybride ainsi

construit n’accepte pas de trajectoire solution dite Z´enon qui effectue une infinit´e de transitions

en un temps fini. En effet, l’existence de trajectoires Z´enon pose parfois des probl`emes de

simulation puisque les instants de transition sont de plus en plus prˆoches jusqu’`a devenir

num´eriquement indiff´erentiables [87],[44,§2.3].

Dans le document Algorithmes hybrides pour le contrôle optimal des systèmes non linéaires (Page 61-64)

Choix des ´etats discrets et d´efinition de l’automate hybride

3.2 D´efinition du mod`ele hybride

3.2.1 Choix des ´etats discrets et d´efinition de l’automate hybride

On d´eduit du lemme 3.1.5 que le maillage ∆ obtenu est de taille√

n+ 1h.

Dans cette première partie, nous avons décrit les principales étapes de la construction

d’un maillage simplicial implicite de l’espace ´etat-contrˆole. Nous allons maintenant montrer

que ce maillage, combin´e `a l’approximation affine par morceaux du chapitre 2, nous permet

de définir une approximation hybride du système non linéaire initial.

3.2 D´efinition du mod`ele hybride

Au paragraphe précédent, nous avons défini un maillage semi-implicite ∆ de l’espace

état-contrôle. Grâce aux techniques d’approximation affine par morceaux développées au chapitre

2, on construit une approximation du système différentiel non linéaire (3.1) :

˙

X(t) =fh(X(t), u(t))

o`u fh est une approximation affine par morceaux de f d´efinie sur le maillage ∆. Nous nous

intéressons maintenant à la définition d’un automate hybride modélisant le système non

lin´eaire initial.

L’état d’un système hybride est décrit par deux variables : l’une discrète notée q(t) à

valeurs dans un ensemble dénombrable Q, la seconde continue notée X(t) à valeurs dans

l’espace des phases Rnconsidéré. Dans chaque état q∈ Q, l’évolution de la variableX(.) est

soumise à la dynamique fq du mode considéré. De ce fait, du choix de l’ensemble d’état Q

choisi, dépend le type de dynamique considérée et donc le choix des méthodes de résolution

appropri´ees.

3.2.1 Choix des ´etats discrets et d´efinition de l’automate hybride

Au chapitre 2, paragraphe 2.3.1, nous avons insisté sur le fait qu’en théorie du contrôle,

nous sommes généralement amenés à considérer des fonctions de contrôle mesurables, non

continues (au mieux continues par morceaux). Ainsi, toute trajectoire (X(.), u(.)) dans

l’es-pace ´etat-contrˆoleRn×Um est a priori discontinue, alors que la trajectoireX(.) dans l’espace

d’´etat est continue (cf figure 3.4).

3.2 D´efinition du mod`ele hybride 61.

X0 X

u

D2

D1

umin= 0

umax

Fig. 3.4 – Exemple de trajectoire discontinue dans l’espace ´etat-contrˆole R×[0, umax]

Par ailleurs, la figure 3.4 met ´egalement en ´evidence le fait que la notion de transition

entre deux cellules du maillage ∆ n’a aucun sens par rapport `a la variable de contrˆole. En

effet, toute fonction de contrˆole admissible peut passer `a n’importe quel moment d’une

cel-lule du maillage ∆ `a une autre, non n´ecessairement adjacente et surtout, que la trajectoire

(X(.), u(.)) ait ou non atteint une garde du syst`eme.

Pour toutes ces raisons, le choix de la variable continue décrivant l’état du système hybride

`

a définir est limité à la variable X à valeurs dans Rn. En conséquence, l’ensemble des états

discrets choisi est celui des indices du maillage simplicial de l’espace d’´etatRn.

On introduit alors les notations suivantes :

– Q l’ensemble d´enombrable des indices d’un maillage simplicial (Dq)q de taillehde

l’es-pace d’´etat comme d´efini au paragraphe 3.1.2.

– E = {(q, q0) ∈ Q ; ∂Dq ∩∂Dq0 6= ∅} l’ensemble des transitions : une transition est

possible entre deux ´etats qetq0 si les cellules correspondantesDq etDq0 du maillage de

Rn sont adjacentes.

– D={Dq; q ∈ Q}la collection des domaines du maillage deRn. Par construction, pour

tout q ∈ Q, Dq est un n-simplexe de Rn et est donc d’int´erieur non vide (D◦q6=∅). Le

domaine Dq d´efinit un ensemble de contraintes affines sur l’´etat :

Dq={X∈Rn ; NqX+Lq≤O}

– U ={Um ; q∈ Q} la collection des domaines de contrˆoles. Dans chaque ´etat discret q,

le contrˆole est `a valeurs dans le domaine initialUm.

– F ={fq ; q∈ Q}la collection de champs de vecteurs affines par morceaux, d´efinis par

interpolation du champ non lin´eaire f (cf chapitre 2) :

∀q ∈ Q, fq : Dq×Um → Rn

62. Chapitre 3 : Construction d’un mod`ele hybride de contrˆole

D’apr`es le lemme 3.1.3, on sait que :Dq×Um = [

q0∈K(q)

∆q0. Le champfq est donc d´efini

localement par :

∀q0 ∈ K(q), ∀(X, u)∈∆q0, fq(X, u) =Aq0X+Bq0u+cq0

– G ={Ge ; e∈ E}l’ensemble des gardes :

∀e= (q, q0)∈ E, Ge=∂Dq∩∂Dq0 ⊂Dq

– R={Re ; e∈ E} l’ensemble des fonctions Reset. On pose :∀e∈ E, Re(X) ={X}, ce

qui traduit le fait que la variable continueX(.) n’est pas r´e-initialis´ee au moment d’une

transition edu syst`eme.

D’après la définition générale des systèmes hybrides donnée en introduction (cf paragraphe

1.3.1), nous avons ainsi construit un syst`eme hybride approchant la dynamique non lin´eaire

initiale :

Proposition 3.2.1. Le septuple H= (Q,E,D,U,F,G,R) d´efini ci-dessus est un syst`eme

hybride.

Dq0

Dq1

X(t) =f_h(X(t), u(t))

o`u f_h est une approximation affine par morceaux de f d´efinie sur le maillage ∆. Nous nous

l’espace des phases Rⁿconsidéré. Dans chaque état q∈ Q, l’évolution de la variableX(.) est

l’es-pace ´etat-contrˆoleRⁿ×U_m est a priori discontinue, alors que la trajectoireX(.) dans l’espace

u_min= 0

u_max

Fig. 3.4 – Exemple de trajectoire discontinue dans l’espace ´etat-contrˆole R×[0, u_max]

a définir est limité à la variable X à valeurs dans Rⁿ. En conséquence, l’ensemble des états

discrets choisi est celui des indices du maillage simplicial de l’espace d’´etatRⁿ.

– E = {(q, q⁰) ∈ Q ; ∂Dq ∩∂D_q0 6= ∅} l’ensemble des transitions : une transition est

possible entre deux ´etats qetq⁰ si les cellules correspondantesD_q etD_q0 du maillage de

Rⁿ sont adjacentes.

– D={D_q; q ∈ Q}la collection des domaines du maillage deRⁿ. Par construction, pour

tout q ∈ Q, D_q est un n-simplexe de Rⁿ et est donc d’int´erieur non vide (_D^◦_q6=∅). Le

D_q={X∈Rⁿ ; N_qX+L_q≤O}

– U ={U_m ; q∈ Q} la collection des domaines de contrˆoles. Dans chaque ´etat discret q,

le contrˆole est `a valeurs dans le domaine initialU_m.

– F ={f_q ; q∈ Q}la collection de champs de vecteurs affines par morceaux, d´efinis par

∀q ∈ Q, fq : Dq×U_m → Rⁿ

D’apr`es le lemme 3.1.3, on sait que :Dq×U_m = [

∆_q0. Le champfq est donc d´efini

∀q⁰ ∈ K(q), ∀(X, u)∈∆_q0, f_q(X, u) =A_q0X+B_q0u+c_q0

– G ={G_e ; e∈ E}l’ensemble des gardes :

∀e= (q, q⁰)∈ E, Ge=∂Dq∩∂D_q0 ⊂Dq

– R={R_e ; e∈ E} l’ensemble des fonctions Reset. On pose :∀e∈ E, R_e(X) ={X}, ce

D_q₀

D_q₁

D_q₂

D_q₃

0 _X₁

X₂ _G₍

q₁,q₃)

l’espace d’état. Si l’on considère une trajectoireX(.) dansRⁿ, celle-ci traverse nécessairement

un certain nombre de cellulesD_q du maillage D de Rⁿ, d´efinissant ainsi la suite discr`ete des

On en d´eduit le modeq₀ dans lequel se trouve l’automate H `a l’instant t= 0. Dans le mode

q₀, la variable continueX(.) est soumise `a la dynamique : ˙X(t) =f_q₀(X(t), u(t)) d´efinie sur

le domaine D_q₀ ×U_m. Dès que le système atteint une garde G₍_q₀_,q₁₎ à un instant t₁, il peut

même processus à partir de la position X(t₁) dans l’état q₁.