Identification du modèle
2.5. Choix du modèle
L’étape de modélisation représente une partie importante de ce travail de thèse. D’un point de vue quantitatif, un photobioréacteur est un système complexe et la modélisation de son comportement est par conséquent une tâche laborieuse. L’importance qualitative est également claire : en effet, une grande partie du reste de l’étude dépend directement de la modélisation du photobioréacteur étudié. La qualité et la structure du modèle doivent correspondre aux buts pour lesquels le modèle a été élaboré.
Nous considérons que la lumière et le dioxyde de carbone ont une influence importante sur la croissance cellulaire et cela a motivé notre choix. Le modèle dynamique retenu combine les bilans massiques de chaque constituant macroscopique, le modèle de transfert du , le modèle de cinétique cellulaire établi par Baquerisse (1999) et le modèle relatif à l’énergie lumineuse de Krystallidis (1994). Il se base sur l’hypothèse que les réactions se déroulent en phase liquide et que le photobioréacteur est parfaitement mélangé.
Les bilans massiques effectués pour la concentration en biomasse Y et la concentration en Carbone Inorganique Total s’expriment sous la forme d’équations différentielles ordinaires. Dans ce qui suit, les équations définissant la dynamique du système sont détaillées.
2.5.1. Modèle de croissance pour Porphyridium purpureum
La dynamique de variation de la concentration en biomasse, notée Y, pour un système en continu, est donnée par :
(Y
(- % Z Y [N YQR QR3[J\IN YJ\I (2.9)
où:
Z est la vitesse spécifique de croissance (h-1 ),
Y est la concentration en biomasse dans le photobioréacteur (109
cellules. l-1) [ est le débit de liquide alimenté ou soutiré (l. h-1
61
N est le volume de la phase liquide dans le photobioréacteur (l)
Les indices '9 et &1- représentent respectivement les quantités entrantes et sortantes des éléments dans le système.
Il faut noter que la concentration en biomasse est représentée par le nombre de cellules dans le réacteur plutôt que par la concentration en matière sèche. Ce choix est du au fait que la concentration en matière sèche peut-être faussée à cause de la présence de polysaccharides sulfonés produits par Porphyridium purpureum. Dans ce cas, une mesure de la matière sèche demande de séparer les cellules des polysaccharides installés autour d’elles ce qui s’avère difficile à réaliser. Par ailleurs, la mesure de la matière sèche oblige à prélever quelques dizaines de ml. par analyse (cf. § 2.4.6.4.) ce qui n’est pas envisageable dans des réacteurs de petit volume.
La vitesse spécifique de croissance Z est principalement influencée par l’énergie lumineuse par cellule (notée ]) et par la concentration en carbone inorganique total <= (Baquerisse, 1999). Après avoir testé plusieurs formes de modèles parfois complexes, cet auteur a opté pour un modèle de forme simple de type Steele (cf. Chap. I, § 1.4.2). Ceci permet de travailler avec un nombre réduit des paramètres ce qui peut représenter un avantage lors de la synthèse d’une loi de commande pour le système.
Chaque variable explicative considérée admet une valeur optimale, c’est-à-dire une valeur pour laquelle la vitesse spécifique de croissance atteint un maximum. Les effets limitant et inhibiteur de ces deux substrats sont pris en compte, ce qui permet d’écrire:
Z % ZPK^_]]
J`Ia /bC ccdefg_
J`Ia /bC FhiFhidefg (2.10)
avec
Z : vitesse spécifique de croissance (h-1 ),
] : énergie lumineuse disponible par cellule (µEinstein. s-1
. 109cellules-1),
: concentration en carbone inorganique total (mol. l-1 ),
62
ZPK^, ]J`I et J`Isont respectivement la vitesse spécifique de croissance maximale, l’énergie lumineuse disponible par cellule et la concentration en carbone inorganique total pour lesquelles
µ % µ
max. Ce sont des paramètres du modèle qui doivent être identifiés à partir des expériences réalisées en mode batch dans le photobioréacteur.L’énergie lumineuse disponible par cellule
E
définit la quantité d’énergie “retenue” par les cellules microalgales rapportée à 1 g. de biomasse (Krystallidis, 1994). Elle est donnée par :] % *QR3 J\I2 mS
N Y (2.11)
où:
mS est la surface éclairée du photobioréacteur (m2), N est le volume utile du photobioréacteur (l),
QR et J\I sont respectivement les intensités lumineuses entrantes et sortantes (µEinstein. m-2. s-1).
L’intensité lumineuse sortante J\I est fonction de l’intensité lumineuse entrante et de la quantité en biomasse selon la relation :
J\I % C QR YFH
(2.12)
où C et sont des constantes qui dépendent du type d’éclairage et de la géométrie du bioréacteur.
2.5.2. Modèle d’évolution du carbone inorganique total (nop)
La dynamique d’évolution de la concentration en carbone inorganique total est donnée par : ( (- % 3Z Y qr Fhi s 3 5 YF[QR N QR3 [J\I N J\I *< t= 3 <=2 (2.13)
63
où:
qr Fhis est le rendement qui représente la quantité de substrat nécessaire à l’augmentation de la biomasse (nombre de cellules / mol de ) (Nouals,2000), 5 est le taux spécifique de maintenance (h-1
),
YF est la concentration molaire de carbone dans la biomasse et est défini par l’équation suivante : YF % 0,004 Y (mol de /litre) (Baquerisse, 1999),
est le coefficient de transfert de dioxyde de carbone de la phase gazeuse à la phase liquide (h-1),
<= et <t= sont respectivement les concentrations molaires de dioxyde de carbone réel et en équilibre avec la phase gazeuse dans le milieu de culture.
A noter qu’à l’équation de bilan matière de base a été rajouté le terme de maintenance, la vitesse de consommation du substrat et le terme de transfert gaz-liquide (cf. Chap. I, § 1.4.1). Concernant ce dernier, nous avons utilisé la Loi de Henry qui établit à l’équilibre la concentration en gaz dissous dans un liquide pour déterminer <t=. Le coefficient dépend fortement de l’agitation et donc de la surface d’échange entre les phases liquide et gazeuse (taille des bulles) (Bailey and Ollis, 1986).
La concentration <t= est donnée par : <t= % FGH
(2.14)
où FGH est la pression partielle en dioxyde de carbone dans les gaz d’alimentation et est la constante de Henry pour le milieu de culture Hemerick.
La concentration <= est calculée à partir du et du dans le milieu de culture à partir de la relation (Nouals, 2000) :
<= % <= v1 BC
10`w BCB
64 Récapitulatif :
Le modèle retenu qui sera utilisé dans les chapitres suivants pour développer des lois de commande pour le système, comporte principalement les deux équations différentielles ordinaires suivantes :
Yy % Z Y [N YQR QR3[J\IN YJ\I
y % 3Zq Y
r Fhis 3 5 YF[N QR QR3[J\IN J\I *<t= 3 <=2
(2.16)