ù ù M −−−−→ f∗[n]◦q N∗[n]
On souhaite montrer que l’homotopie pour ce carré est hN⊥, ce qui nous per-mettra de l’identifier avec le carré homotopiquement cartésien qui définit N⊥. Cette homotopie est par définition h∗
Mf[n] ◦ qf ◦ π, qui vaut bien hN⊥ d’après la remarque 2.8.
On déduit alors des propriétés de composition des diagrammes homotopique-ment cartésiens que le diagramme
N⊥ −−−→π Mf i ù ùπ∗[n]◦qf M −−−−→ i∗[n]◦q N⊥∗[n] est homotopiquement cartésien, ce qui conclut.
2.4 Chirurgie sous le degré moitié
On rappelle que A vu comme A-module représente en réalité le complexe nor-malisé N(A), qui est concentré en degrés négatifs.
On pose l = [n
2], de façon à avoir n = 2l ou n = 2l + 1.
Soit C un complexe de cochaînes, on adopte la notation πi(C) = H−i(C).
Lemme 2.10. Soit (M, q) un complexe quadratique non dégénéré, m < l et η ∈ πm(M ). Alors (M, q) est cobordant à un complexe quadratique non dégénéré (M′, q′) tel que ∀i < m, πi(M′) = πi(M ) et πm(M′) = πm(M )/ < η >.
Démonstration. On choisit un cocycle A[m]−→ Mη représentant la classe de coho-mologie (ou d’homotopie) de η. La forme q se restreint sur A[m] en un morphisme
A[m] → A[n − m], représentant un 0-cocycle dans A[n − 2m], qui est donc nul en
cohomologie car n − 2m > 0 et A est concentré en degrés négatifs. Ainsi la donnée de η et d’une homotopie à 0 pour ce cocycle déterminent un sous-module isotrope de M, ce qui permet de pratiquer une chirurgie selon η pour obtenir un nouveau complexe quadratique non dégénéré (Mη, qη) cobordant à (M, q).
Soit β : M → A[n − m] la composition M → M∗[n] → A[n − m], alors la suite exacte longue en cohomologie donne pour tout i une suite exacte πi+1(A[n−m]) →
πi(f ib(β)) → πi(M ) → πi(A[n − m]), et puisque πi(A[n − m]) = πi+m−n(A), ces groupes sont triviaux pour i < n − m, donc πi(f ib(β)) ≃ πi(M ) tant que
i + 1 < n − m, donc en particulier pour i ≤ m (car m < l et n ≥ 2l). Par
définition, Mη est la cofibre d’un morphisme A[m] → fib(β), donc on a une suite exacte πi(A[m]) → πi(f ib(β)) → πi(Mη) → πi−1(A[m]). Pour i < m, πi(A[m]) = 0 donc i < m, πi(M ) ≃ πi(f ib(β)) ≃ πi(Mη), et pour i = m, πm(Mη) est le quotient de πm(f ib(β)) ≃ πm(M ) par le sous-module engendré par η.
Lemme 2.11. Soit (M, q) un module (parfait) quadratique non dégénéré, alors il est cobordant à un module quadratique non dégénéré (M′, q′) tel que ∀i < l,
πi(M′) = 0.
Démonstration. Puisque M est parfait, sa cohomologie est finiment engendrée et
on peut appliquer récursivement le lemme 2.10 avec les générateurs de la cohomo-logie, en commençant par le plus petit i tel que πi(M ) Ó= 0 jusqu’à i = l − 1.
On dit qu’un A-module est projectif s’il est concentré en degrés négatifs ainsi que son dual. C’est une généralisation dérivée de la notion usuelle de module projectif, comme le montre le lemme suivant.
Lemme 2.12. Soit M un A-module projectif, alors c’est un facteur direct de Am
pour un entier m ∈ N.
Démonstration. Puisque M est parfait et concentré en degrés négatifs, π0(M ) est un A-module finiment engendré. et il existe un entier m et un morphisme Am →
M surjectif sur π0(M ). Soit M′ la fibre homotopique de ce morphisme, puisque
A et M sont concentrés en degrés négatifs, on déduit de la suite exacte longue d’homotopie et de la surjectivité sur π0(M ) le fait que M′ est aussi concentré en degrés négatifs. En dualisant cette fibre homotopique, on obtient une cofibre homotopique, or (Am)∗ ≃ Am est encore concentré en degrés négatifs ainsi que
M∗, donc M′∗ aussi, d’où M′ est projectif.
On a donc une fibration homotopique HomA(M, M′) → HomA(M, Am) → HomA(M, M ), or M′, M∗et A sont concentrés en degrés négatifs, donc HomA(M, M′) ≃
π0(HomA(M, Am)) → π0(HomA(M, M )). En particulier, le morphisme Am → M admet une section M → Am, d’où M est un facteur direct de Am.
Lemme 2.13. Pour n pair et A, si un complexe quadratique non dégénéré (M′, q′)
vérifie ∀i < l, πi(M′) = 0, alors M′ est quasi-isomorphe à un module projectif placé en degré −l.
Démonstration. On peut reformuler la condition en disant que M′[−l] est concen-tré en degrés négatifs. La condition de non dégénérescence entraîne une équivalence entre M′ et M′∗[2l], d’où une équivalence M′[−l] ≃ M′∗[l]. Ainsi, M′[−l] et son dual sont concentrés en degrés négatifs, donc on peut conclure grâce au lemme 2.12.
On peut reformuler la condition en disant que M′[−l] est concentré en degrés négatifs. Puisque A est concentré en degré 0, le dual de M′[−l] est concentré en degrés positifs. La condition de non dégénérescence entraîne que M′ et M′∗[2l] soient équivalents, d’où M′[−l] ≃ M′∗[l], donc M′[−l] est concentré en degrés positifs et négatifs donc concentré en degré 0, et ainsi M′ est concentré en degré −l.
Le cas impair est moins simple, car au lieu d’obtenir un module projectif concen-tré en un seul degré, on obtiendra un module concenconcen-tré en deux degrés. Par souci de simplicité, on formule l’analogue impair dans le cas d’un anneau de base non dérivé. En effet dans ce cas, un complexe parfait concentré en degré 0 est équi-valent à un module projectif classique, alors que si A est dérivé, A lui-même n’est pas concentré en degré 0. On a notamment la notion de Tor-amplitude, qui nous permet de prouver facilement cette propriété de concentration en deux degrés.
On rappelle qu’un complexe est de Tor-amplitude dans [a, b] si et seulement s’il est quasi-isomorphe à un complexe de modules plats dont tous les termes non nuls sont en degrés dans l’intervalle [a, b]. Par ailleurs, un complexe de Tor-amplitude dans [a, b] et dans [c, d] est de Tor-amplitude dans [a, b] ∩ [c, d]. Enfin, pour un complexe parfait, on peut remplacer « modules plats »par « modules projectifs de type fini », et s’il est concentré en degrés négatifs, alors il est de Tor-amplitude dans [−∞, 0].
Lemme 2.14. Pour n impair et A non dérivé (i.e. concentré en degré 0), soit
(M′, q′) un complexe quadratique non dégénéré telle que ∀i < l, πi(M′) = 0, alors
M′ est de Tor-amplitude dans [−l − 1, −l].
Démonstration. Puisque M′[−l] est concentré en degrés négatifs, quitte à prendre une résolution, on peut supposer que les termes strictement positifs de M′[−l] sont nuls. En dualisant, M′∗[l] est nul en degrés strictement négatifs donc de Tor-amplitude dans [0, +∞], or on a M′[−l] ≃ M′∗[l + 1] donc M′[−l] est de Tor-amplitude dans [−∞, 0] et dans [−1, +∞], donc M′ est de Tor-amplitude dans
[−l − 1, −l]. En particulier il est équivalent à un complexe constitué de deux modules projectifs de type fini en degré −l − 1 et en degré l.
On déduit des lemmes précédents le résultat de chirurgie suivant.
Proposition 2.15. Sur un anneau non dérivé, tout module quadratique n-décalé non dégénéré est cobordant à un module quadratique non dégénéré concentré en degré −l si n = 2l ou en degrés −l et −l − 1 si n = 2l + 1.