SPIRAL 2 par rapport aux autres accélérateurs
A.1 Charte des noyaux
La charte des noyaux est une carte en trois dimensions. Elle présente certaines propriétés de noyaux atomiques en fonction du nombre de neutrons N (sur l’axe horizontal) et du nom- bre de proton Z (sur l’axe vertical) qui les composent. Cette version de la charte des noyaux présente le temps de demi-vie (le temps nécessaire pour que 50% des atomes se soient désin- tégrés). Chaque carré correspond à un noyau différent. Les différents noyaux stables (en noir) présents sur la charte des noyaux décrivent une région appelée la vallée de stabilité.
L’axe z ne pouvant être aisément lu sur une figure, il est remplacé par un code couleur. Les noyaux étant représenté par un carré noir, sont des noyaux stables. Les autres cases corre- spondent à des atomes radioactifs. Plus le noyau a une demi-vie courte, plus sa case va vers le bleu foncé. Au contraire, les noyaux avec de longues demi-vies sont représentés par des carrés de couleur plus chaudes.
Les différentes lignes Z = const ou N = const représentent les nombres magiques de fermetures de couches nucléaires.
141
Annexe: Source d’ions type RCE
B.1 Taux de collisions pour différents états de charge
Suivant l’état de charge occupé par une particule, les différents taux de collisions varient de plusieurs ordres de grandeurs. Les trois figures B.1, B.2 et B.3 représentent les taux de collisions de trois différents états de charge de l’atome d’argon (Ar3+, Ar7+et Ar13+). Chaque
courbe correspond à un type de collision différent:
- La courbe en bleu représente le taux de recombinaison radiative. - La courbe en rouge correspond à l’ionisation double.
- La courbe verte reflète l’ionisation simple à la précédente courbe.
- Et pour finir, la courbe noire décrit l’échange de charge avec un atome d’argon neutre. L’augmentation de l’état de charge provoque une augmentation du taux de l’échange de charge; aussi bien du passage de l’état de charge Ar3+ à Ar7+que du passage de l’ion Ar7+
à l’ion Ar13+. Au contraire, la recombinaison radiative (les courbes en bleu) voit son taux
augmenter lors du passage de l’état de charge Ar3+à Ar7+; mais s’effondre au delà pour être
complètement absente pour l’état de charge Ar13+.
Les taux d’ionisations simples et doubles suivent la variation opposée. À mesure que l’état de charge augmente, l’énergie seuil pour l’apparition augmente et le taux de collisions se réduit.
142 Annexe: Source d’ions type RCE
FIGUREB.2 – Taux de collisions pour un ion Argon occupant l’état de charge Q=7 (Ar7+)
143
Annexe: Simulation de plasma de source d’ions
RCE
C.1 Résolution de l’équation de Poisson pour un maillage tétraè-
drique
Pour résoudre l’équation de Poisson sur un maillage tétraèdrique, il n’est pas possible d’utiliser la même méthode que dans le cas d’un maillage cartésien.
Il est nécessaire de mettre l’équation de Poisson sous la forme d’un produit de vecteur et de matrice [83,84]: KU = F; avec K la matrice de rigidité, F le vecteur de chargement ("Load Vector") et U est le vecteur contenant, pour chaque nœud, une approximation de la solution de l’équation de Poisson:
−∇(c∇u) = f dans l′espace Ω
u = g conditions aux bords de Dirichlet c∂u
∂n = h conditions aux bords de Neumann
Il y a trois étapes à implémenter pour résoudre l’équation de Poisson dans un maillage tétraédrique:
- La création du maillage sur l’espace voulu, qui sera déjà faite et présente dans un fichier externe avant le lancement du programme;
- Le calcul de la matrice K et du vecteur F
- et pour finir, la résolution du système d’équation KU= F
Pour une géométrie donnée, le maillage est réalisé avant le début de la simulation, et seule- ment lu lors de son lancement. À chaque résolution de l’équation de Poisson, la simulation devra commencer par le calcul de la matrice K qui s’écrit comme:
Ki,j= N
∑
i=1 Z Tetk c∇ψi∇ψj (C.1)avec ψ=1 si i= j, ψ=0 si i6=jet i, j =1; 2; 3; 4, les sommets du tétrèdres
et où la fonction ψ est représentée par ψi(x, y, z) = ai+bix+ciy+diz. Les coefficients ai, bi,
ci, dipeuvent être calculés en résolvant un système d’équation.
Pour obtenir la matrice de rigidité, il est nécessaire de calculerR
Tetkc∇ψi∇ψj; en supposant que ψiest linéaire au travers de Tetk(le tétraèdre k), le gradient de ψiest constant:
∇ψi = bi ci di
144 Annexe: Simulation de plasma de source d’ions RCE Et l’intégrale devient: R
Tetkc∇ψi∇ψj = ∇ψi∇ψj
R
Tetkc. L’intégrale de c peut alors être estimée en considérant queR
Tetkc = V∗c(¯x, ¯y, ¯z), avec ¯x =
(x1+x2+x3+x4) 4 , et V le volume du tétraèdre: Ki,j= N
∑
i=1 Vc(¯x, ¯y, ¯z)∇ψi∇ψj (C.2)Le calcul du vecteur F se fait de manière similaire: R
Tetk f ψi =
1
4V f(¯x, ¯y, ¯z)
Dans le cas de conditions aux bords de Dirichlet, le vecteur F devient: Fi =
Z
Ω f ψi−
Z
Ωc∇G∇ψi (C.3)
avec i = 1, 2, . . . , N, et ω l’ensemble de l’espace. G est définie tel que G(n) = g(n)si n ap- partient aux points possédant une condition de Dirichlet, et G(n) =0 sinon. G sera donc nul pour tous les tétraèdres ne possédant pas de nœuds restreint par des conditions de Dirichlet. Pour les autres tétraèdres, le calcul sera le suivant:
Z Tetk c∇G∇ψi = −∇G∇ψi Z Tetk c (C.4)
où∇G=∑4i=1ωi∆ψi, et ωiest la valeur en chaque nœud.
Fi devient14V f(¯x, ¯y, ¯z) −c(¯x, ¯y, ¯z)VG, et G peut se mettre sous la forme:
b1 c1 d1 b2 c2 d2 b3 c3 d3 b4 c4 d4 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 d1 d2 d3 d4 ω1 ω2 ω3 ω4
Les conditions de Neumann sont imposées lorsque l’on spécifie la valeur des dérivés que la solution de l’équation doit vérifier sur les frontières du domaine. ça sera le cas sur le plan de symétrie vertical du problème. Dans le cas présent, la simulation utiliserait les conditions de Dirichlet sur le bord du cylindre où des valeurs de champ électrique sont imposées. Pour appliquer des conditions de Neumann, la méthode est similaire; le vecteur F devient alors:
Fi = Z Ω f ϕi− Z Ωc∇G∇ϕi+ Z Γ2hϕi avec i= 1;2;3;4. oùR Γ2hϕi = R e1hϕi+ R e2hϕi+ R
e3hϕi, e1, e2 et e3étant les nœuds du tétrèdres qui appartien- nent à Γ2, la frontière contrainte par des conditions de Neumann.
Pour l’application des conditions de Neumann, il est nécessaire de suivre la procédure suivante:
Pour commencer, la somme h est calculée à partir des valeurs des conditions de Neu- mann aux points e1, e2, et e3divisé par trois.
Dans un second temps, deux vecteurs sont à créer avec la forme suivante: x2−x1 y2−y1 z2−z1 et x3−x1 y3−y1 z3−z1
C.2. Carte de champ magnétique 145