1.3 Description des résultats obtenus
1.3.4 Chapitre 5 : Comportement presque sûr en milieu Lévy spec-
Ce travail a fait l’objet d’un article [73] qui sera prochainement soumis.
L’objectif de ce chapitre est d’étudier le comportement presque sûr du supremum du temps local L∗
X(t) pour une diffusion en milieu aléatoire dont le potentiel est V , un processus de Lévy spectralement négatif et non monotone qui converge vers −∞ en +∞. Ici encore nous posons κ := ΦV(0) = sup{λ ≥ 0, ΨV(λ) = 0}. Un cas
1.3. DESCRIPTION DES RÉSULTATS OBTENUS
particulièrement intéressant est celui des valeurs extrêmement grandes de L∗ X(t) dans le cas 0 < κ < 1. Ces dernières sont reliées aux propriétés de la variable R qui intervient dans la loi limite du Théorème 1.3.20 et qui peut être étudiée grâce aux résultats du Chapitre 3.
Nous caractérisons le comportement presque sûr de L∗
X(t) lorsque 0 < κ < 1 et κ > 1. En particulier, la restriction de nos résultats au cas où V = Wκ avec 0 < κ < 1 améliore les résultats partiels (1.1.9), (1.1.10) et (1.1.11) de Devulder [28] en donnant la renormalisation exacte ainsi que la valeur exacte de la constante pour la lim sup. Pour la lim inf on obtient aussi la renormalisation exacte et un majorant explicite pour la constante.
Commençons par énoncer les résultats obtenus lorsque κ > 1. L’étude de ce cas est assez classique et utilise la même méthode qu’au Chapitre 4, c’est-à-dire l’exploitation des propriétés du processus d’Ornstein-Uhlenbeck généralisé introduit par Singh dans [66]. Pour la lim sup on a :
Theorem 1.3.22. Soit f une fonction positive et décroissante. Lorsque κ > 1, on a Z +∞ 1 (f (t))κ t dt ( < +∞ = +∞ ⇔ lim supt→+∞ f (t)L∗ X(t) t1/κ = ( 0 +∞P-p.s.
Ce résultat est l’analogue, pour la diffusion en milieu Lévy, de (1.1.13) qui a été montré par Gantert et Shi [41] pour les RWRE transientes. Dans le cas où V = Wκ
(pour κ > 1), notre résultat est une reformulation de (1.1.6) établi par Devulder [28] (dont il est donc une généralisation).
Pour la lim inf, il y a une valeur positive explicite. Soient K et m définis en (1.3.10). On a :
Theorem 1.3.23. Lorsque κ > 1, on a P-presque sûrement lim inf
t→+∞
L∗ X(t)
(t/ log(log(t)))1/κ = 2(Γ(κ)κ2K/m)1/κ.
Exemple : Si V = Wκ (pour κ > 1) alors on rappelle que K = 2κ−1/Γ(κ) et m = 4/(κ − 1) (voir Remarque 1.3.18). La limite du Théorème 1.3.23 est alors 4(κ2(κ− 1)/8)1/κ, ce qui coïncide précisément avec (1.1.7).
Le cas 0 < κ < 1 est beaucoup plus subtil et nécessite de pousser encore plus loin les méthodes utilisées aux Chapitres II et IV. La loi limite de L∗
X(t)/t est donnée par le Théorème 1.3.20 et elle dépend implicitement de la loi de la variable R, définie comme la convolution des lois de I(V↑) et de I((−V )↑). Dans l’étude de la lim sup de L∗
X(t), on relie le comportement asymptotique presque sûr de L∗
X(t) avec la queue à gauche de I(V↑) (ou de R dans le cas où V = Wκ). Cette queue est reliée au comportement asymptotique de ΨV par les résultats du Chapitre 3. La proposition suivante permet de relier précisément les queues des fonctionnelles exponentielles trouvées au Chapitre 3 avec la lim sup de L∗
Theorem 1.3.24. — On suppose que 0 < κ < 1, V est à variation non bornée, V (1)∈ Lp pour un p > 1 et V possède des sauts négatifs.
S’il existe γ > 1 et C > 0 tels que pour x suffisamment petit P I(V↑)≤ x≤ exp − C xγ−11 , (1.3.11) alors on a P-presque sûrement
lim sup
t→+∞
L∗ X(t)
t(log(log(t)))γ−1 ≤ C1−γ. (1.3.12) S’il existe γ > 1 et C > 0 tels que pour x suffisamment petit
P I(V↑)≤ x≥ exp − C xγ−11 , (1.3.13) alors on a P-presque sûrement
lim sup
t→+∞
L∗ X(t)
t(log(log(t)))γ−1 ≥ C1−γ. (1.3.14) — On suppose maintenant que V = Wκ avec 0 < κ < 1, alors les implications précédentes ( (1.3.11) ⇒ (1.3.12) et (1.3.13) ⇒ (1.3.14)) sont vraies, mais avec R à la place de I(V↑).
La proposition précédente fait la distinction entre le cas où V possède des sauts négatifs et celui où V est un mouvement brownien drifté Wκ. Notons que ces deux cas sont complémentaires : la formule (1.2.2) permet de voir que si V n’admet pas de sauts négatifs alors V est un mouvement brownien drifté qui s’écrit √QWκ
où Q, comme dans la la formule (1.2.2), est la composante gaussienne de V . Par un changement d’échelle, ce cas se ramène à celui où V = Wκ, d’où l’alternative considérée dans la proposition. La différence du résultat entre les deux cas vient de la présence ou non de symétrie pour l’environnement. En effet, la loi de la variable R est la convolution des lois de I(V↑) et de I((−V )↑). Si V possède des sauts négatifs seule la queue de I(V↑) est à prendre en compte dans la queue à gauche deR (comme le montrent les Théorèmes 1.3.5 et 1.3.15). Si V = Wκ, notons que (−Wκ)↑ a même loi que W↑
−κ qui a lui-même même loi que W↑
κ (voir Section 1.2.3), ainsi (−V )↑ et V↑ ont même loi, et la loi de R est alors la convolution de deux lois identiques dont aucune ne peut être négligée.
Remark 1.3.25. Les lim sup dans la proposition précédente sont presque sûrement égales à des constantes appartenant à [0, +∞] et les inégalités (1.3.12) et (1.3.14) sont des inégalités pour ces constantes. Il en est de même pour tous les résultats à suivre : toutes les lim sup et lim inf considérées sont presque sûrement égales à des constantes. Ce fait sera justifié à la fin du Chapitre 5.
1.3. DESCRIPTION DES RÉSULTATS OBTENUS
En combinant le Théorème 1.3.24 avec ce que le Chapitre 3 nous apprend sur la queue à gauche de I(V↑), plus précisément le Théorème 1.3.5, on obtient :
Theorem 1.3.26. Si 0 < κ < 1, V est à variation non bornée et V (1) ∈ Lp pour un p > 1 alors on a P-presque sûrement
∀β′ > β, lim sup t→+∞ L∗ X(t) t(log(log(t)))β′−1 = 0, (1.3.15) et
si de plus σ > 1 alors ∀σ′ ∈]1, σ[, lim sup
t→+∞
L∗ X(t)
t(log(log(t)))σ′−1 = +∞. (1.3.16) Le Théorème 1.3.24 est très précis dans le sens où la connaissance exacte de la queue à gauche de I(V↑) (ou de R si V = Wκ) entraine la connaissance de la renormalisation exacte de L∗
X(t) et de la valeur exacte de la lim sup. En se plaçant sous les hypothèses des Théorèmes 1.3.4 et 1.3.6 on obtient des résultats plus précis pour la lim sup :
Theorem 1.3.27. — On suppose que 0 < κ < 1, V est à variation non bornée, V (1)∈ Lp pour un p > 1 et V possède des sauts négatifs.
S’il existe deux constantes positives c < C et α ∈]1, 2] tels que cλα ≤ ΨV(λ)≤ Cλα pour λ suffisamment grand. On a alors P-presque sûrement
c αα ≤ lim sup t→+∞ L∗ X(t) t(log(log(t)))α−1 ≤ C (α− 1)α−1.
Si, plus précisément, il existe une constante positive C et α ∈]1, 2] tels que ΨV(λ)∼ Cλα pour λ grand, on a alors P-presque sûrement
lim sup t→+∞ L∗ X(t) t(log(log(t)))α−1 = C (α− 1)α−1.
— On suppose maintenant que V = Wκ avec 0 < κ < 1, on a alors P-presque sûrement lim sup t→+∞ L∗ X(t) t(log(log(t))) = 1 8.
Remark 1.3.28. En combinant le Théorème 1.3.24 et la Remarque 1.3.7 on a que si 0 < κ < 1, V est à variation non bornée et V (1) ∈ Lp pour un p > 1, alors on a toujours lim sup t→+∞ L∗ X(t) t(log(log(t))) < +∞.
En d’autres termes, t(log(log(t))) est la renormalisation maximale parmi toutes les autres possibles pour la lim sup.
Remark 1.3.29. De même que cela avait été constaté par Shi [61] et Diel [29] dans le cas récurrent (voir Remarque 1.1.6), on constate ici aussi une différence entre la renormalisation des RWRE transientes à vitesse nulle donnée par (1.1.14) et celles des diffusions transientes à vitesse nulle données par les résultats précédents. Cette différence peut s’expliquer de la même façon que dans le cas récurrent, c’est-à-dire par le fait que les vallées peuvent être beaucoup plus abrupte dans le cas continu avec un potentiel à variation non bornée que dans le cas discret, et donc les pics de temps local peuvent potentiellement être beaucoup plus grands dans le premier cas.
Les résultats précédents montrent que la renormalisation de L∗
X(t) pour la lim sup dépend directement du comportement asymptotique de ΨV. En particulier, le Théo-rème 1.3.27 montre que pour un environnement α-stable drifté (sans sauts positifs et avec α > 1), la renormalisation de L∗
X(t) est t(log(log(t)))α−1. On voit qu’il existe, pour des environnements Lévy spectralement négatifs, une plus grande variété de comportements presque sûrs qu’avec des environnements browniens driftés. Même si, pour des raisons techniques, les résultats précédents ne s’appliquent pas dans le cas où l’environnement V est à variation bornée, on peut légitimement conjecturer que le comportement de L∗
X(t) reste lié à la queue à gauche de I(V↑) qui est donnée par la Remarque 1.3.8. Ceci implique la conjecture suivante :
Conjecture 1.3.30. Si V est à variation bornée, on a P-presque sûrement 0 < lim sup
t→+∞
L∗ X(t)
t < +∞.
Si cette conjecture est vraie on aurait, pour des environnements à variation bor-née, la même renormalisation que dans le cas discret transient donné par (1.1.14). Ceci ne serait pas surprenant compte tenu du fait que le cas discret ne génère que des potentiels à variation bornée. De plus, si V est un processus de Lévy spectralement négatif, non monotone, à variation bornée, alors V est la différence d’un drift positif et d’un subordinateur. Les vallées ne peuvent alors pas être plus abrupte que le drift ce qui, conformément à l’explication heuristique de la Remarque 1.3.29, impose que la renormalisation de L∗
X(t) soit la même que dans le cas discret.
Pour la lim inf, il n’y a qu’une seule renormalisation possible. Nous prouvons le résultat suivant :
Theorem 1.3.31. Si 0 < κ < 1, V est à variation non bornée et V (1) ∈ Lp pour un p > 1 alors on a P-presque sûrement
0 < lim inf t→+∞ L∗ X(t) t/ log(log(t)) ≤ 1− κ κ(E[I(V↑)] + E[I((−V )↑)]). (1.3.17) Remark 1.3.32. Les espérances E[I(V↑)] et E[I((−V )↑)] sont finies puisque I(V↑) et I((−V )↑) admettent des moments exponentiels finis en vertu des Théorèmes 1.3.3 et 1.3.14.
1.3. DESCRIPTION DES RÉSULTATS OBTENUS
Exemple : L’expression (1.2.4) permet de calculer le premier moment de I(W↑ κ) : E[I(Wκ↑)] = 2/(1+κ). On rappelle de plus que (−Wκ)↑a même loi que W↑
κ, si bien que E[I(W↑
κ)] + E[I((−Wκ)↑)] = 4/(1 + κ). Ainsi, pour la diffusion dans l’environnement V = Wκ (avec 0 < κ < 1), la borne supérieure du Théorème 1.3.31 pour la lim inf devient (1 − κ2)/4κ. En mettant ceci en relation avec les résultats obtenus par Devulder [28], on voit que l’application du Théorème 1.3.31 dans le cas spécial d’un environnement brownien drifté améliore (1.1.11) et complète (1.1.10) en donnant une majoration explicite de la lim inf.
Il est intéressant de se demander pourquoi il existe, selon l’environnement choisi, une multitude de renormalisations possibles pour la lim sup, mais seulement une pour la lim inf. Nous proposons l’explication heuristique suivante : dans chaque vallée, le temps passé est environ égal au pic de temps local au fond de la vallée multiplié par une fonctionnelle exponentielle du fond de la vallée (qui est proche de R). La lim sup est liée aux grandes valeurs prises par le temps local à un temps fixé t, elle est approchée lorsque le pic de temps local au fond d’une vallée est très grand tandis que le temps passé dans cette vallée est de l’ordre au plus de t, une telle chose arrive quand la fonctionnelle exponentielle du fond d’une certaine vallée est très petite. Un lien très précis entre la lim sup et les petites valeurs d’une fonctionnelle exponentielle est d’ailleurs fait rigoureusement par le Théorème 1.3.24. La lim inf est quant à elle liée aux petites valeurs prises par le temps local à un temps fixé t, elle est approchée lorsque les pics de temps local au fond des premières vallées sont très petits tandis que la somme des temps passés dans ces vallées est de l’ordre au moins de t, une telle chose arrive quand les fonctionnelles exponentielles des fonds de quelques-unes de ces vallées sont grandes. On voit alors que la différence de comportement entre la lim sup et la lim inf vient de la différence entre la queue à gauche et la queue à droite de R. La queue à gauche est principalement celle de I(V↑) qui dépend du comportement asymptotique de ΨV d’après les Théorèmes 1.3.4-1.3.5-1.3.6, et il y a plusieurs possibilités pour le comportement de ΨV, selon le choix de l’environnement. D’un autre côté, la queue à droite est toujours exponentielle : elle est au plus exponentielle d’après les Théorèmes 1.3.3-1.3.14 et il sera justifié au Chapitre 3 (Remarque 3.3.5) qu’elle est au moins exponentielle. Ceci explique la différence des comportements entre les lim sup et lim inf.
En comparant les Théorèmes 1.3.22, 1.3.26 et 1.3.27 on constate que la renorma-lisation de la lim sup est plus grande dans le cas transient à vitesse nulle (0 < κ < 1) que dans le cas transient à vitesse positive (κ > 1), ce qui est en accord avec l’intui-tion. Il est cependant surprenant de constater que la renormalisation du cas transient à vitesse nulle est également plus grande que la renormalisation du cas récurrent don-née par (1.1.2) et par le Théorème 1.1.4. Nous interprétons ce phénomène de la façon suivante : dans le cas récurrent la diffusion est piégée au fond d’une vallée assez large, tandis que dans le cas transient à vitesse nulle la diffusion se retrouve successive-ment piégée au fond de vallées qui sont beaucoup plus étroites. Cette différence de largeur des vallées explique que les valeurs extrêmement grandes du temps local ont tendance à être plus grandes dans le second cas, malgré la transience.
Pour la lim inf les comportements mis en valeurs dans les différents cas sont en accord avec l’intuition : en comparant les Théorèmes 1.1.4, 1.3.31 et 1.3.23 on voit que la renormalisation de la lim inf dans le cas transient à vitesse positive est plus petite que la renormalisation du cas transient à vitesse nulle qui est elle-même plus petite que la renormalisation du cas recurrent.