Changements de variables dans R d

•Cas linéaire

On aura besoin dans la suite du résultat suivant, qui est intéressant en soi : Lemme

Si µest une mesure sur(R^d,B(R^d))invariante par translation (pour tousA∈ B(R^d)et a∈R^d,µ(a+A) = µ(A)) et telle que µ([0,1]^d)<∞, alors il existe une constanteC≥0 telle queµ=Cλd.

Démonstration : On écrit la preuve pourR², mais le principe est général. Vu queλ2([0,1[²) = 1, posonsC=µ([0,1[²)(<

∞). Par un résultat (admis) du premier chapitre, il suffit de montrer que, pour tout pavé ferméPdeR²,µ(P) =Cλ2(P) ce qui, par l’invariance par translation, se ramène à montrer que, pour tousa, b >0,

µ [0, a]×[0, b]

=Cab.

Pour toutn≥1, le carré semi-ouvert[0,1[² est l’union disjointe den² carrés semi-ouverts disjoints de côté _n¹, qui ont tous la même mesure pourµdu fait de l’hypothèse d’invariance par translation, donc cette mesure est

µh 0,1

n h2

= C n²; alors, pour tous entiersk, l≥0,

µh 0,k

n h×h

0, l n

h

=klC n² =Ck

n l n, en décomposant de même ce rectangle enklcarrés semi-ouverts disjoints de côté _n¹. Soit ensuitea, b >0. Pour toutn, on a l’encadrement

[0, an[×[0, bn[⊂ [0, a]×[0, b] ⊂ h

0, an+ 1 n

h×h

0, bn+1 n h

,

oùan=^bnac_n etbn=^bnbc_n (approximations deaetbde la forme ^k_n, par en-dessous) d’où, en prenant la mesureµ, Canbn≤µ [0, a]×[0, b]

≤C an+1

n

bn+1 n

ce qui donne l’égalité annoncée en passant à la limite vu quean→aetbn→b.

Proposition

SoitM une application linéaireR^d→R^d. On a, pourB∈ B(R^d), λd M(B)

=|detM|λd(B).

Autrement dit, siM est inversible,

M∗λd = 1

|detM|λd.

En particulier, pour B = [0,1]^d, on a l’interprétation suivante du déterminant de M : c’est le volume du parallélotope engendré par les vecteurs colonnes deM.

Et sif :R^d→Rest intégrable par rapport àλd, le théorème de transfert donne Z

R^d

f(M(x))dx= Z

R^d

f(y)d M_∗λd)(y) = 1

|detM| Z

R^d

f(y)dy.

Démonstration : SiM n’est pas inversible, l’image deM est incluse dans un hyperplanH; or les hyperplans ont une mesure nulle pourλd, doncλd(M(B))≤λd(H) = 0pour toutB∈ B(R^d). PuisquedetM = 0dans ce cas, la formule est vraie.(On pourrait objecter queM(B)n’est pas toujours borélien, mais cela n’est pas un vrai problème car il est inclus dansHqui est négligeable et on peut décider dans ce cas d’étendre naturellementλdparλd(M(B)) = 0)

SupposonsM inversible. AlorsλM :A7→λM(A) =λd(M(A))est une mesure surR^d(c’est la mesure image(M⁻¹)∗λd), qui est invariante par translation (par linéarité de M et invariance par translation de λd). De plus, λM([0,1]^d) <∞ puisqueM([0,1]^d)est borné. En vertu du lemme précédent,λM est multiple de la mesure de Lebesgue.

Il existe donc une constanteCM ≥0telle que, pour toutA∈ B(R^d), λd M(A)

=CMλd(A).

Vu queλd([0,1]^d) = 1, on aCM =λM([0,1]^d). On note que, pour toutes applications linéairesM etP, CM P =CMCP.

En effet, pourA= [0,1]^d,CM P =λd(M P(A)) =λd(M(P(A))) =CMλd(P(A)) =CMCPλd(A) =CMCP.

Notons aussi que, siM est orthogonale (^tM M =Id), alorsM etM⁻¹ préservent les distances, donc M préserve les boules centrées en0: siBest la boule de rayon 1, alorsM(B) =B, d’où

λd(B) =CMλd(B), orλd(B)>0, donc on conclut queCM = 1siM est orthogonale.

De façon générale, si M est inversible, il existe une matrice orthogonale O et une matrice symétrique S telles que M =OS (c’est la décomposition polaire : siS est une racine carrée symétrique de la matrice symétrique définie positive

tM M, on vérifie queO=M S⁻¹ est orthogonale). Il existe alorsP orthogonale etD diagonale telles queS=P DP⁻¹ (diagonalisation deS en base orthonormale). Ainsi,M =OP DP⁻¹ donc par le cas orthogonal

CM =COCPCDC_P−1=CD.

CommedetM = det(OP DP⁻¹) = detD, il reste seulement à voir que, dans le cas oùD est diagonale,CD=|detD|.

Mais si

D=















a1

0

a2

. ..

0

^ad













 ,

alorsD([0,1]^d) = [0, a1]×[0, a2]× · · · ×[0, ad]doncCD=λD([0,1]^d) =|a1| · · · |ad|=|detD|. Ceci conclut la preuve.

•Cas des C¹-difféomorphismes

On a vu que l’image deλd par une application linéaire bijectiveM est _|det¹_M|λd.

Dans le cas de l’image par une applicationnon linéaire ϕ, on peut néanmoins vouloir appliquer localement le cas linéaire. En effet, une applicationϕ:U →D(oùU etDsont des ouverts deR^d) estdifférentiablesi, près de chaque pointx∈U, elle peut s’approcher par une application linéaire dϕx appelée sa différentielle :

ϕ(x+h) =ϕ(x) +dϕx(h) + o

h→0(|h|).

L’application linéairedϕ_xa pour matrice lamatrice jacobienne deϕ=





 ϕ1

... ϕd





enx:

Jac_ϕ(x) = ∂ϕ_i

∂xj

(x)

1≤i,j≤d

,

et son déterminant est lejacobiendeϕenx:

Jϕ(x) = det Jacϕ(x) .

Par le cas linéaire, on s’attend à ce que l’image deλdparϕsoit, au voisinage dey=ϕ(x), proche de_|J¹

ϕ(x)|λd=

|J_ϕ⁻¹(y)|λd (à condition que Jϕ(x) 6= 0), ce qui suggère, puisque le facteur |J_ϕ⁻¹(y)| dépend du point y près duquel on considère la mesure, que la mesure image est (partout) la mesure à densité|J_ϕ⁻¹(z)|dλd(z)et donc, en intégrant, queR

f(ϕ(x))dx=R

f(y)|Jϕ⁻¹(y)|dy.

Ceci est justifié siϕ:U →Dest unC¹-difféomorphisme, c’est-à-dire queϕest de classeC¹, bijective, et que ϕ⁻¹ est aussi de classeC¹ (la dernière condition revient aussi à dire queJ_ϕ(x)6= 0pour toutx∈U) :

Théorème (Théorème de changement de variable dans R^d)

SoitU, D des ouverts deR^d. Soitf :D→Rmesurable, etϕ:U →D unC¹-difféomorphisme.

a) Si f est positive, alors

Z

D

f(y)dy= Z

U

f ϕ(x) Jϕ(x)

dx

et Z

U

f ϕ(x) dx=

Z

D

f(y)

J_ϕ−1(y) dy.

b) Sif est intégrable surD, la première égalité précédente a un sens (autrement dit,u7→f(ϕ(u))|Jϕ(u)|

est intégrable surU) et est vraie. Sif◦ϕest intégrable surU, alors il en est de même de la deuxième.

c) En particulier, la mesure image de λd parϕest la mesure de densité|J_ϕ−1|par rapport àλd : ϕ_∗(λd)_|U =|J_ϕ⁻¹| ·(λd)_|D.

(Ici,(λd)_|D est la restriction deλd àD, puisqueϕn’est définie que surD)

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4. Espaces L

¹

et L

²

Soit(E,A, µ)un espace mesuré. On rappelle la définition L¹(E,A, µ) =

f :E→Rmesurable

Z

|f|dµ <∞

,

et on peut définir de mêmeL¹_C(E,A, µ)pour les fonctions à valeurs dansC.

Plus généralement, sip >0, on note L^p(E,A, µ) =

f :E→Rmesurable

Z

|f|^pdµ <∞

,

et

L^∞(E,A, µ) =n

f :E →Rmesurable

il existeC >0tel que |f(x)| ≤C pourµ-presque toutx∈Eo (on dit queL^∞(E,A, µ)est l’espace des fonctions « bornées presque partout » surE)

Comme pourL¹, on abrège souvent L^p(E)et L^∞(E)si la mesure est donnée par le contexte. En particulier, systématiquement,L^p(R) =L^p(R^d,B(R^d), λ_d).

1 Espace L

¹

Pourf, g:E→Rmesurables, on rappelle quef =g presque partout (ouµ-presque partout) si µ {x∈E|f(x)6=g(x)}

= 0

et que, dans ce cas,f est intégrable si, et seulement sig est intégrable, et alors Z

f dµ= Z

gdµ.

On notekfk1= Z

|f|dµpourf ∈ L¹(E). On déduit des propriétés de l’intégrale que : – pour toutλ∈R, pour toutf ∈ L¹(E),kλfk₁=|λ| kfk₁

– pour tousf, g∈ L¹(E),kf+gk₁≤ kfk₁+kgk₁.

– pour toutf ∈ L¹(E), kfk1= 0si, et seulement sif = 0presque partout.

À cause du dernier point, k · k1 n’est pas une norme : en général, il y a des fonctions non nullesf telles que kfk₁= 0. Ceci mène aux définitions suivantes :

Définition

On note f ∼ g si f = g presque partout, et on définit L¹(E,A, µ) = L¹(E,A, µ)/∼, c’est-à-dire que l’on obtientL¹(E,A, µ)enidentifiantentre elles les fonctions égales presque partout : les éléments deL¹(E,A, µ) sont les classes de fonctions égales entre elles presque partout.

Par exemple, l’élément0∈L¹(E,A, µ)est l’ensemble des fonctions nulles presque partout.

Puisque deux fonctions égales presque partout ont la même intégrale, on pourra sans ambiguïté noter R f dµ pour f ∈L¹(E,A, µ)pour désigner l’intégrale de n’importe quelle fonction dans la classe f, et ainsi procéder comme si les éléments deL¹(E,A, µ) étaient des fonctions, c’est-à-dire que l’on pourraconfondre un élément deL¹ (une classe de fonctions) et l’un quelconque de ses représentants (l’une de ces fonctions), à ceci près que sif, g∈L¹(E,A, µ)sont égales presque partout, alorsf =g par définition.

En particulier, si on définit kfk1 = Z

|f|dµpour f ∈ L¹(E,A, µ), alors on a les mêmes propriétés qu’avant, etkfk1 = 0implique f = 0. Ainsi,k · k1 est une norme sur L¹(E,A, µ) : par l’identification entre elles des fonctions égales presque partout, on s’est artificiellement ramené à ce qu’une seule « fonction » soit de norme nulle.

Si une suite(f_n)_n dansL¹(E,A, µ)converge versf ∈L¹(E,A, µ)pour cette norme, on noteraf_n ^L

1(E,A,µ)

−→n f, ou simplementf_n −→^L1

n f.

Théorème

L’applicationf 7→ kfk1est une norme surL¹(E,A, µ)et, muni de cette norme, l’espace vectorielL¹(E,A, µ) est complet. C’est donc un espace de Banach.

On rappelle qu’un espace estcompletsi toute suite de Cauchy dans cet espace converge : si(fn)n est une suite de fonctions dansL¹telle que sup_p≥0kfn+p−fnk1−→

n 0, alors il existef ∈L¹ telle quekfn−fk1−→

n 0.

Démonstration : Soit(fn)n≥0une suite de Cauchy dansL¹. Il existe une suite strictement croissante d’entiers(nk)k≥0

(autrement dit une sous-suite(fn_k)k≥0) telle que, pour toutk,

kfn_k+1−fn_kk1<2^−k.

En effet, on peut définir(nk)kpar récurrence par n0= 0et, pour toutk≥0,nk+1= max(nk+ 1, Nn), où Nn= min{n≥0|sup

p≥n

kfp−fnk1<2^−k},

qui est fini par définition d’une suite de Cauchy. Pour alléger l’écriture, on posegk=fn_k. Par théorème de convergence monotone (pour les séries à termes positifs), on a

Z

donc la fonctionP

k≥0|gk+1−gk|est finie presque partout, ce qui implique que la sérieP

k≥0(gk+1(x)−gk(x))converge (absolument) pour presque toutx. On peut donc définir

h=g0+X

k≥0

(gk+1−gk),

en posant par exempleh(x) = 0si la série ne converge pas enx, ce qui n’a pas d’importance puisque de telsxforment un ensemble négligeable. Alorsh∈L¹ car, par le lemme de Fatou,

Z

et par l’inégalité triangulaire, Z

Or (par somme téléscopique),

gK =g0+

K−1

X

k=0

(gk+1−gk) converge vershpresque partout et, pour toutK,

|gK| ≤ |g0|+

ϕdµ < ∞, donc le théorème de convergence dominée donne R

|h−gK|dµ →K 0, c’est-à-dire que

Ceci conclut la preuve.

Au cours de la preuve, on obtient un résultat intéressant en soi :

Corollaire

Si (fn)n converge versf dansL¹, alors il existe une sous-suite(fn_k)k qui converge vers f presque partout.

Démonstration : En effet, si(fn)nconverge versf dansL¹,(fn)nest de Cauchy dansL¹ donc on peut lui faire suivre la preuve précédente, oùh=f puisquehest (d’après la fin de la preuve) la limite de(fn)n dansL¹. Et on a vu que la sous-suite de terme généralgK =fn_K converge versh(=f)presque partout.

On donne quelques résultats utiles de densité : Proposition

a) Les fonctions étagées intégrables sont denses dansL¹(E,A, µ).

b) Les fonctions en escalier sont denses dansL¹(R).

c) Les fonctions de classeC^∞ à support compact sont denses dansL¹(R^d).

2 Espace L

²

On note, pourf ∈ L²(E,A, µ),

kfk2= Z

|f|²dµ 1/2

et, plus généralement, sif, g∈ L²(E,A, µ), la fonctionf gest intégrable puisque|f g| ≤ ^|f|2+|g|₂ ² (cette inégalité s’obtient en développant(|f| − |g|)²≥0, ce qui est évident), et on note

hf, gi= Z

f g dµ.

h·,·iest bilinéaire symétrique positive : pour tousf, g, h∈ L²(E,A, µ), et toutλ∈R,

hλf+g, hi=λhf, hi+hg, hi, hf, gi=hg, fi, et hf, fi=kfk2≥0.

En revanche,h·,·i n’est pas définie positive :kfk2 = 0 implique f = 0 presque partout. Donc k · k2 n’est pas une norme, eth·,·in’est pas un produit scalaire surL²(E).

Comme précédemment, on définit L²(E,A, µ) = L²(E,A, µ)/∼, où f ∼ g lorsque f = g presque partout, c’est-à-dire que l’on identifie entre elles les fonctions deL²(E)qui sont égales presque partout. Alors :

Théorème

Sur l’espace L²(E,A, µ), l’application (f, g)7→ hf, giest un produit scalaire associé à la norme f 7→ kfk2

et, muni de ce produit scalaire, l’espace vectoriel L²(E,A, µ)est complet. C’est donc un espace de Hilbert.

Démonstration : La preuve s’adapte du cas deL¹sans difficulté. Il faut seulement remplacer la normeL¹par la norme L² et utiliser l’inégalité triangulaire pourk · k2au lieu de certaines égalités. Par exemple, la première suite d’égalités et inégalités devient : par convergence monotone, puis inégalité triangulaire,

X

k≥0

|gk+1−gk| 2

= lim↑

K

K

X

k=0

|gk+1−gk| 2

≤lim↑

K K

X

k=0

kgk+1−gkk2=X

k≥0

kgk+1−gkk2≤X

k≥0

2^−k<∞.

Signalons l’expression que prend l’inégalité de Cauchy-Schwarz : pour toutes fonctionsf, g∈L²(E), Z

f g dµ 2

≤ Z

f²dµ Z

g²dµ.

Les résultats de densité donnés pourL¹sont aussi valables pour L²: Proposition

a) Les fonctions étagées intégrables sont denses dansL²(E,A, µ).

b) Les fonctions en escalier sont denses dansL²(R).

c) Les fonctions de classeC^∞ à support compact sont denses dansL²(R^d).

La remarque suivante sera très utile en probabilités : Proposition

Si µ(E)<∞, alorsL²(E)⊂L¹(E).

Démonstration : Soit f ∈L²(E). Il faut montrer queR

|f|dµ <∞. On peut utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz avecg= 1:

Z

|f|dµ 2

≤ Z

|f|²dµ Z

1dµ=kfk²2µ(E) et le dernier terme est fini carf∈L²(E)etµ(E)<∞par l’hypothèse.

Probabilités

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