0
FIGURE6.39 – Courbe contribuant à F4(γ5,4, x3,4, γ3,2, x1,2).
3. en un bâtiment holomorphe de taille 0|1|1 avec à nouveau éventuellement plu-sieurs composantes d’indice 0 dans le niveau central et une composante d’indice 1 dans le niveau supérieur. Ces configurations contribuent enfin à
hµsε+ 1,...,d+1
(Fis ⊗ · · · ⊗ Fi1), γ+i
La somme de ces contributions vaut 0 car correspond à l’ensemble des éléments du bord de la compactification de M1(γ+; δ1, a1, . . . , δd, ad, δd+1). Ceci étant valable quel que soit γ+∈ C(Λ+
1, Λ+d+1), on en déduit la relation (6.66).
6.7 Vers une catégorie A
∞Dans cette dernière section, nous considérons le cas d’objets non transverses afin de définir une catégorie A∞ de cobordismes lagrangiens F uk−(Λ) associés à une sous-variété legendrienne Λ ⊂ Y . Les objets de cette catégorie sont les triplets (Σ, Λ−, ε−) où Λ− ⊂ Y est une sous-variété legendrienne, ε− est une augmentation de A(Λ−), et Σ est un cobordisme lagrangien exact de Λ− vers Λ. Étant donné deux tels cobor-dismes (Σ1, Λ−1, ε−1) et (Σ2, Λ−2, ε−2), ils ne sont pas transverses car en particulier ils ont le même bout positif. Il faut donc les perturber afin d’obtenir une paire de lagran-giennes transverses et de pouvoir ainsi calculer la différentielle m1 : CF−∞(Σ1, Σ2) → CF−∞(Σ1, Σ2) et l’application F1 : CF−∞(Σ1, Σ2) → C(Λ+1, Λ+2) où Λ+1 et Λ+2 sont des perturbations de Λ. Le même problème se pose pour calculer les produits md et les applications Fdpour un (d + 1)-uplet de cobordismes non transverses deux à deux Σ1, . . . , Σd+1.
Soient alors Σ1, . . . , Σd+1 un tel (d + 1)-uplet de cobordismes non transverses et soit T > 0 tel que Σi\[−T, T ] × Y ∩ Σisoient cylindriques. Il est nécessaire de faire un choix de perturbations pour définir les opérations mdet Fd. On les perturbe de la façon suivante. Pour 1 ≤ i ≤ d + 1, et > 0 petit, notons Σ0i := Φ(i−1)H
D (Σi) (voir section 5.3.3). Les cobordismes après perturbations sont donc transverses sauf éventuellement dans [−T, T ]×Y . On considère alors les lagrangiennes compactes Σ0
1, . . . , Σ0
leur associe des données de Floer et des données de perturbations comme le fait Seidel dans [Sei08]. Les opérations md et Fd sur CF−∞(Σd, Σd+1) ⊗ · · · ⊗ CF−∞(Σ1, Σ2) compte alors des courbes holomorphes qui satisfont l’équation du(z)◦j = J (z)◦du(z) dans les bouts cylindriques et l’équation perturbée dans [−T, T ] × Y , c’est-à-dire des courbes holomorphes asymptotes à des trajectoires de flots hamiltoniens provenant des données de Floer associées à chaque paire de lagrangienne (voir [Sei08, équation (8.9)]).
Remarquons cependant que la catégorie F uk−(Λ) construite de cette façon dépend des perturbations. Toutefois, remarquons aussi que le type de perturbations effectuées sur une famille Σ1, . . . , Σd+1 ∈ Ob(F uk(Λ)) fait apparaitre la (d + 1)-copie de Λ dans chaque tranche {t} × Y pour t > T . De plus, la catégorie d’augmentations ne dépend pas (à pseudo-équivalence près) du choix de perturbations sur la (d + 1)-copie, ainsi la famille d’applications {Fd}d≥0définies par (6.67) pour d ≥ 1
F : F uk−(Λ) → Aug−(Λ)
où l’opération F0 sur les objets est donnée simplement par F0(Σ, Λ−, ε−) = ε− ◦ ΦΣ. Le foncteur F est cohomologiquement plein et fidèle car pour tout Σ1, Σ2 ∈ Ob(F uk−(Λ)), l’opération F1 : CF−∞(Σ1, Σ2) → C(Λ+1, Λ+2) est un isomorphisme en homologie. L’existence de ce foncteur cohomologiquement plein et fidèle F peut laisser supposer que la catégorie F uk−(Λ) ne va pas dépendre des perturbations, tout comme Aug−(Λ) n’en dépend pas à pseudo-équivalence près. Mais justement, comme pour Aug−(Λ), la catégorie F uk−(Λ) n’est pas unitaire donc on ne peut pas parler d’équivalence de catégorie. En supposant que le type de perturbations faites pour cal-culer la catégorie Aug+(Λ) puisse se généraliser en dimension plus grande que 3, on pourrait alors perturber les cobordismes non transverses de telle sorte à obtenir une catégorie F uk+(Λ) unitaire et un foncteur F : F uk+(Λ) → Aug+(Λ) qui serait une équivalence.
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Noémie LEGOUT
Structures produits sur l’homologie de Floer des cobordismes lagrangiens
Product structures in Floer theory for Lagrangian cobordisms
Résumé
Dans cette thèse, nous construisons un produit sur le complexe de Floer associé à une paire de cobordismes lagrangiens, où ce complexe de Floer est un complexe quotient du complexe de Cthulhu défini par Chantraine, Dimitroglou-Rizell, Ghiggini et Golovko. Plus précisément, pour tout triplet de cobordismes lagrangiens exacts
transverses dans la symplectisation d’une variété de contact, nous définissons une application m2 en comptant des courbes holomorphes rigides à bord sur les cobordismes et asymptotes à des points d’intersection et à des cordes de Reeb dans les bouts legendriens négatifs des
cobordismes. En étudiant les dégénérescences de courbes holomorphes, on montre que m2 satisfait la relation de Leibniz sur les complexes de Floer associés.
Plus généralement, à tout (d + 1)-uplet de cobordismes lagrangiens transverses on associe une opération mddéfinie aussi par un compte de courbes holomorphes. Nous montrons que l’ensemble des opérations (md)d≥1forme une structure A∞.
Enfin, l’isomorphisme d’Ekholm-Seidel entre l’homologie de Floer des cobordismes et l’homologie de contact legendrienne des
legendriennes dans les bouts positifs s’étend en un morphisme A∞.
Abstract
We construct a product on the Floer complex associated to a pair of Lagrangian cobordisms. This complex is a quotient complex of the Cthulhu complex defined by Chantraine, Dimitroglou-Rizell, Ghiggini and Golovko. More precisely, given three exact transverse
Lagrangian cobordisms in the symplectization of a contact manifold, we define a map m2by a count of rigid holomorphic curves with boundary on the cobordisms and asymptotic to intersection points and Reeb chords in the negative
Legendrian ends of the cobordisms. By studying breakings of holomorphic curves, we prove that m2satisfy the Leibniz rule on Floer complexes. More generally, to a (d + 1)-tuple of exact
transverse Lagrangian cobordisms we associate a map mdwhich is again defined by a count of holomorphic curves. We show that the maps (md)d≥1are A∞composition maps.
Finally, we extend the Ekholm-Seidel
isomorphism between Floer homology of the cobordisms and Legendrian contact homology of the Legendrian positive ends to an
A∞-morphism.
Mots clés
sous-variétés legendriennes, homologie de contact legendrienne, cobordismes lagrangiens, homologie de Floer, catégories A∞.
Key Words
Legendrian submanifolds, Legendrian contact homology, Lagrangian cobordisms, Floer homology, A∞-categories.