Cas d’une géométrie simple : sphère de diamant

V.2 Etude des dimensions du diamant

V.2.1 Cas d’une géométrie simple : sphère de diamant

V.2.1.1 Influence de la densit´e du diamant

Les simulations MC sont utilisées pour étudier l’influence du matériau diamant sur la mesure de dose en mini-faisceaux. Pour cela, une sphère de diamant de différents diamètres, positionnée sur l’axe d’un faisceau de photons de 6 MV, à 5 cm de profondeur dans une cuve à eau et à 100 cm de la source de photons est modélisée. Les FOC sont calculés dans cette sphère pour différentes tailles de champs, à partir des PSF décrits précédemment, en prenant le champ de 10 × 10 cm2 comme champ de référence.

La Figure V.5 présente les courbes de FOC calculées avec le code PENELOPE pour différents diamètres de sphère : 0,5 mm, 1 mm et 2 mm. Ces FOC sont comparés à ceux obtenus en rempla¸cant le volume de diamant par de l’eau. Les FOC calculés dans le dia-mant sont en accord avec les FOC dans l’eau pour des tailles de champs supérieures ou

V.2 Etude des dimensions du diamant 2 × 2 cm2, quel que soit le diamètre des sphères modélisées. En revanche, pour le mini-faisceau de 0,5 × 0,5 cm2, le FOC calculé dans la sphère de diamant devient supérieur au FOC calculé dans la sphère d’eau pour les diamètres de 1 mm et 2 mm, avec un écart d’autant plus important que le diamètre de la sphère augmente. Cependant, le FOC cal-culé dans la sphère de diamant de 0,5 mm de diamètre est en accord avec le FOC dans l’eau, quelle que soit la taille de champ.

0 20 40 60 80 100 0,6 0,8 1,0 Sphère diamètre 2 mm diamant diamant densité 1 eau air FO C Côté du champ carré (mm) 0 20 40 60 80 100 0,6 0,8 1,0 diamant eau FO C Côté du champ carré (mm) Sphère diamètre 1 mm 0 20 40 60 80 100 0,6 0,8 1,0 Sphère diamètre 0,5 mm diamant eau FO C Côté du champ carré (mm)

Figure V.5 –Courbes de FOC calculées par simulations MC dans des sphères de différents matériaux (diamant,≪diamant≫avec une densité de 1, eau et air), pour différentes tailles de champs et différents diamètres de sphère.

Dans le cas d’une sphère de 2 mm de diamètre, correspondant au diamètre de la chambre d’ionisation de type PinPoint, la sphère de diamant est également remplacée par de l’air. Les valeurs de FOC calculées dans cette sphère d’air sont présentées sur la Figure V.5 et permettent de montrer que la dose en mini-faisceaux est sous-estimée avec une chambre d’ionisation, notamment à cause de la présence d’air qui augmente le manque d’équilibre électronique latéral. L’effet du large volume de détection de la chambre

d’ionisation sur la mesure de dose en mini-faisceaux n’est pas visible dans cette étude, car le FOC dans l’air est comparé au FOC dans l’eau dans une sphère de même diamètre. Mais cet effet de volume augmenterait l’écart entre le FOC dans la sphère d’air et le FOC dans l’eau en un point que l’on cherche à déterminer.

La sphère de diamant de 2 mm de diamètre est ensuite remplacée par une sphère con-tenant le même matériau carbone, avec le même potentiel moyen d’ionisation de 87,6 eV, mais présentant une densité de 1 comme l’eau. Les résultats des FOC mesurés dans cette sphère sont également présentés sur la FigureV.5 et montrent un très bon accord avec le FOC calculé dans l’eau pour toutes les tailles de champs. L’augmentation du FOC dans le diamant en mini-faisceaux serait donc due à la densité du matériau différente de celle de l’eau, comme l’ont évoqué Scott et al. [155] dans le cas du silicium des diodes et Fenwick et al. [156] dans le cas du diamant.

En conclusion de cette étude, le FOC calculé dans une sphère de diamant de 0,5 mm de diamètre est en accord avec le FOC calculé dans la sphère d’eau de même diamètre pour toutes les tailles de champs variant de 0,5 × 0,5 cm2 à 10 × 10 cm2.

V.2.1.2 Th´eorie de Bragg-Gray appliqu´ee au diamant

Pour les faisceaux de photons de haute énergie, la théorie de Bragg-Gray [157] permet de déterminer la dose dans l’eau à partir de la dose dans l’air mesurée avec une cham-bre d’ionisation, par l’intermédiaire du rapport des pouvoirs de ralentissement massiques moyens par collisions de l’eau et de l’air :

Deau = Dair Scol ρ eau air (V.1) La condition principale que doit respecter la cavité d’air est qu’elle ne doit pas perturber la fluence des électrons, ni leur distribution en énergie. Cette condition est vérifiée dans le cas d’une petite cavité, lorsque les dimensions de celle-ci sont très petites devant le parcours des électrons dans la cavité.

Pour calculer le rapport des pouvoirs de ralentissement massiques moyens par colli-sions, on utilise la fluence différentielle en énergie des électrons primaires dans l’eau ΦE

selon l’´equation suivante : Scol ρ eau air = REmax 0 ΦE Scol ρ (E) eaudE REmax 0 ΦE S_col ρ (E) airdE (V.2)

La théorie de Bragg-Gray ignore l’effet des électrons secondaires δ. La théorie de Spencer-Attix est une modification de cette première théorie qui prend en compte cette fois-ci les électrons secondaires [158]. Dans ce cas, le rapport des pouvoirs de ralentisse-ments massiques moyens par collisions est défini par la formule suivante et prendra la

V.2 Etude des dimensions du diamant notation de ^L∆ ρ eau air : L_∆ ρ eau air = REmax 0 ΦE L∆ ρ (E) eaudE + [Φ_∆Scol ρ (∆)∆]eau REmax 0 ΦE L∆ ρ (E) airdE + [Φ_∆Scol ρ (∆)∆]air (V.3)

Dans ce cas, ΦE est la fluence de tous les ´electrons, primaires et secondaires. ^L∆

ρ est le pouvoir de ralentissement massique par collisions restreint, défini comme étant la perte d’énergie par unité de longueur uniquement pour les collisions dans lesquelles le transfert d’énergie est inférieur à une énergie ∆. La valeur de ∆ est choisie de manière à ce qu’un électron possédant cette énergie parcourt une distance proche des dimensions de la cavité. Ces valeurs de ^L∆

ρ sont données dans le rapport ICRU n˚37 [159], pour certains matériaux, pour des valeurs de ∆ = 100 keV, 10 keV et 1 keV. La théorie de Spencer-Attix s’écrit alors : Deau = Dair L∆ ρ eau air (V.4) La condition de Bragg-Gray stipulant que la cavité d’air ne doit pas perturber la fluence des électrons est encore nécessaire pour la théorie de Spencer-Attix.

Dans cette étude, nous utilisons la théorie de Spencer-Attix, étant donné que les fichiers de sortie du code PENELOPE nous donnent la fluence en énergie de tous les électrons, primaires et secondaires. Le but de ce travail est de vérifier l’application de cette théorie dans le cas d’une sphère de diamant. Pour cela, les rapports Feau,diam = Deau

Ddiam sont cal-culés, avec Ddiam la dose absorbée dans la sphère de diamant et Deau la dose absorbée dans la sphère d’eau de même diamètre. Ces doses dans l’eau et dans le diamant ont été calculées dans le paragraphe précédent pour différentes tailles de champs et différents diamètres de sphère. Les rapports Feau,diam vont ensuite être comparés à ^L∆

eau diam. Les rapports Feau,diam sont représentés sur la Figure V.6 pour différentes tailles de champs et pour les différents diamètres de sphère étudiés précédemment. Ces résultats sont également indiqués dans le TableauV.4et montrent que le rapport Feau,diam est constant avec la taille du faisceau pour des champs supérieurs à 2 × 2 cm2. En dessous de cette taille de champ, la valeur de Feau,diam diminue rapidement avec la taille de champ, et ceci d’autant plus rapidement que le diamètre de la sphère est élevé. Ce résultat est comparable à celui obtenu par Fenwick et al. [156] pour un diamant de géométrie cylindrique, de 0,26 mm d’épaisseur et de 2,3 mm de diamètre. En effet, pour ce diamant placé à 5 cm de profondeur dans l’eau, dans un faisceau de 15 MV, Fenwick et al. [156] ont trouvé Feau,diam de l’ordre de 1,06 pour un champ de 0,5 × 0,5 cm2 et de 1,15 pour un champ de 10 × 10 cm2.

0 20 40 60 80 100 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20

F

^eau ,d iam

Côté du champ carré (mm)

Sphère diamètre 2 mm Sphère diamètre 1 mm Sphère diamètre 0,5 mm

Figure V.6 – Rapport Feau,diam = ^Deau

Ddiam calculé par MC pour différentes tailles de champs et différents diamètres de sphère.

Taille de champ (cm2) ^F^eau,diam⁼

Deau

Ddiam

Sphère diamètre 2 mm Sphère diamètre 1 mm Sphère diamètre 0,5 mm

0,5 × 0,5 1,025 ± 0,007 1,070 ± 0,015 1,137 ± 0,019

2 × 2 1,136 ± 0,012 1,153 ± 0,019 1,146 ± 0,020

5 × 5 1,149 ± 0,006 1,148 ± 0,009 1,155 ± 0,018

10 × 10 1,144 ± 0,019 1,145 ± 0,010 1,157 ± 0,021

Tableau V.4 – Valeurs du rapport Feau,diam= Deau

Ddiam calculé par MC pour différentes tailles de champs et différents diamètres de sphère.

Le rapport ^L∆

eau

diam de la théorie de Spencer-Attix est ensuite déterminé en appli-quant la Formule (V.3). Cette formule nécessite dans un premier temps le calcul des spectres en énergie des électrons traversant la sphère. Ceci est réalisé à l’aide du code PENELOPE. Dans un second temps, il faut également connaˆıtre les pouvoirs de ralen-tissements massiques restreints du diamant et de l’eau. Le rapport ICRU n˚37 fournit les valeurs de ^L∆

ρ de différents matériaux pour des valeurs maximales de ∆ = 100 keV, ce qui restreint l’étude à la sphère de 0,5 mm de diamètre. En effet, les électrons ayant une énergie de 100 keV ont un parcours dans le diamant de l’ordre de 0,5 mm. Pour les

V.2 Etude des dimensions du diamant sph`eres de 1 mm et 2 mm de diam`etre, des valeurs de ^L∆

ρ pour ∆ = 140 keV et 215 keV respectivement seraient n´ecessaires.

Ensuite, le rapport ICRU n˚37 ne fournit aucune donn´ee pour le diamant mais unique-ment les valeurs de ^L∆

ρ pour le graphite. La Figure V.7 pr´esente les pouvoirs de ralen-tissement massiques par collisions des ´electrons Scol

ρ pour le diamant et le graphite, ainsi que les valeurs de ^L∆

ρ pour le graphite issus du rapport ICRU n˚37 pour ∆ = 100 keV, en fonction de l’énergie des électrons. Ce dernier est différent du pouvoir de ralentissement non restreint du graphite uniquement sur une gamme d’énergie où ^Scol

ρ du diamant et du graphite sont équivalents. Ainsi, les données du rapport ICRU n˚37 pour le graphite peuvent être appliquées au matériau diamant pour le calcul de ^L∆

ρ du diamant. 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10⁶ 10⁷ diamant graphite

graphite, restreint pour = 100 keV

S ^col / ( eV .g -1 .c^m 2 )

Energie des électrons (MeV)

Figure V.7 –Comparaison des pouvoirs de ralentissement massiques par collisions des ´electrons pour le diamant et le graphite (donn´ees du code PENELOPE), ainsi que les valeurs de ^L∆

ρ pour le graphite issues du rapport ICRU n˚37 pour ∆ = 100 keV.

Le Tableau V.5 pr´esente les valeurs de ^L∆

eau

diam et de Feau,diam calculées par MC pour différentes tailles de champs, dans le cas de la sphère de 0,5 mm de diamètre. Ce tableau permet de montrer que la théorie de Spencer-Attix est valable pour cette petite sphère de diamant aux incertitudes statistiques près, pour les tailles de champs variant de 0,5 × 0,5 cm2 à 10 × 10 cm2.

Taille de champ (cm2) L_∆ ρ

eau

diam Feau,diam= D_eau D_diam

0,5 × 0,5 1,157 1,137 ± 0,019

2 × 2 1,156 1,146 ± 0,020

5 × 5 1,156 1,155 ± 0,018

10 × 10 1,155 1,157 ± 0,021

Tableau V.5 – Vérification de la théorie de Spencer-Attix dans le cas d’une sphère de diamant de 0,5 mm de diamètre, pour différentes tailles de champs, à l’aide des simulations MC.

Fenwick et al. [156] ont observé avec un diamant de 0,26 mm d’épaisseur et de 2,3 mm de diamètre, un écart à cette théorie de Spencer-Attix dans le cas des mini-faisceaux. Ils ont alors modifié cette théorie pour les conditions de manque d’équilibre électronique latéral. Pour cela, ils ont introduit des facteurs correctifs Fp et Ff lpour prendre en compte respectivement l’effet de la densité et la différence de fluence des électrons dans la sphère de diamant et la sphère d’eau. La théorie de la cavité s’écrit alors de la manière suivante :

Deau Dair = Pp.Pf l.^L^∆ ρ eau air (V.5)

Ces facteurs évalués par MC sont proches de 1 pour des tailles de champs supérieures à 2 × 2 cm2, d’après le travail de Fenwick et al. [156] ; on retrouve alors la théorie de Spencer-Attix. Dans le cas du diamant, Pf l reste proche de 1 pour les tailles de champs inférieures à 2 × 2 cm2, alors que Pp peut atteindre une valeur proche de 0,90 pour un champ de 0,5 × 0,5 cm2 dans le cas de la géométrie du diamant modélisée par ces auteurs (cylindre de 0,26 mm d’épaisseur et de 2,3 mm de diamètre). Pour obtenir une valeur de Pp proche de 1, Fenwick et al. indiquent qu’il faut diminuer les dimensions du diamant. Dans notre étude, le volume du diamant est diminuée par rapport à celui de leur travail, ce qui permet d’avoir une influence de la densité du diamant sur la dose plus faible et donc cela permet de vérifier la théorie de Spencer-Attix.

Ces r´esultats montrent ´egalement que le rapport^L∆

eau

diam ne varie pratiquement pas avec la taille de champ, comme l’ont montré Fenwick et al. [156]. Ainsi, l’approximation faite dans les protocoles de dosimétrie, qui consiste à ne pas prendre en compte ces rapports pour les mesures de FOC (paragrapheI.4.3.1du Chapitre 1), peut être appliquée avec le dosimètre diamant à condition de vérifier la théorie de Spencer-Attix pour toutes les tailles de champs et donc de présenter un petit volume de détection.

V.2 Etude des dimensions du diamant

Dans le document Développement d'un dosimètre diamant pour une mesure de la dose absorbée dans les mini-faisceaux utilisés en radiothérapie stéréotaxique. (Page 190-197)