4.3 Impl´ ementation et validation
4.3.5 Cas test exp´ erimental
On souhaite ici comparer la m´ethode de calcul de l’amortissement pr´esent´ee pr´ec´ edem-ment avec un r´esultat exp´erimental simple. On consid`ere donc une cuve parall´el´epip`edique (voir Fig. 4.6) dont les dimensions sont donn´ees par le tableau 4.5.
Cette g´eom´etrie pr´esente l’avantage d’avoir une solution analytique simple. Les
pulsa-6. Pour chaque mode de ballottement, on peut associer une pression eul´erienne en tous points que l’on d´eduit `a partir de l’´equation (1.6) :pE =ρFω2
iϕi+πi
Figure 4.4 – Exemple de mode propre de ballottement obtenu. Dimension de la cuve : diam`etre 5.532 cm, hauteur 3.80 cm. La couleur du fluide est donn´ee par sa fluctuation de pression en tout point.
4.3. IMPL ´EMENTATION ET VALIDATION
Hauteur (H) 0.67
Hauteur de la surface libre (h) 0.5695
Largeur (l) 0.118
Longueur (L) 0.946
Figure 4.5 – Dimension de la cuve (en m`etres).
Figure 4.6 – Repr´esentation du mod`ele num´erique de la cuve ´etudi´ee. tions propres vont ainsi avoir la forme suivante [1] :
ωm,n2 =g k tanh(k h) avec k2=π2 m2 L2 + n 2 P2 ,(m, n)∈N (4.48) Le tableau 4.7 pr´esente un comparatif entre la valeur analytique et num´erique des 10 premiers modes de la cuve que l’on ´etudie. Certains de ces modes sont repr´esent´es dans la figure 4.8.
L’exp´erience, r´ealis´ee sur le banc exp´erimental de la soci´et´e Bureau Veritas, consiste `
a exciter la cuve dans le sens longitudinal de fa¸con sinuso¨ıdale `a la fr´equence du premier mode de ballottement dont la valeur analytique est de 0.888 Hz (c’est le d´eplacement de la cuve que l’on impose ici). Une fois le r´egime permanent atteint, la cuve est bloqu´ee et l’on observe la surface libre osciller. Une cam´era plac´ee sur le cˆot´e enregistre le mouvement du liquide.
4.3. IMPL ´EMENTATION ET VALIDATION
No Mode (m,n) Valeur analytique (Hz) Valeur num´erique (Hz) Erreur (%)
1 (1,0) 0.8880 0.8881 0.01 2 (2,0) 1.2840 1.2848 0.06 3 (3,0) 1.5734 1.5754 0.13 4 (4,0) 1.8168 1.8209 0.23 5 (5,0) 2.0313 2.0383 0.34 6 (6,0) 2.2252 2.2362 0.49 7 (7,0) 2.4034 2.4197 0.68 8 (8,0) 2.5694 2.5789 0.37 9 (0,1) 2.5721 2.5888 0.65 10 (1,1) 2.5821 2.5921 0.39
Figure4.7 – Comparaison des 10 premi`eres fr´equences propres de ballottement calcul´ees avec leur valeur analytique.
Mode `a 0.8881 Hz Mode `a 1.2848 Hz
Mode `a 2.5790 Hz Mode `a 2.5889 Hz
Figure 4.8 – Exemples de mode de ballottement de la cuve.
4.3. IMPL ´EMENTATION ET VALIDATION
Figure 4.9 – Exemples de photographies du maximum (`a gauche) et du minimum (`a droite) d’une oscillation de la surface libre. Entour´ee en rouge, l’intersection entre la surface libre et la paroi de la cuve, correspondant au point de mesure de l’altitude z.
d´ecr´ement logarithmique que l’on d´efinit de la mani`ere suivante :
δi= 1 r ln z(t=tmaxi )−z(t=tmini ) z(t=tmaxi +rT)−z(t=tmini +rT) (4.49)
z(t=tmaxi ) etz(t=tmini ) correspondent respectivement `a l’altitude maximum et minimum de la surface libre pour l’oscillationi, atteint au tempst=tmaxi ett=tmini .T correspond `a la p´eriode de l’oscillation etr est un nombre entier naturel non nul quelconque. On choisit icir= 6. Ce qui permet d’avoir 7 mesures du d´ecr´ement tout en lissant chaque estimation de δi sur 6 p´eriodes. `A partir de ces valeurs, on en d´eduit la valeur de l’amortissementξi
pour chaque oscillationid´efinie par :
ζi = s 1 1 + 2π δi 2 (4.50)
Le graphique 4.11 pr´esente les r´esultats exp´erimentaux obtenus. En moyennant ces valeurs on obtient une mesure de l’amortissement pour le premier mode `a 3.659.10−3.
En utilisant la m´ethode pr´esent´ee pr´ec´edemment, on obtient le r´esultat num´erique illustr´e par la figure 4.10 o`u l’amortissement modal pour les 10 premiers modes est donn´e. Comme on a pu le remarquer dans la partie 4.2, la contribution de l’amortissement associ´e `a la viscosit´e du fluide dans le volume du liquide est ici bien plus faible.
Ainsi, la valeur num´erique de l’amortissement pour le premier mode est de 2.848×10−3 ce qui correspond `a une erreur d’environ 22 %. Si l’ordre de grandeur a pu ˆetre atteint,
4.3. IMPL ´EMENTATION ET VALIDATION No ζΩ i (×10−3) ζΣ i (×10−5) Total (×10−3) 1 2.844 0.378 2.848 2 2.372 1.031 2.383 3 2.144 1.849 2.163 4 1.996 2.769 2.024 5 1.888 3.753 1.926 6 1.805 4.769 1.852 7 1.738 5.790 1.796 8 1.695 6.950 1.765 9 1.898 7.034 1.969 10 1.682 6.792 1.750
Figure 4.10 – Valeurs des coefficients d’amortissement pour les 10 premiers modes dans le volume fluide not´es ζΩ
i et repr´esent´es en rouge, et la contribution de l’amortissement aux parois not´eeζiΣ et repr´esent´ee en bleu.
Figure4.11 – Valeur du coefficient d’amortissement en fonction du num´ero de l’oscillation.
la valeur calcul´ee reste nettement en dessous de la valeur mesur´ee, ce qui est en accord avec le fait que les autres sources d’amortissement manquantes introduites au d´ebut du chapitre et li´ees aux effets de capillarit´e n’ont pas ´et´e prises en compte. Ce probl`eme a ´et´e constat´e par un grand nombre d’auteurs.
En effet, il est tr`es difficile d’´eviter que la surface libre d’un liquide en contact avec une atmosph`ere non contrˆol´ee soit ”pollu´ee” par la pr´esence d’impuret´es (´eventuellement dues `
a des ph´enom`enes physico-chimiques impr´evus). Cettecontamination n’est pas forc´ement observable `a l’oeil nu mais il a ´et´e montr´e exp´erimentalement qu’elle joue un rˆole signifi-catif sur l’amortissement des vagues `a la surface du liquide [26, 33] puisqu’elle lui donne un comportement visco´elastique. La pr´esence d’impuret´es a tendance `a empˆecher toute d´eformation de la surface [15].
De plus, `a la suite d’observations exp´erimentales effectu´ees sur des bassins de petites tailles contenant des liquides de natures diff´erentes (mouillants ou non mouillants), Keulegan a
4.3. IMPL ´EMENTATION ET VALIDATION
identifi´e l’adh´erence du liquide sur la paroi (li´ee `a la tension de surface) comme une source de dissipation [60]. Un certain nombre de travaux ont mis en ´evidence que l’´energie dissi-p´ee par ces ph´enom`enes de capillarit´e `a la ligne de contact (”damping by wetting”) peut exc´eder celle qui est dissip´ee par la viscosit´e [51] et est donc essentielle `a prendre en compte en particulier quand le fluide est peu visqueux [81].