1. Choisir un espace de probabilité (Ω,A,P) et un couple de variables (X, Y) qui a pour margi-nales µ0 et tel que sa loi soit la même que la loi de(Y, X).
2. Choisir une application α : F0 −→ F = {F : S2 −→ R, E(|F(X, Y)|) < ∞ et F(x, y) =
−F(y, x)}.
3. Soit maintenant T :F −→ X0 déni parT(F)(x) =E(F(X, Y)|X =x) pour tout x∈S. On prend alorsT0=T◦α comme opérateur de Stein.
Sans plus attendre, appliquons tout cela à un cas concret : lorsqueµ0 est une loi de Poisson.
6.2 Cas de la loi de Poisson
En gardant les notations précédentes, nous regardons l'espace mesurable (S,S) = (N,P(N)) muni d'une quelconque mesure µ, et F0 ={h :N−→ Rµ−mesurable}. L'objet de cette partie est de comparer µ à une loi de Poisson qui vit aussi sur (N,P(N)), via la méthode de Stein. Prenons alorsµ0 =P(λ).
Essayons de construire un opérateur de Stein pour µ0. Pour cela nous adoptons la méthode énoncée ci-dessus. Soit {Zt, t ∈ R+} un processus stationnaire de naissance (avec intensité λ) et de mort (avec intensité i au rang i) sur N. On sait que la loi stationnaire d'un tel processus est P(λ) =µ0. Pouru >0on a alors(Z0, Zu)est un couple de variables de marginaleµ0 qui a la même loi que (Zu, Z0).
Maintenant considérons l'application α : F0 −→ F qui à g ∈ F0 associe α(g) : (k, l) 7−→
g(k) −g(l) pour tout k, l ∈ N. Enn on a T : F −→ F0 qui à F ∈ F associe T(F) : k 7−→
E(F(Z0, Zu)|Z0=k)pour tout k∈N.
Ainsi pour g∈ F0 etk∈Non a :
u→0lim+ 1
u(T◦α)(g)(k) = lim
u→0+
1
uE(g(Zu)−g(Z0)|Z0 =k)
= lim
u→0+
1
uE(g(Zu)−g(k)|Z0 =k).
Or grâce aux propriétés d'un processus de naissance et de mort, on sait que : 1
u(P(Zu=k)−P(Z0 =k)) =kP(Z0 =k−1) +λP(Z0 =k+ 1)−(k+λ)P(Z0 =k), et donc :
u→0lim+ 1
u(T◦α)(g)(k) = λg(k+ 1) +kg(k−1)−(λ+k)g(k)
= T0(f)(k),
avec f(k) =g(k)−g(k−1)etT0(f)(k) =λf(k+ 1)−kf(k). Finalement on a trouvé une forme de l'opérateur de Stein, qui est :
T0 :F0 −→ F0
f 7−→ T0(f) :k7−→λf(k+ 1)−kf(k)
Maintenant que nous avons notre opérateur de Stein, énonçons une première proposition.
Méthode de Stein 6.2 Cas de la loi de Poisson
Proposition 6.1 L'équation de Stein (6.10) avec leT0que nous venons de construire, admet pour tout h∈ X0 une solutionf, unique à f(0) près. De plusf peut être explicitée de la sorte :
Le premier point résulte de la dénition de l'équation de Stein. De plus pour h ∈ X0 et f la transformée de Stein associée, on choisit f(0) = 0et on a en remplaçant dans (6.10) : λf(k+ 1)−
Ce qui démontre (6.11). Pour (6.12), il sut de remarquer que :
∞
Les expressions (6.11) et (6.12) vont nous être utiles pour les prochains résultats que nous allons établir. Mais avant, énonçons le Lemme de Stein qui caractérise la loi de Poisson sur (N,P(N)).
Condition susante :R
NT0f dµ= 0 pour toutef :N−→Rbornée. SoientA⊂N,hA= 1AetfAla transformée de Stein associée àhA.fA est donc bornée et par hypothèse on a donc :
Z
Méthode de Stein 6.2 Cas de la loi de Poisson
Ceci étant vrai pour tout A⊂N, on en déduit queµ=µ0=P(λ)
Introduisons pour le reste du paragraphe les constantes suivantes, appelées parfois facteurs de Stein :
k1(λ) = 1∧ r 2
λe, k2(λ) = 1−e−λ
λ .
Voici une première proposition. Notons kfk = supi∈N|f(i)| la norme uniforme, et ∆f(k) = f(k+ 1)−f(k).
Proposition 6.2 Soient h∈ X0 etf la solution de l'équation de Stein (6.10). On a : 1. kfk ≤k1(λ)(supih(i)−infih(i))
2. k∆fk ≤k2(λ)(supih(i)−infih(i)) Démonstration :
∗Considérons déjà un cas particulier, celui oùh= 1{k}aveck∈N. On note alorsf{k}la transformée de Stein associée. Soit i∈N. Distinguons les cas selon la position de ipar rapport à k.
Sii < k alors on développef{k} grâce à (6.11), ce qui donne :
f{k}(i) =−e−λλk k!
(i−1)!
λi
i−1
X
j=0
λj j!. Or −e−λ λk!k est toujours négatif. De plus :
(i−1)!
λi
i−1
X
j=0
λj j! =
i−1
X
j=0
(i−1)· · ·(i−j+ 1) λi−j
≤
i
X
j=0
i(i−1)· · ·(i−j+ 1)
λi+1−j .
Cela signie que pouri < k,f{k} est décroissante eniet donc ∆f{k}(i)≤0. Sii > k alors on développef{k} grâce à (6.12), ce qui donne :
f{k}(i) =e−λλk k!
(i−1)!
λi
∞
X
j=k
λj j!. Or e−λ λk!k est toujours positif. De plus :
(i−1)!
λi
∞
X
j=i
λj j! =
∞
X
j=i
λj−i i(i+ 1)· · ·j
≥
∞
X
j=i+1
λj−i−1 (i+ 1)· · ·j.
Ce qui signie encore que pour i > k,f{k} est décroissante eniet donc ∆f{k}(i)≤0.
Méthode de Stein 6.2 Cas de la loi de Poisson
Il s'agit de l'inégalité voulue pourf{k}.
∗ Considérons maintenant h ∈ X0 quelconque. On ne change pas l'équation de Stein (6.10) en remplaçanth parh+=h−infih(i)≥0. On peut donc considérerh positive. Pourf la transformée de Stein associée, remarquons que l'on a pouri∈N:
∞
L'échange des deux signes somme est justié par le fait que si on noteM =khk alors : (i−1)!
et comme on avait pris hpositive, pour hquelconque on obtient : sup
En remplaçanth par−h, la solution de l'équation de Stein devient −f grâce à la linéarité deT0 et on obtient de la même façon :
Méthode de Stein 6.2 Cas de la loi de Poisson
En conclusion on a bien l'inégalité voulue à savoir : k∆fk ≤k2(λ)(sup
i
h(i)−inf
i h(i)).
Passons maintenant au vif du sujet. On considère un ensemble discret ni, disonsΓ ={1, . . . , n}. Soit {Xi}i∈Γ un ensemble ni de variables aléatoires qui suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètrepi. Notons leur sommeW =P
i∈ΓXietµla loi deW. On note aussiλ=P
i∈Γpi =E(W). Rappelons quekµ−µ0kV T = supA⊂N|µ(A)−µ0(A)|. Ainsi siA⊂Neth= 1A,fAla transformée de Stein associée, alors on a par le théorème du transfert :
µ(A)−µ0(A) = Z
N
T0fAdµ= Z
N
λfA(i+ 1)−if(i)dµ(i) =E(λfA(W + 1)−W fA(W)).
Et donc :
kµ−µ0kV T = supA⊂N|E(λfA(W + 1)−W fA(W))|
On va alors pouvoir par la suite, se concentrer sur|E(λfA(W+1)−W fA(W))|. Enonçons maintenant le théorème suivant, établi par Chen (1975).
Théorème 6.1 Pour chaque i∈Γ, on se donne une partition de Γ\{i}= Γsi tΓwi . On pose alors Zi =P
j∈ΓsiXj et Wi =P
j∈Γwi Xj. Alors : kµ−µ0kV T ≤k2(λ)X
i∈Γ
(pjE(Xi+Zi) +E(XiZi)) +k1(λ)X
i∈Γ
E|pi−E(Xi|Wi)|.
Remarque : Dans l'énoncé de ce Théorème 6.1, la partition de Γ\{i} est quelconque, mais dans la pratique on s'arrangera en général à partitionner de la façon suivante : Γsi ={j ∈Γ\{i}, Xj dépend fortement de Xi}etΓwi = (Γ\{i})\Γsi. En particulier quand lesXj sont toutes indépendantes, on a Γsi =∅,E(Xj|Wj) =E(Xj) et le résultat du théorème se réduit à :
kµ−µ0kV T ≤k2(λ)X
i∈Γ
p2i.
Un exemple d'application de ce théorème est donné par le Problème de la date d'anniversaire.
Démonstration :
Soit A⊂N. On a en gardant toujours les mêmes notations : E(λfA(W + 1)−W fA(W)) = X
i∈Γ
E(pifA(W + 1)−XifA(W))
= X
i∈Γ
E(pifA(W + 1)−pifA(Wi+ 1) +pifA(Wi+ 1)
−XifA(Wi+ 1) +Xifa(Wi+ 1)−XifA(W)).
Et pour i∈Γ, commefA prend des valeurs entières, on a :
|fA(W + 1)−fA(Wi+ 1)| ≤ k∆fAk(W −Wi) =k∆fAk(Xi+Zi),
|XifA(Wi+ 1)−XifA(W)| ≤ k∆fAkXi|Wi+ 1−W|=k∆fAkXiZi,
Méthode de Stein 6.2 Cas de la loi de Poisson
puis pour pifA(Wi + 1)−XifA(Wi+ 1), on regarde l'espérance de l'espérance conditionnelle par rapport à Wi :
|E(pifA(Wi+ 1)−XifA(Wi+ 1))| = |E(E(pifA(Wi+ 1)−XifA(Wi+ 1)|Wi))
= |E(fA(Wi+ 1)(pi−E(Xi|Wi)))
≤ kfAkE|pi−E(Xi|Wi)|.
On obtient ainsi :
|E(λfA(W + 1)−W fA(W))| ≤ k∆fAkX
i∈Γ
(piE(Xi+Zi) +E(XiZi)) +kfAkX
i∈Γ
|pi−E(Xi|Wi)|.
Le résultat découle de cette inégalité combinée à la Proposition 6.2, en remarquant qu'icih est une indicatrice, on a supih(i)−infih(i) = 1
Après cette approche locale, regardons celle qui motive notre étude de la méthode de Stein : l'approche par couplage, qui permet comme le précédent Théorème de majorer la variation totale entre une mesureµ et une loi de Poisson. On garde les mêmes notations que ci-dessus.
Théorème 6.2 On se donne W = P
i∈ΓXi et pour i∈ Γ, les ensembles Γsi, Γwi et les variables aléatoires Zi=P
j∈Γsi Xj, Wi =P
j∈Γwi Xj comme considérés plus haut. Soient alors fWi1 et Wi1 de lois respectives L(Wi|Xi = 1)et L(Wi) dénies sur le même espace de probabilité. Alors on a :
kL(W)− P(λ)k ≤k2(λ)X
i∈Γ
(piE(Xi+Zi)E(XiZi)) +k2(λ)X
i∈Γ
piE|Wi1−Wfi1|.
Remarque : Nous verrons une application directe de ce résultat dans le deuxième exemple de la sous-partie suivante.
Démonstration :
On procède de façon similaire à la démonstration du Théorème précédent. Soient A⊂N,h= 1Aet fA la transformée de Stein associée. On écrit alors :
E(λfA(W + 1)−W fA(W)) ≤ k∆fAkX
i∈Γ
(piE(Xi+Zi) +E(XiZi)) + X
i∈Γ
E(pifA(Wi+ 1)−XifA(Xi+ 1)).
Mais cette fois le second terme du membre de droite, nous allons le majorer de la façon suivante :
|E(pifA(Wi+ 1)−XifA(Wi+ 1))| = |piE(fA(Wi+ 1))−E(Xi)E(fA(Wi+ 1)|Xi= 1)|
= |pi(E(fA(Wi+ 1))−E(fA(Wi+ 1)|Xi = 1))|
= |piE(fA(Wi1+)−fA(Wfi1+ 1))|
≤ pik∆fAkE|Wi1−Wfi1| Le résultat en découle en appliquant la Proposition 6.2
Remarque : Dans l'exemple Un problème classique d'occupation qui applique directement ce résultat, nous avons à faire à des variables de Bernoulli qui vérientXei,j ≤Xj pour toutj(voir les notations ci-après), ce qui nous verrons, simpliera considérablement nos calculs. Il semble donc important d'introduire cette notion plus formellement.
Soient toujours pareil X1, . . . , Xn variables de Bernoulli et W = P
i∈ΓXi. Pour i ∈ Γ, on considère {Xei,j, j 6=i} et {Xi,j, j 6= i} des variables aléatoires sur le même espace de probabilité telles que
L(Xei,j, j 6=i) = L(Xj, j 6=i|Xi= 1), (6.13)
L(Xi,j, j 6=i) = L(Xj, j 6=i). (6.14)
Méthode de Stein 6.2 Cas de la loi de Poisson
Voici un Lemme qui caractérise les variables positivement liées et celles négativement liées.
Lemme 6.2 Les variables de Bernoulli X1, . . . , Xn sont positivement (resp. négativement) liées si et seulement si, pour tout i∈Γ et toute fonction croissante ϕ:{0,1}n−1→ {0,1} on a :
E(ϕ(X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . , Xn)|Xi = 1)≥(resp.≤)E(ϕ(X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . , Xn)).
Enonçons à présent le dernier Théorème de cette section.
Théorème 6.3 Dans ces mêmes conditions, on a la majoration suivante avec λ=E(W) : kL(W)− P(λ)kV T ≤ k2(λ)
Remarque : Une application directe de ce Théorème se place dans le troisième exemple ci-dessous.
Démonstration :
Et le résultat en découle en appliquant cette majoration dans (6.15)
Nous pouvons maintenant nous concentrer sur trois exemples qui reêtent ce que l'on vient d'établir.