Cas particuliers

• La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère, non horizontale et non verticale, donc les coordonnées d'un seul point suffisent pour tracer la droite.

• La représentation graphique d'une fonction affine non constante est une droite non horizontale et non verticale, donc les coordonnées de deux points suffisent pour tracer la droite.

• La représentation graphique d'une fonction constante est une droite horizontale, donc les coordonnées d'un seul point suffisent pour tracer la droite.

Construire une représentation graphique



^Énoncé

• Représente graphiquement la fonction linéaire

f

définie par

f

(

x

) = − 0,5

x

.

• Représente graphiquement la fonction affine

g

définie par

g

:

x

3

x

₋ 2.

Correction

•

f

est une fonction linéaire donc

sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère.

Pour tracer cette droite, il suffit de connaître les coordonnées d'un de ses points.

f(6)=- 3

. (

d

f) est la droite (OA) avec A(6 ; − 3).

g

est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite.

Pour tracer cette droite, il suffit de connaître les coordonnées de deux de ses points.

g

(-1)=-5 et

g

(2)=4.

(

d

g) est la droite (BC) avec B(− 1 ; − 5) et C(2 ; 4).

FONCTIONS • B3

0 1 1

(

d

f) (

d

g)

1

1

3

−0,5 B

A C

0

− 1 1

− 4

− 2

− 3

1 2

− 2 − 1

1,5

179

4 4

_Entraîne-toi àEntraîne-toi à

Choisir la représentation adaptée

Choisir la représentation adaptée



^Énoncé

En cours de sciences physiques, Inés et Diogu ont réalisé un circuit électrique avec un générateur de courant variable. Ils veulent trouver la valeur de la résistance R (en Ω) de ce circuit.

Intensité en A 0,0029 0,0117 0,0234

Tension en V 1,5 6 12

Voici les mesures obtenues.

Interprète ce tableau de valeurs.

Correction

On considère ce tableau comme le tableau de valeurs d'une fonction

f

qui à I associe U.

Un tableur-grapheur donne le graphique suivant.

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25

Intens ité en m A

Tension en V

On reconnaît la représentation graphique d'une fonction linéaire. On détermine son coefficient :

1,5 ÷ 0,0029 ≈ 517.

A partir de la formule U=RI on déduit que le circuit est donc composé d'une résistance de 517 Ω.



^Énoncé

Avec une plaque de carton rectangulaire de 8 dm par 10 dm, en découpant quatre carrés identiques, on obtient le patron d'une boîte (sans couvercle !).

On veut trouver la longueur du côté des carrés à découper pour obtenir une boîte dont le volume sera maximal.

On note

x

cette longueur en cm.

Estime ce volume maximal et la longueur

x

au cm près.

Correction

Le volume de cette boîte est donné par la formule :

V = Longueur × largeur × hauteur soit V = (10 – 2

x

_{) × (8 – 2}

x

_{) ×}

x

On appelle

f

la fonction qui à

x

associe ce volume. Un tableur-grapheur donne la représentation de la fonction

f

.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 0

20 40 60

dimension de la découpe

On estime le volume maximal aux environs de 1,5. On affine avec un tableau de valeurs.

x

^{1,4 1,5 1,6}

V=

f

(

x

) 52,416 52,5 52,224 Le volume est maximal pour 1,5 dm (environ).

FONCTIONS • B3

3 3

180

x x

10 dm

8 dm

x

3 5

Niveau3

1 Indique, en justifiant, si les fonctions sont linéaires, affines ou ni l'un ni l'autre.

a.

f

(

x

) =

x

²− 2 b.

g

(

x

) = 8 − 9

x

c.

h

(

x

) = 3

5

x

^d.

k

(

x

) = (13 − 8

x

)²− 64

x

² e.

l

(

x

) =2

x

2 La fonction

h

est définie par la formule

h

(

x

) = 3

x

(5

x

² − 2).

Calcule l'image de − 2,5 ; de 20 puis de 0 par la fonction

h

. 3 Soit une fonction

l

telle que

l

(−2) = 12 et

l

(7) = 15.

a. Peux-tu trouver l'image de −5 ?

b. Traduis cette phrase : « l'image de 8 par la fonction

l

est 10 » par une égalité.

4 Détermine l'image de −4 par la fonction affine

h

définie par

h

(

x

) =−8

x

 3.

5 Détermine l'antécédent de −6 par la fonction affine

h

définie par

h

(

x

) =−

x

 3.

6 Pour une fonction

p, on considère

le tableau de valeurs suivant.

x

−10 −3 −1 0 2,5 5 6

p

(

x

) −5 −1 0 1,5 8 0 −3

a. Détermine l'image de −10 puis l'image de 2,5 par la fonction

p

. b. Détermine un (des) antécédent(s) de −3 puis de 0 par la fonction

p

.

7 Le graphique ci-dessous représente une fonction

f

définie pour

x

compris entre −4 et 4.

a. Détermine

f

(−3) et

f

(2).

b. Détermine le(s) antécédent(s) de −2 et de −3,2 par

f

.

8 Le graphique ci-dessous représente une fonction

g

pour

x

compris entre −1 et 8,8.

a. Détermine les images de 2 et de −1 par

g

. b. Détermine le(s) antécédent(s) de 0 et de 2 par

g

.

9 Trace les représentations graphiques des fonctions

l

et

m

définies par

l

(

x

) = −0,5

x

et

m

(

x

) = −0,5

x

 2. Que constates-tu ?

10 Comment tracer précisément la représentation graphique de la fonction qui, à

x

, associe 0,75

x

?

FONCTIONS • B3 1

1 0

− 1

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

Je me teste

è Voir Corrigés p. 368

181

8 8

Modéliser une situation

1 On considère le programme de calcul :

•Choisis un nombre ;

•Multiplie le nombre choisi par lui même ;

•Soustrais le triple du nombre choisi au produit obtenu.

a. En notant

x

le nombre choisi au départ, détermine la fonction

f

qui, à

x

, fait

correspondre le résultat obtenu avec ce programme.

b. Applique ce programme de calcul avec le nombre − 2. Traduis ce calcul par une phrase contenant le mot « image » puis par une égalité.

2 Soit la fonction

h

telle que

h

:

x

4

x −

7.

a. Écris un programme de calcul traduisant le calcul de l'image de

x

par la fonction

h

. b. Donne une autre écriture de la fonction

h

.

3 Traduis chaque égalité par une phrase contenant le mot « image ».

a.

f

(3) = 4 b.

g

(0) = −2

c.

h

(

x

) = 3

x

² − 4 d.

p

(

x

) = −

x

4 Traduis chaque phrase par une égalité.

a. Par la fonction

g

, −5,3 est l'image de 6.

b. 2,5 a pour image 4,2 par la fonction

f

. c. L'image de 3 par la fonction

h

est 7.

d. Par la fonction

p

, −4 a pour image −6,5.

e. L'image de 5 par la fonction

m

est nulle.

5 Traduis chaque phrase par une égalité puis par une correspondance de la forme

x

... .

6 Traduis chaque notation par une phrase contenant le mot « image » et par

Calcule l'image de chacun des nombres suivants.

a. 2 b.−3 c. d. 0 e. 1,4

8 On considère la fonction

f

définie par :

f

(

x

) =2

 ^x

^1.

Calcule, lorsque cela est possible, l'image de chacun des nombres suivants.

Lorsque ce n'est pas possible, explique pourquoi. ci-dessous, indique celles qui sont linéaires.

a.

f

(

x

) = 2

x

b.

h

(

x

) = 3

x

− 4

c.

g

(

x

) =

x

²

d.

m

(

x

) = (5 − 2

x

) − 5 10 Parmi les fonctions

n

,

p

,

k

et

d

définies ci-dessous, indique celles qui sont affines.

a.

n

(

x

) = 5

x

ci-dessous, indique celles qui sont affines (en précisant celles qui sont linéaires) et celles qui ne sont ni linéaires ni affines.

a.

t

(

x

) = −

x

9 9 14 La fonction

f

est définie par

f

(

x

) = 8

x

.

a. Détermine

f

(2) ;

f

(−3) et

f

(0).

b. Quelle est l'image de −5 par la fonction

f

? Et celle de1

8 ?

c. Détermine les antécédents,

par la fonction

f

, des nombres −16 ; 0 et 28.

15 La fonction

g

est définie par

g

(

x

) = 5

x

 1.

a. Quelle est l'image de 5 par la fonction

g

? b. Détermine

g

(0) ;

g

(−2,1) et

g

(7).

c. Détermine les antécédents, par la fonction

g

, des nombres 21 ; −14 et 0.

16 La fonction

h

est définie par

h

:

x

− 6

x

.

a. Détermine les images, par la fonction

h

, des nombres 0 ; −5 et 1

3. b. Calcule

h

(−1) et

h

(3,5).

c. Détermine les antécédents, par la fonction

h

, des nombres 24 ; −42 et − 3

4.

17

k

est définie par

k

:

x

2

x

− 5.

a. Détermine l'image, par la fonction

k

, de1

3.

b. Calcule

k

^(−4).

c. Résous l'équation

k

(

x

) =5

3. Que peux-tu dire de la solution de cette équation ?

18 La fonction

g

est une fonction linéaire telle que

g

(3) = 4.

En utilisant les propriétés d'une telle fonction, calcule les images des nombres 1,5 ; 6 et 7,5.

19 La fonction

f

est une fonction linéaire telle que

f

(4) = 5. Détermine la fonction

f

.

20 La fonction

m

est une fonction linéaire telle que

m

(0) = 0.

Peux-tu déterminer la fonction

m

?

21 La fonction

h

est une fonction linéaire telle que

h 

⁶⁷



^{=143 .}

Détermine la fonction

h

.

22 La fonction

h

est une fonction affine telle que

h

(2) = −1 et

h

(−1) = 5.

Détermine l'image de 7 et l'antécédent du nombre −7, par la fonction

h

.

Dans le document Manuel de maths en 5èm et 4èm - Mathématiques - Collège Lucie Aubrac (Page 179-183)