Cas Erreur de dynamique

Comme nous l’avons vu dans le paragraphe pr´ec´edent, la stabilisabilit´e de la z´ero dyna- mique est une condition presque n´ecessaire `a l’existence d’un bouclage de sortie dynamique stabilisant globalement et asymptotiquement l’origine. Dans les pr´ec´edents chapitres, la sta- bilisabilit´e requise pour la construction d’un bouclage de sortie n´ecessitait des propri´et´es de robustesse. Nous allons suivre la mˆeme d´emarche et imposer qu’il existe un bouclage y = φz(z) qui stabilise asymptotiquement l’origine de la dynamique inverse mais aussi qui

assure une certaine robustesse par rapport `a une erreur introduite par le fait que l’on va utiliser une approche erreur de dynamique.

Ce paragraphe reprend les r´esultats que nous avons obtenus dans [2] en s’inspirant des travaux de Marino et Tomei dans [59].

4.2.2.1 Construction de l’observateur

La premi`ere ´etape d’une approche erreur de dynamique est la conception d’un observa- teur. En collectant les composantes z et y2 `a yny dans un seul vecteur d’´etat not´e X, nous

retrouvons un syst`eme de la forme (3.59), i.e. : (

˙

X = A(X, y) + B(y) u

˙y = C(X, y) . (4.17)

Nous allons supposer l’existence d’un observateur d’ordre r´eduit avec une fonction ζ lin´eaire en w (voir paragraphe 3.2.2). Nous supposons donc avoir un observateur de la forme :

   ˆ X = w + Z y 0 K(s) ds ˆ y = y

, w = A(ˆ˙ X, y) + B(y)u + K(y)C(ˆX, y, u) (4.18)

o`u K est une fonction Cny <sub>`a valeurs dans R</sub>ny_.

Pour cette classe de syst`emes triangulaires, il est possible d’exploiter les r´esultats obte- nus par Krishnamurthy, Khorrami et Jiang dans [49] pour obtenir des conditions suffisantes permettant d’obtenir un observateur d’ordre r´eduit quadratique. Ainsi, nous supposons l’exis- tence de coordonn´ees pour z et de fonctions ai, bi, ci et fi tel que le syst`eme (4.1) admet la

4.2 NON-MINIMUM DE PHASE CHAPITRE 4 SYSTEMES TRIANGULAIRES forme : _                                            

˙y = b1(y) + a1(y) y2 ,

˙y2 = b2(y, y2) + a2(y) y3 ,

...

˙yny−1 = bny−1(y, y2, . . . , yny−1) + any−1(y) yny ,

˙yny = bny(y, y2, . . . , yny) + c0(y) z1 + any(y) u ,

˙z1 = f1(y, z1) + c1(y) z2 ,

...

˙znz−1 = fnz−1(y, z1, . . . , znz−1) + cnz−1(y) znz

˙znz = fnz(y, z1, . . . , znz)

(4.19)

o`u les ai et les cj prennent des valeurs positives.

Nous introduisons les fonctions φi,j(z, y, y2, . . . , yn), 2≤ j ≤ i ≤ n + m et ψi(y) d´efinies

par : φi,j(z, y, y2, . . . , yn) =      ∂bi ∂yj(y, y2, . . . , yn) 2≤ j ≤ i ≤ n 0 n + 1_{≤ i ≤ m ,} 2_{≤ j ≤ n} ∂fi−n ∂zj−n(z, y) n + 1≤ j ≤ i ≤ n + m (4.20) ψi(y) =  ai(y) 2≤ i ≤ n − 1 ci_−n(y) n≤ i ≤ n + m − 1 (4.21)

Proposition 8 ([49, Lemma 1]) Si il existe un r´eel positif ρ, tel que nous avons, pour tout (z, y, y2, . . . , yny) dans R n _: ρ _{≤ ψ}i(y) , 2≤ i ≤ n + m − 1 , (4.22) ρ ψi(y) ≤ ψi₋₁(y) , 3≤ i ≤ n + m − 1 , (4.23) ρ_|φi,j(z, y, y2, . . . , yn)| ≤ ψi(y) , 2≤ i ≤ n + m − 1 , (4.24) ρ|φn+m,j(z, y, y2, . . . , yn)| ≤ ψn_+m−1(y) , 2≤ i ≤ n + m − 1 , (4.25)

alors il existe un vecteur K(y) et une matrice P tels que P ∂A− KC ∂X (X, y) + ∂A_{− KC} ∂X (X, y) T_{P <} − I . (4.26) et nous avons un observateur d’ordre r´eduit quadratique.

Le syst`eme de l’observateur s’´ecrit : ˙ z {  b x y  =  A(ˆX, y) C(ˆX, y)  + B(y) u +  K(y) I  | {z } m(y) [C(X, y) − C(ˆX, y)] | {z } `(X, ˆX,y) (4.27)

4.2 NON-MINIMUM DE PHASE CHAPITRE 4 SYSTEMES TRIANGULAIRES o`u nous avons introduit les fonctions m et ` caract´erisants la factoristion du terme de cor- rection.

Suivant la d´emarche Erreur de dynamique, Lp_{-Domination, nous demandons `a l’observa-}

teur de rendre Lp _{le terme C(}

X, y) − C(ˆX, y).

Nous allons introduire le contexte que nous qualifions de L2 _{correspondant au cas o`u}

l’observateur rend L2 _{ce terme. Le cas o`u p = 1 sera abord´e dans un deuxi`eme temps.}

4.2.2.2 Cas L2

Dans ce contexte, nous avons donn´e dans le paragraphe 3.2.2 une condition suffisante permettant d’obtenir un observateur L2 _{(voir la proposition 5 et la remarque 10) qui est :}

Hypoth`ese 19 [Observateur d’ordre r´eduit L2] :

Les fonction (ai)_1≤i≤ny−1 et (bi)1≤i≤ny−1 peuvent ˆetre choisies telles qu’il existe une

fonction K et une matrice positive et d´efinie P qui satisfait P ∂A− KC ∂X (X, y) + ∂A− KC ∂X (X, y) T P < − ∂C ∂X(X, y) T∂C ∂X(X, y) . (4.28)

Remarquons que (4.28) diff`ere de (4.26). Ainsi par exemple si les hypoth`ese de la pro- position 8 sont satisfaites il nous faut une propri´et´e suppl´ementaire sur la fonction C. Pour obtenir (4.26), nous devons supposer que ∂C

∂X(X, y)



 est born´ee ou plus pr´ecis´ement que a1

ne d´epend pas de z et que ∂b1

∂z(X, y)



 est born´e. Ceci est une importante restriction, mais comme nous le verrons dans les exemples le contexte L1 _{nous permet de travailler avec des}

syst`emes ne suivant pas cette restriction.

Suivant les concepts Erreur de dynamique, Domination Lp _{que nous avons introduits}

dans la section 3.2.1, nous devons maintenant construire une loi de commande garantissant une stabilisabilit´e L2 _{pour le syst`eme de l’observateur, i.e pour le syst`eme :}

( ˙ˆ

X = A(ˆX, y) + B(y) u + K(y) d

˙y = C(ˆX, y) + d

(4.29) Pour construire une loi de commande robuste `a des perturbations L2_{, nous allons utili-}

ser une technique de backstepping it´erative. Nous introduisons pour cela une hypoth`ese de stabilisabilit´e de la dynamique inverse par rapport `a une erreur de dynamique :

Hypoth`ese 20 [L2_{-stabilisabilit´e de la dynamique inverse] :}

Il existe une fonction φz : Rnz → R qui est Cny et telle que le syst`eme suivant est

L2_{-ISS :}

˙z = F (z, φz(z)) + Kz(φz(z)) d . (4.30)

o`u Kz est composante en z de la fonction K. Plus pr´ecis´ement, il existe une fonction

Cny+1_{, d´efinie positive, et radialement non born´ee,} U

z : Rnz → R+ et une fonction

continue d´efinie positive αz : Rnz → R+ telles que nous avons :

∂_Uz

∂z (z) [F (z, φz(z)) + Kz(φz(z)) d] ≤ −αz(z) + |d|

2 _{∀(z, d) ∈ R}nz _{× R}nz _{. (4.31)}

4.2 NON-MINIMUM DE PHASE CHAPITRE 4 SYSTEMES TRIANGULAIRES 3.2.1 sur l’approche erreur de dynamique domination L2_{. Le r´esultat que nous avons obtenu}

dans [2] est le suivant :

Th´eor`eme 10 (Erreur de dynamique, Domination L2_{) Si il existe des fonctions a} i et

bi telles que le syst`eme (4.4) admet l’existence d’un observateur d’ordre r´eduit L2 (hypoth`ese

19) et si la dynamique inverse est L2 _{stabilisable (hypoth`ese 20), alors il existe un bouclage}

de sortie dynamique qui stabilise globalement et asymptotiquement l’origine du syst`eme. Preuve : L’hypoth`ese de d´etectabilit´e du Th´eor`eme 8 est directement satisfaite. En effet, nous obtenons directement pour tout X 6= ˆX (voir la proposition 5 pour plus de d´etail) :

˙

z {

(X − ˆX)TP (X − ˆX)< − |C(X, y) − C(ˆX, y)|2 . (4.32)

Il ne nous reste qu’`a montrer que l’hypoth`ese 15 de L2_{-stabilisabilit´e et aussi satisfaite.}

Pour cela nous devons construire une loi de commande φ appropri´ee. Nous faisons cette construction en propageant la propri´et´e de stabilisabilit´e de la dynamique inverse `a l’ensemble des dynamiques du syst`eme (4.4)

Pr´ecis´ement nous consid´erons le syst`eme :              ˙ˆz = F (ˆz, ˆy) + Kz(y)d , ˙ˆy = a1(ˆz, ˆy)ˆy2 + b1(ˆz, ˆy) + d , ...

˙ˆyny = any(ˆy)u + bny(ˆz, . . . , ˆyny) + Kny(y)d ,

(4.33) o`u d correspond `a la perturbation introduite par l’erreur de dynamique, ici :

d = C(X, y) − C(ˆX, y) . (4.34)

Par hypoth`ese nous avons une fonction de Lyapunov Cny+1_{, U}

z qui satisfait :

∂_Uz

∂z (ˆz)(F (ˆz, φz(ˆz)) + Kz(φz(z)) dz) ≤ −αz(ˆz) + |d|

2 _{. (4.35)}

En utilisant r´ecursivement le lemme 3 donn´e en Annexe A.2.3, nous obtenons une fonction U d´efinie positive, C1 _{et propre, ainsi qu’une fonction continue φ telle que}

u = φ(ˆX, y) , (4.36)

donne le long des trajectoires du syst`eme compos´e de l’observateur et du syst`eme initial : ˙ z { Uˆz, y, ˆy₂, . . . , ˆyny  ≤ −α ˆz, ˆy, ˆy2, . . . , ˆyny
+ |d|2 _{, (4.37)}

o`u α est d´efinie positive. Ainsi, l’hypoth`ese 15 est satisfaite.

Toutes les hypoth`eses du Th´eor`emes 8 ´etant satisfaites, nous concluons que le syst`eme : u = φ(ˆX, y) , Xˆ = w +

Z y 0

K(s) ds , ˙

w = A(ˆX, y) + B(y)u + K(y)C(ˆX, y, u)

4.2 NON-MINIMUM DE PHASE CHAPITRE 4 SYSTEMES TRIANGULAIRES est un bouclage de sortie dynamique rendant l’origine globalement et asymptotiquement stable pour le syst`eme ´etendu. 2 Remarque 13 :

1. Nous pouvons ´etendre ce r´esultat si, au lieu d’avoir _|d|2 _{dans l’hypoth`ese de d´etectabi-}

lit´e et dans l’hypoth`ese de stabilisabilit´e nous avons une fonction ρ(|d|) telle que l’ap- plication :

s → ρ(s)

s (4.39)

est C∞_{, de d´eriv´ee non nulle en z´ero et de classe K} ∞.

En effet dans ce cas, la propagation par backstepping fonctionne toujours (voir l’ap- pendice A.53).

2. Comme nous l’avons d´ej`a remarqu´e nous pouvons ´etendre le r´esultat pr´ec´edent en exploitant une factorisation de la forme :

C(X, y) − C(ˆX, y) = m(ˆz, y)`(z, ˆz, y) . (4.40)

Dans ce cas, l’hypoth`ese de d´etectabilit´e sera alors : ˙

z {

(X − ˆX)TP (X − ˆX) < − |`(z, ˆz, y)|2 , (4.41)

et, l’hypoth`ese de stabilisabilit´e concernera alors le syst`eme :

˙z = F (z, φz(z)) + Kz(φz(z)) m(ˆz, φz(z)) d . (4.42)

4.2.2.1 Cas L1

En exploitant une synth`ese par backstepping pour obtenir une stabilisabilit´e L1_{-ISS (voir}

l’annexe A.2.3), tirant profit d’une technique introduite par Mazenc dans son m´emoire de th`ese [60, (2.412)], nous pouvons donner une version du Th´eor`eme 10 qui nous donne un bouclage de sortie dynamique suivant une approche Erreur de dynamique, domination, mais maintenant dans le cas L1_{. L’hypoth`ese de d´etectabilit´e dont nous avons besoin est (voir la}

proposition 6) :

Hypoth`ese 21 [Observateur d’ordre r´eduit L1_{] :}

Les fonctions (ai)1≤i≤ny−1 et (bi)1≤i≤ny−1 peuvent ˆetre choisies telles qu’il existe une

fonction localement Lipschitzienne W et une fonction K qui est Cny _{et satisfait :}

D+W(e)(A(X + e, y)− A(X, y)− K(y)[C(X+ e, y)− C(X, y)])

< _−|C(X + e, y)− C(X, y)| (4.43)

de plus, Kz la composante en z de K est born´ee.

4.2 NON-MINIMUM DE PHASE CHAPITRE 4 SYSTEMES TRIANGULAIRES Hypoth`ese 22 [L1_{-stabilisabilit´e de la dynamique inverse] :}

Il existe une fonction φz : Rnz → R qui est Cny et telle que le syst`eme suivant est

L1_{-ISS :}

˙z = F (z, φz(z)) + Kz(φz(z)) d , (4.44)

o`u Kz est la composante en z de la fonction K. Plus pr´ecis´ement, il existe une fonc-

tion Cny+1_{, d´efinie positive, et radialement non born´ee,} U

z : Rnz → R+ et une fonction

continue d´efinie positive αz : Rnz → R+ telles que nous avons :

∂_Uz

∂z (z) [F (z, φz(z)) + Kz(φz(z)) d] ≤ −αz(z) + |d| ∀(z, d) ∈ R

nz

× Rnz _{. (4.45)}

Le Th´eor`eme est le suivant :

Th´eor`eme 11 (Erreur de dynamique, L1_{-Domination) Si il existe des fonctions a} i et

bi telles que le syst`eme (4.4) admet l’existence d’un observateur d’ordre r´eduit L1 (hypoth`ese

21) et si la dynamique inverse est L1 _{stabilisable (hypoth`ese 22), alors il existe un bouclage}

de sortie dynamique qui stabilise globalement et asymptotiquement l’origine du syst`eme. La d´emonstration suit exactement la mˆeme ligne que la d´emonstration du Th´eor`eme 10, si ce n’est que nous faisons appelle au lemme 4 de l’annexe A.2.3 pour propager la stabilisabilit´e- L1 _{`a l’ensemble du syst`eme, nous n’´ecrivons donc pas la preuve.}

Remarque 14 :

1. Du fait que nous utilisons le lemme 4 de l’annexe A.2.3 pour propager la propri´et´e de L1_{-ISS, qui est plus restrictif que dans le cas L}2_{, nous devons demander `a K}

z d’ˆetre

born´ee.

2. A l’image du cas L2 _{nous pouvons ´etendre le r´esultat pr´ec´edent en exploitant une}

factorisation de la forme :

C(X, y) − C(ˆX, y) = m(ˆz)`(z, ˆz, y) . (4.46)

Dans ce cas, l’hypoth`ese de d´etectabilit´e sera alors : ˙

z {

(X − ˆX)TP (X − ˆX) < − |`(z, ˆz, y)| , (4.47)

l’hypoth`ese de stabilisabilit´e concernera alors le syst`eme :

˙z = F (z, φz(z)) + Kz(φz(z)) m(z) d . (4.48)

Notons qu’une nouvelle fois, l’utilisation du lemme 4 nous oblige `a prendre la fonction m ind´ependant de y (contrairement au cas L2_).

Dans le document Bouclage de sortie et observateur (Page 103-108)