Cas de la dimension un

Nous reprenons ici le mod`ele unidimensionnel du convecteur seul en rela-tion directe avec le fluide ext´erieur de la pi`ece, mod`ele qui a ´et´e introduit au paragraphe 2.1.3.

Comme nous l’avions ´evoqu´e alors, pour certaines valeurs de param`etres, il y a parfois absence de commutation. En effet, `a partir de certaines conditions initiales, la temp´erature du convecteur ne parvient pas `a atteindre son seuil sup´erieur ou inf´erieur de commutation (voir figure 2.25 `a gauche). De plus, dans certains cas, une seule commutation a lieu c’est-`a-dire que la temp´erature du convecteur atteint une premi`ere fois son seuil sup´erieur (ou inf´erieur) de commutation mais sans jamais par la suite pouvoir atteindre son seuil inf´erieur (ou sup´erieur) (voir la figure 2.25 de droite).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 104 270 280 290 300 310 320 330 340 350

Simulation : convecteur seul

Temps (s) Températures (K) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 104 270 280 290 300 310 320 330 340 350

Simulation : convecteur seul

Temps (s)

Températures (K)

Fig. 2.25 – Illustration dans le cas de la dimension 1 de la possibilit´e d’absence de commutation (`a gauche pour les valeurs Rc = 10, Qc = 100, θe= 273, Pc = 5 ; θ1 = 320, θ2 = 330, z(t0) = 280) et de l’existence d’une seule commutation (`a droite pour les valeurs Rc = 8, Qc = 1000, θe = 293, Pc = 9, θ1 = 290, θ₂ = 340, z(t0) = 280)

La suite de ce paragraphe a pour objectif de d´egager certaines conditions sur les seuils et les param`etres pour ´eviter les deux cas que nous venons de pr´esenter et ainsi pour garantir l’existence de commutations.

syst`eme (2.17) est ´equivalent pour n ≥ 0 `a : (2.67)              γ_n+1¹ − e−aσ1 n+1γ_n²+ ∆q1a⁻¹b= 0, γ_n+1² − e−aσ2 n+1γ_n+1¹ − ∆q1a⁻¹b = 0, γ_n+1¹ + a−1(q1b+ c) − q1θ1− q0θ2 = 0, γ_n+1² + a−1(q₀b+ c) − q0θ₁− q1θ₂ = 0.

Les commutations existent si la premi`ere commutation et les σ_n+1¹ , σ²_n+1, n ≥ 0, dur´ees entre les diff´erents instants de commutation, existent.

Etudions d’abord les conditions sur l’existence des σi

n+1, i = 1, 2, n ≥ 0. A partir des deux premi`eres ´equations du syst`eme (2.67), nous pouvons d´eduire les expressions suivantes pour σ1

n+1 et σ2 n+1 :      σ_n+1¹ = −1 aln^γ1n+1+∆q1a−1b γ2 n  σ_n+1² = −1 aln^γ2n+1−∆q1a−1b γ1 n+1  . Nous pouvons alors conclure que σ1

n+1 et σ2

n+1, qui doivent ˆetre des quantit´es strictement positives, existent si :

(2.68)    0 < ^γ1n+1+∆q1a−1b γ2 n <1, 0 < ^γ2n+1−∆q1a−1b γ1 n+1 <1. En utilisant alors les relations pour γ1

n+1, γ2

n+1 donn´ees par les deux derni`eres ´equations du syst`eme (2.67), le syst`eme (2.68) devient ainsi :

   0 < ^−a−1(q0b+c)+q1θ1+q0θ2 −a−1(q0b+c)+q0θ1+q1θ2 <1 0 < ^−a−1(q1b+c)+q0θ1+q1θ2 −a−1(q1b+c)+q1θ1+q0θ2 <1, ce qui peut ´egalement s’´ecrire :

(2.69)    0 < 1 + ^∆q1(θ1−θ2) −a−1(q0b+c)+q0θ1+q1θ2 <1 0 < 1 − ^∆q1(θ1−θ2) −a−1(q1b+c)+q1θ1+q0θ2 <1. Distinguons `a partir de l`a les deux cas possibles :

– Cas 1 : q₀ = 1, q₁ = 0, ∆q₁ = −1 < 0, – Cas 2 : q0 = 0, q1 = 1, ∆q1 = 1 > 0.

1. Cas 1

Le syst`eme (2.69) devient alors :

(2.70) ( −1 < ^θ2−θ1

−a−1(b+c)+θ1 <0 −1 < ^−(θ2−θ1)

−a−1c+θ2 <0.

– Vu que θ₂ − θ1 > 0, pour que les hypoth`eses θ2−θ1

−a−1(b+c)+θ1 < 0 et

−(θ2−θ1)

−a−1c+θ2 <0 soient v´erifi´ees, il faut que : ( θ1 < a⁻¹(b + c)

θ₂ > a−1c.

– Alors, vu que θ2 − θ1 > 0 et qu’il faut que −a−1(b + c) + θ1 < 0, l’hypoth`ese θ2−θ1

−a−1(b+c)+θ1 >−1 est v´erifi´ee si : a⁻¹(b + c) − θ1 > θ₂ − θ1

autrement dit si :

θ2 < a⁻¹(b + c).

– Enfin, vu que −(θ2− θ1) < 0 et qu’il faut que −a−1c+ θ2 > 0, l’hy-poth`ese ^−(θ2−θ1)

−a−1c+θ2 >−1 est v´erifi´ee si :

−a⁻¹c+ θ2 > θ₂ − θ1,

autrement dit :

θ₁ > a⁻¹c. 2. Cas 2

Le syst`eme (2.69) devient dans ce cas particulier : (2.71) ( −1 < ^θ1−θ2 −a−1c+θ2 <0 −1 < ^−(θ1−θ2) −a−1(b+c)+θ1 <0.

Ce syst`eme est le mˆeme que (2.70) du premier cas donc la conclusion est identique.

Ces conditions sont des conditions n´ecessaires pour l’existence des σi

n+1, i = 1, 2, n ≥ 0. Il reste maintenant `a rechercher des conditions pour garantir l’existence de la premi`ere commutation.

La premi`ere commutation existe si et seulement si t1 existe et autrement dit si et seulement si σ<sub>1</sub> = t<sub>1</sub> − t0 existe. Or, d’apr`es les ´equations (2.12) et (2.14) appliqu´ees en n = 1 et pour le cas de la dimension un, nous avons : (2.72) ( γ₁ = e−aσ1γ0− ∆q1a⁻¹b

γ1 = −a−1(q1b+ c) + q1θ1 + q0θ2.

De plus, la constante d’int´egration γ0 est donn´ee par l’´equation (2.13) qui s’´ecrit dans le cas de la dimension un :

(2.73) γ₀ = z0 − a⁻¹(q0b+ c),

o`u z0 est la valeur au temps t0 de la temp´erature du convecteur. A partir de (2.72), nous obtenons :

σ1 = −¹_aln −a−1(q0b+ c) + q1θ₁+ q0θ₂ z0− a−1(q0b+ c)  . La dur´ee σ1 existe si : (2.74) 0 < −a−1(q₀b+ c) + q₁θ₁+ q₀θ₂ z0− a−1(q0b+ c) ^<1. Distinguons encore les deux mˆemes cas que pr´ec´edemment.

1. Cas 1

La condition (2.74) devient dans ce cas : (2.75) 0 < −a−1(b + c) + θ2

z₀− a−1(b + c) ^<1.

En prenant en compte les conditions trouv´ees pr´ec´edemment a−1c < θ₁, θ₂ < a−1(b + c) pour l’existence des σi

n+1, i = 1, 2, n ≥ 0, nous concluons que (2.75) est v´erifi´ee si :

z₀ < θ₂ < a⁻¹(b + c). 2. Cas 2

La condition (2.74) devient dans ce cas : (2.76) 0 < −a−1c+ θ1

z0− a−1c ^<1, qui est satisfaite si :

Finalement, si la condition n´ecessaire pour l’existence de σi

n+1, i = 1, 2, n ≥ 0 `a savoir a−1c < θ<sub>1</sub> < θ<sub>2</sub> < a<sup>−1</sup>(b + c) est satisfaite et si de plus, la condition de premi`ere commutation donn´ee par :

q₀ = 1 et z₀ < θ₂ < a⁻¹(b + c) ou q₀ = 0 et z₀ > θ₁ > a⁻¹c

est aussi satisfaite, alors le syst`eme hybride ˙z(t) = −az(t) + qb + c, q = q(z(t)) d´efini par (2.2), a pour unique solution un cycle. L’examen du raisonnement suivi montre que les conditions n´ecessaires trouv´ees sont ´egalement suffisantes.

`

A pr´esent, illustrons num´eriquement ce qui vient d’ˆetre montr´e th´eoriquement. Pour cela, reprenons les valeurs num´eriques de la figure 2.25 de gauche par exemple que nous pla¸cons dans le tableau 2.5.

R_c Q_c P_c θ_e θ₁ θ₂ z₀ q₀ 10 100 5 273 320 330 280 1

Tab. 2.5 – Valeurs num´eriques de la figure 2.25 de gauche pour illustrer l’ab-sence de commutation

Pour ces valeurs, nous avons vu par simulation avec Matlab qu’il n’y avait pas de commutation. Cela se traduit de fa¸con analytique par le fait qu’il n’existe aucune solution pour le syst`eme (2.25) appliqu´e en dimension un comme le confirme graphiquement la figure 2.26 sur laquelle sont trac´ees les surfaces y = K1(σ1, σ²), y = K2(σ1, σ²) et le plan y = 0 respectivement en gris, en noir et en blanc.

De plus, les calculs de a−1c et de a−1(b + c) qui donnent num´eriquement : a⁻¹c= 273, a⁻¹(b + c) = 323,

montrent que la condition d’existence des σi

n+1, i = 1, 2, n ≥ 0 et la condition de premi`ere commutation ne sont pas satisfaites puisque θ2 = 330 > a−1(b+c). Pour garantir l’existence de commutations, choisissons alors pour ces mˆemes valeurs num´eriques un seuil sup´erieur θ2 qui satisfasse simultan´ement les deux conditions comme par exemple : θ2 = 322 K.

Une simulation sous Matlab (voir la figure 2.27 `a gauche) confirme maintenant l’existence de commutations qui se traduit par le fait qu’il existe une solution au syst`eme (2.25) (voir la figure 2.27 `a droite).

Nous pouvons ´egalement constater que pour θ2 = 323 K ou θ1 = 273 K, le syst`eme ne commute pas. De mˆeme, si nous choisissons par exemple θ2 = 322 K

–50 –40 –30