Cas des retards distribués - Exemples comparatifs

IV.4 Exemples comparatifs

IV.4.3 Cas des retards distribués

Nous ﬁnissons cette série d’exemples par deux applications numériques concernant les sys- tèmes à retard distribué. Nous nous appuierons sur le logiciel trace-DDE [27] pour évaluer l’eﬃcacité de notre critère développé dans la Section IV.3.6.

IV.4. EXEMPLESCOMPARATIFS 101

Tab.IV.5: Intervalle de retard stabilisant le système (IV.54) en fonction de d. hmin hmax d = 0 0.102 1.424 d = 0.1 0.102 1.424 d = 0.2 0.103 1.423 d = 0.5 0.104 1.421 d = 0.8 0.105 1.419 d = 1 0.105 1.417

analytique (cas constant) 0.10016826 1.7178

Théorème IV.9, r = 3 hmax

l = 0 1.32 l = 1 1.58 l = 2 1.60 l≥ 3 1.61

(a)

Théorème IV.9,l = 0 hmax

r = 3 1.32 r = 4 1.43 r = 5 1.432

(b)

Tab. IV.6: Retard maximal h_max pour le système (IV.55) (h_min _{= 0).}

Premier exemple

Considérons tout d’abord un système du premier ordre : ˙x(t) =_{−2x(t) +}

−h

(1 + θ + θ3)x(t + θ)dθ. (IV.55)

Une analyse par une méthode numérique [27] montre que ce système est asymptotiquement stable pour tout retard h inférieur à 1.759. Un premier résultat donné par le Théorème IV.8 évalue cette borne à 1.0. Puis, le Théorème IV.9 permet, grâce à l’introduction d’équations redondantes, d’améliorer considérablement ce résultat (hmin est ﬁxé à zero). En eﬀet, par exten-

sion du vecteur d’état composé des dérivées successives de x(t), l’estimation du retard maximal hmax croît avec l’ordre de dérivation l (cf. Table IV.6a).

Nous constatons que pour un ordre l ≥ 3 supérieur à l’ordre du polynôme il n’y a plus d’amélioration. Ceci suggère qu’il n’est pas utile d’augmenter l’état y(t) (IV.47) au delà de rn pour espérer réduire le conservatisme. De ce fait, nous proposons de représenter le noyau Ad(θ) =

1+ θ + θ3_{comme un polynôme d’ordre supérieur µ > r : A} d(θ) =

i=0

Adi avec Adi= 0,∀i ≥ r. Ce

subterfuge autorise l’insertion d’opérateurs supplémentaires ﬁctifs δr+1, δr+2, . . . , δµqui, comme

le montre la Table IV.6b, améliorent le résultat. Finalement, en combinant le vecteur étendu y(t) (en augmentant l) et la modélisation artiﬁcielle (polynôme d’ordre µ > r) nous montrons que, pour r = 9, l = 9, le système (IV.55) est stable ∀h ≤ 1.758.

Théorème IV.9, hmin hmax l = 1, r = 1 0.23 1 l = 1, r = 2 0.21 1.2 l = 1, r = 3 0.2 1.29 l = 2, r = 1 0.21 1 l = 2, r = 2 0.20 1.2 l = 2, r = 3 0.20 1.3

Tab. IV.7: Intervalle de stabilité du système (IV.56).

Second exemple

Soit le système à retard distribué de la forme ˙x(t) =0.2 0.01 0 −2 x(t) + 0 Z −h −1 + 0.3θ 0.1 0 −0.1 x(t + θ)dθ (IV.56)

où le noyau est un polynôme d’ordre deux en le retard. Nous remarquons que ce système est instable lorsque h = 0. En fait, pour certaines valeurs de h, le terme retardé a un eﬀet stabilisant. A l’aide du l’outil numérique trace-DDE, on s’aperçoit que le système est stable pour 0.195 ≤ h ≤ 1.71. Par application du Théorème IV.9 sur une fenêtre [hmin, hmax] glissante, nous établissons

les résultats de la Table IV.7.

IV.5

Conclusion

Nous avons présenté dans cette partie divers théorèmes pour l’analyse des systèmes à retards variables par une méthode originale, à savoir la séparation quadratique. Résumons sommaire- ment les diﬀérents points abordés dans ce chapitre.

Dans un premier temps, nous avons revisité le principe de séparation quadratique pour l’adapter à l’étude des systèmes à retards variant dans le temps. Pour cela, nous avons reformulé le théorème en terme d’opérateurs temporels en lieu et place des opérateurs fréquentiels issus du formalisme de Laplace et limités au cas des systèmes stationnaires. Dans cette approche, un système à retard est modélisé comme l’interconnexion d’une équation linéaire avec une matrice d’opérateurs ∇ définissant le système. Ce paradigme ouvre des perspectives intéressantes pour traiter, dans un cadre uniforme, différents types de retard. Il nous a ainsi permis de construire des conditions de stabilité pour les systèmes à retards discrets (inconnus, majorés ou bornés) et à retards distribués (de noyau polynomial en le retard). En outre, appartenant aux méthodes d’analyse robuste, nous avons pu modéliser aisément le cas des systèmes incertains. L’ensemble des opérateurs utilisés pour caractériser la dynamique retardée et les contraintes inégalités as- sociées déterminent le conservatisme de la modélisation. Ces bases mises en place, il s’agira, en prospective, d’affiner le calcul des normes induites et d’agrémenter l’application ∇ d’opérateurs complémentaires pour une description fidèle du phénomène de retard.

Nous allons désormais entamer le cinquième chapitre de notre mémoire dans lequel nous revenons sur la partie applicative de notre travail. Nous verrons que le traﬁc TCP, dans la topologie de réseau considérée, sera modélisé par un système à multiples retards. Même si nous

IV.5. CONCLUSION 103

n’exploiterons pas pleinement les méthodes développées ici, elles nous serviront de base pour établir un critère simple et pratique (avec peu de variables de décision) pour la stabilisation du phénomène de congestion. Notons par ailleurs que cette approche a également été utilisé pour la synthèse de contrôleur stabilisant l’algorithme de Foschini-Miljanic souvent utilisé pour la gestion d’énergie dans les réseaux sans ﬁl [35].

Chapitre V

Régulation du protocole TCP pour

le contrôle de congestion

N

ous revenons maintenant sur la problématique introduite au Chapitre II concernant le phénomène de congestion d’un routeur dans un réseau de communication. Nous proposons, dans cette quatrième partie, d’utiliser la méthodologie développée au cours du dernier chapitre aﬁn de modéliser et réguler le protocole TCP. Une telle régulation de traﬁc sera mise en oeuvre par un mécanisme d’Active Queue Management (AQM), implanté au niveau du routeur. Son rôle sera non seulement de réguler la congestion mais aussi de préserver un certain niveau de

Qualité de Service (QoS).

V.1 Introduction

Comme cela a été mentionné auparavant, nous nous sommes intéressés dans cette thèse au problème de partage d’un lien de communication traversé par diﬀérentes sources distantes. Cette problématique est représentée, de façon schématique, sur la Figure V.1. Chaque source possède un temps de communication diﬀérent selon le chemin emprunté par la connexion et les temps de propagation associés (cf. Figure V.1b). La dénomination de “source” ne se rapporte pas forcément à une seule machine, mais éventuellement à un ensemble d’émetteurs proches géographiquement (plus précisément de RTT comparables).

(a) (b)

Fig. V.1: Topologie étudiée.

Dans des travaux préliminaires, nous avons d’abord considéré le cas particulier où toutes les sources avaient le même temps de communication, c’est-à-dire le même RTT [9, 14, 16, 101, 102]. Ce cas de figure simpliste a fait l’objet de nombreuses études dans la littérature [36, 45, 75, 76, 138, 157]. Dans ce chapitre, nous considérons le problème général présenté ci-dessus et introduit au paragraphe II.2.4 [11], [10]. Quelques travaux menés par [70] et [93] ont traités ce cas. Les auteurs de [70] font appel au critère de Nyquist pour régler les paramètres du RED et du PI pour un nombre arbitraire de sources et de routeurs. Toutefois, ces réglages sont réalisés à par- tir d’un modèle simplifié de TCP dans lequel certains retards sont négligés. De plus, une telle méthode fréquentielle trouve ses limites lorsque les retards deviennent variant dans le temps. Dans [93], une approche prédictive est utilisée pour compenser les retards. Si cette étude énonce une formulation générique de la synthèse d’AQM, incorporant divers mécanisme (RED, PI, PID avec coût LQ), la loi de commande est relativement “lourde” nécessitant de multiples calculs intégraux, des multiplications et exponentielles de matrices. Encore une fois les retards sont sup- posés constants. Bien qu’intéressantes en théorie, ces méthodes sont difficilement exploitables en pratique. La méthodologie que nous proposons par la suite présente plusieurs avantages :

• Alors que la plupart des travaux à ce sujet utilisent le modèle fluide donné dans [123], nous considérons ici celui de [110]. En effet, ce second modèle, plus complet, retranscrit fidèlement la structure du réseau et tient compte des forward et backward delays. Le premier, quant à lui, néglige le forward delay et n’est donc valide que pour une topologie particulière.

• Nous tenons également compte de la nature variable des retards de communication. • Nous essayons d’établir les liens entre les spéciﬁcations de la commande et les besoins

en Qualité de Service d’un point de vue réseau. Notre algorithme d’AQM est capable d’assurer un service équitable ainsi qu’un service diﬀérencié dans lequel certaines sources, dites prioritaires, ont une part de bande passante plus importante.

Dans la seconde partie de ce chapitre, nous verrons qu’il peut être intéressant de réaliser un observateur, non seulement pour avoir accès à l’état en évitant sa mesure complète mais aussi pour mettre en place un système de traffic monitoring. Dans ces premiers travaux, nous développons un observateur augmenté pour l’estimation du traﬁc TCP et la détection d’une classe d’anomalies. Nous détaillerons ce nouveau cadre d’étude et ses enjeux dans la Section V.3.

Dans le document Sur la stabilité des systèmes à retards variant dans le temps : théorie et application au contrôle de congestion d'un routeur (Page 106-112)