Le cas des batteries bipolaires

Nous avons vu jusqu’ici le cas où les électrodes se présentent sous la forme de deux feuillets, chaque feuillet étant constitué du collecteur de courant d’un côté et de la matière active de l’autre, comme sur la figureC.3a. Ceci constitue le cas des électrodes unipolaires.

Dans la pratique, il est très fréquent de voir des électrodes dites bipolaires. Les électrodes bipolaires sont constituées d’un collecteur de courant métallique pris en sandwich entre deux épaisseurs de matière active. L’intérêt d’utiliser des électrodes bipolaires et que cela maximise la surface d’interaction entre les électrodes, en raison de l’enroulement qui permet aux deux faces des électrodes d’être face à l’électrode de signe opposé. On obtient ainsi une capacité presque doublée par rapport au cas mono-face. La figureC.5montre un schéma d’accumulateur bipolaire. Les électrodes bipolaires concernent les deux types de géométrie (cylindrique et prismatique).

(a) Vue de profil des deux électrodes et du séparateur. Le courant arrive sur l’électrode positive par le haut et ressort de l’électrode négative par le bas.

(b) Les deux électrodes sous forme de feuillet sont enroulés pour former un cy-lindre

(c) Un disque conduc-teur est placé au dessus en contact avec l’élec-trode positive et un autre au-dessous avec l’électrode négative

C.3. LES DIFFÉRENTS ASSEMBLAGES D’ACCUMULATEUR 169

Figure C.4 – Schéma d’enroulement prismatique

Annexe D

Calcul du champ rayonné par les

courants dans un accumulateur

D

cylindrique de type LiFeBatt. Nous modélisons pour cela son enroulement, la distribution des courants et enfin nous calculons le champ magnétique à l’aide des données numériques des accumulateurs LiFeBatt.

Afin de pouvoir calculer la contribution magnétique des courants dans un accumulateur au lithium à géométrie cylindrique, nous modélisons ici le trajet emprunté par les électrons et les ions. Afin de bien se représenter ces trajectoires complexes, il est nécessaire de voir ces trajectoires dans le cas d’un accumulateur fictif où les feuillets sont complètement déroulés.

D.1 Cas simplifié d’un accumulateur plan fictif

Dans cette configuration, les trajectoires sont plus simples à conceptualiser. La figureD.1montre 3 trajectoires de courants différentes dans le cas d’une géométrie plane. On fait l’hypothèse d’une charge.

Dans le cas d’une charge, les électrons fournis par le chargeur arrivent par l’électrode négative et ressortent par la positive. Afin que ce circuit électrique soit fermé, cela signifie qu’un ion lithium chargé positivement traverse l’électrolyte de l’électrode positive vers l’électrode négative.

Ces trajectoires dans le cas d’une charge sont représentées sur la figureC.2page164. Cette figure montre que les électrons arrivent par le disque collecteur de courant négatif, se déplacent le long de l’électrode négative et réagissent avec un ion lithium. De l’autre côté, c’est un ion lithium qui se désinsère de l’électrode et libère ainsi un électron qui se déplace le long de l’électrode et rejoint le disque collecteur de courant positif.

Figure D.1 – Trajectoire des ions et des électrons dans un accumulateur plan. Le séparateur n’est ici pas représenté

Les emplacements où ont lieu les deux réactions avec l’ion lithium ne sont pas déterminés et peuvent se produire sur toute la surface des électrodes. L’emplacement de ces réactions suit une loi aléatoire déterminée par la valeur de la conductivité électronique et ionique. Dans le cas où ces conductivités sont homogènes dans l’espace, on peut faire l’hypothèse que l’emplacement de ces réactions suit une variable aléatoire uniforme.

Afin de représenter la trajectoire des ions et des électrons nous traitons le cas d’un accumu-lateur plan. Cet accumuaccumu-lateur est représenté sur la figureD.1.

Bien que le disque collecteur de courant soit en contact avec toute l’extrémité de l’électrode, les électrons peuvent se déplacer selon ⁻U^→x. La densité de courant dans l’électrode est donnée par la loi d’Ohm et celle-ci doit être résolue par élément finis. Toutefois nous pouvons, pour simplifier faire l’hypothèse que le vecteur densité de courant sur les électrodes est uniquement dirigé selon⁻U^→y.

Concernant le transfert des ions dans l’électrolyte, ceux-ci suivent une trajectoire qui est une loi aléatoire déterminée par la conductivité ionique dans l’électrolyte. Ils peuvent donc suivre des trajectoires complexes. Toutefois, pour simplifier, nous faisons l’hypothèse que tous les ions suivent la trajectoire la plus courte pour aller d’une électrode à l’autre. Cela revient à dire que les ions se déplacent uniquement selon⁻U^→z.

D’un point de vue magnétique, le déplacement d’un ion qui est chargé positivement dans une direction est équivalent au déplacement d’un électron dans la direction opposée. Tout se passe donc comme si les électrons arrivaient en se déplaçant verticalement le long de l’électrode selon +⁻U^→y jusqu’à un point quelconque, puis traversent l’électrolyte suivant₋⁻U^→z puis longent l’autre

D.1. CAS SIMPLIFIÉ D’UN ACCUMULATEUR PLAN FICTIF 173 électrode selon +⁻U^→y.

Calculons maintenant, à l’aide des hypothèses ci-dessus les densités volumiques de courant correspondantes. SoitI0 le courant électrique qui traverse l’accumulateur. Par convention nous comptons le courant électrique positivement dans le cas d’une charge et négativement dans le cas d’une décharge.

Les électrons se déplacent dans le sens opposé du courant. Une charge correspond donc à la situation ou le courant arrive par l’électrode positive et sort par l’électrode négative. C’est le cas que nous traitons ici pourI0>0. Les résultats obtenus sont généralisable pour les courants de décharge en inversant le signe des résultats trouvés. Nous supposons que les feuillets ont une longueurL, une largeurlet une épaisseure+(pour le collecteur positif) oue−(pour le collecteur négatif), comme indiqué sur la figureD.1où l’accumulateur déroulé est représenté.

Pour l’électrode positive, nous savons que le courant est dirigé selon ₋⁻U^→y (sens opposé aux électrons). Nous savons aussi que la partie supérieure de l’électrode contient tout le flux électriqueI alors que la partie inférieure n’est traversée par aucun courant. Entre les deux, le flux électrique varie de façon linéaire. Le disque collecteur de courant de l’électrode positive est situé ày=l. Ce flux est donc donné par :

I+(y) =I0y

l (D.1)

Connaissant le flux, nous pouvons facilement calculer la densité volumique j+ à travers l’électrode positive :

I+(y) =j+(y)_·L.e (D.2)

soit : j+(y) =I0

y l·L·e+

(D.3) En appliquant le même raisonnement sur l’électrode négative on a :

j−(y) =I0 L−y

l·L·e− (D.4)

Calculons maintenant la densité volumique de courantjion dans l’électrolyte dû au transfert d’ions lithium entre les électrodes. Nous savons que celle-ci est homogène et dirigée selon +⁻U^→z. Nous savons aussi que son flux est égal àI0. On a donc :

I0=jion·L·l (D.5)

soit : jion= ^I0

l·L (D.6)

Connaissant le vecteur densité de courant à l’intérieur de l’accumulateur, il est possible de calculer le champ magnétique rayonné par l’accumulateur seul en fonction du courant, dans tout l’espace, en utilisant la loi de Biot et Savart (équation (2.9)). Cela a toutefois peu d’intérêt car l’accumulateur est en réalité enroulé de façon cylindrique et cette géométrie plane ne correspond pas à la réalité. En effet, nous n’avons pas encore tenu compte du fait que les feuillets sont des feuillets bipolaires (sectionC.3.3page167)