CHAPITRE 3 — Solution périodique de l’équation différentielle d’Abel
3.4 Cas avec des discontinuités dépendantes de l’état
Dans cette section, on admet la présence de sauts en θ0. L’équation (4) est alors
remplacée par (5), où It0 est donné par (1.28). Sous les conditions B1, B2, et (1.29) (voir
Section 1.3), on a les résultats suivants.
Lemme 3.6 Pour µ ∈ R arbitraire, Hµ définie par (1.31) envoie ^N BV (T ) vers gAC(T ).
Démonstration. Il suffit de prouver que Gµ(θ) ∈ gAC(T ) (voir 1.32) puisque Fµ(θ) ∈
g
AC(T ) d’après la proposition 3.1. Pour tout θ ∈ ^N BV (T ) on a Gµ(θ) = m0 X k=0 ak(µ + θ) Iτk(µ+θ)∗ ε 0 0
où Iτk(µ+θ) ∈ NBV (T ). Ainsi, d’après proposition 3.1 nous avons également que Gµ(θ) ∈
g AC(T ). D’après (3.1) on obtient v m X j=0 fj(µ + θ)j ∗ ε00+ m0 X k=0 ak(µ + θ) Iτk(µ+θ)∗ ε 0 0 ! 6T k ˜f0k1+ T k m X j=1 fj(µ + θ)jk2+ T A
pour tout θ ∈ ^N BV (T ). Ainsi, nous avons le résultat suivant. Lemme 3.7 Pour µ ∈ R arbitraire, r ≥ 0 et θ ∈ Br on a
v(Hµ(θ)) ≤ pµ(r) + T A
où pµ: [0, ∞) → [0, ∞) est la fonction continue monotone croissante donnée par (3.3) et
Hµ par (1.31).
On pose
Noter que p∗
µ: [0, ∞) → [0, ∞) est une fonction continue monotone croissante.
Les deux lemmes précédents sont résumés comme suit : Proposition 3.8 Pour tout µ ∈ R et r ≥ 0 on a
Hµ: Br → Bp∗ µ(r) \ g AC(T ) (3.16) où p∗
µ : [0, ∞) → [0, ∞) est la fonction continue croissante donnée par (3.15) et Hµ par
(1.31).
Remarque 3.9 Dans le contexte de la Proposition 3.8, s’il existe rµ > 0 tel que p∗µ(r) ≤
rµ pour tout r ∈ [0, rµ] alors Hµ envoie la boule fermée Brµ dans ^N BV (T ) vers elle-
même. Puisque p∗
µ est non décroissante, il suffit de montrer l’existence de (au plus deux)
points r > 0 tels que
p∗µ(r) = r (3.17)
et prendre pour rµ le plus petit de ces points.
Pour θ1, θ2 ∈ Br arbitraire, on a
v (Hµ(θ2) − Hµ(θ1)) ≤ v (Fµ(θ2) − Fµ(θ1)) + v (Gµ(θ2) − Gµ(θ1)) .
Or d’après (3.13)
v(Fµ(θ2) − Fµ(θ1)) ≤ p0µ(r)v(θ2− θ1)
pour tout θ2, θ1 ∈ Br. D’autre part, en utilisant le fait que
ak(θ2 + µ)Jk(θ2+ µ) − ak(θ1+ µ)Jk(θ1 + µ) = (ak(θ2+ µ) − ak(θ1+ µ))Jk(θ2+ µ) +ak(θ1+ µ)(Jk(θ2+ µ) − Jk(θ1 + µ)) où Jk(θ) = Iτk(θ)∗ ε 0 0 (3.18)
et en posant θµ 1 = θ1+ µ et θ2µ= θ2+ µ, on obtient v (ak(θµ2)Jk(θ2µ) − ak(θµ1)Jk(θµ1)) ≤ |ak(θµ2) − ak(θ1µ)|v(Jk(θ2µ)) + |ak(θ1µ)|v(Jk(θµ2) − Jk(θµ1)). D’après (3.18) et (3.1) on a v(Jk(θ2) − Jk(θ1)) ≤ 2T kIτk(θ2)− Iτk(θ1)k1 ≤ 2|τk(θ2) − τk(θ1)|. De là s’ensuit que v(Jk(θµ2) − Jk(θµ1)) ≤ 2τk0v(θ µ 2 − θ µ 1) d’après B2. Donc v(ak(θµ2)Jk(θµ2) − ak(θ1µ)Jk(θµ1)) ≤ (a0kT + 2αkτk0)v(θ2− θ1) d’après B1 et B2 et donc v (Hµ(θ2) − Hµ(θ1)) ≤ φµ(r)v(θ2− θ1) où φµ(r) = p0µ(r) + (T A0 + 2C). (3.19)
Ceci prouve le théorème suivant.
Théorème 3.10 Étant donnés T > 0, (5) sur [0, T ] soumise à B1,B2 et (1.29 ), Br(T )
donné par (1.23) pour tout r ≥ 0, {fj}m0 ⊂ NBV (T ) avec fm 6= 0, p∗µ : [0, ∞) → [0, ∞)
donné par (3.15) et φµ : [0, ∞) → [0, ∞) donné par (3.19) pour µ ∈ R arbitraire. Si, pour
un µ donné, il existe rµ≥ 0 tel que p∗µ(rµ) = rµet φµ(rµ) < 1 alors, dans Brµ(T )∩AC(T ),
il existe une unique solution θµ de (1.30). De plus, si (1.33) est satisfait pour ce µ, alors
Corollaire 3.11 Dans le contexte du Théorème 3.10, étant donné θ0 ∈ Brµ(T ), H
n µ(θ0)
converge vers θµ quand n → ∞ à une vitesse bornée par
θµ− Hµn(θ0) ∞ ≤ v θµ− H n µ(θ0)≤ 2λnr µ 1 − λ (3.20) pour λ = φµ(rµ).
Comme dans Corollaire 3.4, la première inégalité dans (3.20) vient de (1.4) et la seconde vient du principe de contraction. S’il existe r0 ≥ 0 tel que p∗0(r0) = r0 et φ0(r0) <
1 alors, puisque le graphe de p∗
µ2 se trouve au-dessus de celui de p
∗
µ1 lorsque 0 ≤ µ1 < µ2,
il existe µ0 > 0 tel que p∗
µ0(rµ0) = rµ0 et φµ0(rµ0) = 1. De plus, pour tout µ ∈ (−µ0, µ0),
rµ existe et est tel que p∗µ(rµ) = rµ et φµ(rµ) < 1, ce qui va vérifier les conditions du
Théorème 3.10. On a rµ % rµ0 quand |µ| % µ0. Encore une fois, l’unicité de θµ dans
le Théorème 3.10 fait de M∗(µ) donnée par (1.33) une fonction bien définie pour tout
µ ∈ (−µ0, µ0).
Remarque 3.12 Il est facile de vérifier que si on a (1.29), alors la fonction M∗(µ)
donnée par (1.33) peut s’écrire de la façon suivante M∗(µ) = f0+ m X j=1 fj(µ + θµ)j− 1 T m0 X k=0 ak(θµ+ µ) τk(θµ+ µ).
Proposition 3.13 Dans le contexte du Théorème 3.10, la fonction M∗(µ) est continue
sur (−µ0, µ0).
Démonstration. D’après Proposition 3.5 on a que M(µ) est continue. Donc il suffit de montrer que la fonction
N (µ) = ak(θµ+ µ) τk(θµ+ µ)
est continue. Pour un µ0 ∈ [−µ00, µ00] ( (−µ0, µ0) quelconque, on montre que N (µ) →
utilise le fait que
ak(θµ)τk(θµ) − ak(θµ0)τk(θµ0) = (ak(θµ+ µ) − ak(θµ0 + µ0))τk(θµ+ µ)
+ak(θµ0 + µ0)(τk(θµ+ µ) − τk(θµ0 + µ0)).
Ceci entraîne que
|ak(θµ)τk(θµ) − ak(θµ0)τk(θµ0)| ≤ |ak(θµ+ µ) − ak(θµ0 + µ0)||τk(θµ+ µ)| +|ak(θµ0 + µ0)||τk(θµ+ µ) − τk(θµ0 + µ0)| et d’après B1 et B2 on a | ak(θµ)τk(θµ) − ak(θµ0)τk(θµ0) | ≤ T a0kv(θµ− θµ0 + µ − µ0) +αkτk0v(θµ− θµ0 + µ − µ0) ≤ (T a0k+ αkτk0)v(θµ− θµ0 + µ − µ0) = (T a0k+ αkτk0)v(θµ− θµ0)
ce qui entraîne | N(µ) − N(µ0) |→ 0 quand µ → µ0 puisque, d’après proposition 3.5,
v(θµ− θµ0) → 0 et donc N(µ) → N(µ0) quand µ → µ0 pour µ ∈ (−µ
00, µ00). Ainsi, si inf −µ0≤µ≤µ0M ∗(µ) < 0 < sup −µ0≤µ≤µ0 M∗(µ) (3.21)
alors, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe µ0 ∈ (−µ0, µ0) tel que
M∗(µ
0) = 0, et dans ce cas (1.30) et (1.33) sont satisfaits en même temps pour µ = µ0.
Corollaire 3.14 Dans le contexte du Théorème 3.10, soit µ0 = sup|µ| : p∗µ(rµ) = rµ, φµ(rµ) < 1
.
Si (3.21) est vérifié alors il existe µ0 ∈ (−µ0, µ0) tel que la fonction T -périodique θ =
Exemple 3.15 Considérons l’équation θ0 = c + πα 2 sin ωt + βθ + 2 r 2 3γ(cos ωt) 2θ2+ m0 X k=1 ak(θ) Iτk(θ) (3.22)
avec ω = 2π/T , c ∈ R et α, β, γ ∈ (0, ∞). Comme à l’exemple 3.3 on a m = 2, f0 =
c, ef0 = πα(sin ωt)/2, f1 = β et f2(t) = 2 p 2/3γ(cos2ωt) et donc k ef 0k1 = α, kf1k2 = β et kf2k2 = γ. Soit ε > 0 et posons ak(θ) = ε sin θ(T /k)) k2 , k ∈ (1, 2, ..m 0 − 1), am0(θ) = − m0−1 X k=1 ak(θ) , τk(θ) = T 2 cos 2θ(T /k). En choisissant αk = a0k = εζ(2) et τk0 = T on obtient A = A0 = εζ(2)m0 = εm0π2/6 et C = T εm0π2/6. Donc (3.15) devient p∗µ(r) = T α + T β(|µ| + r) + T γ(|µ| + r)2+ T A. En écrivant p∗ µ(rµ) = rµ comme |µ| + p∗µ(rµ) = |µ| + rµ on obtient |µ| + rµ = (1 − T β) − p (1 − T β)2− 4T γ(T (α + A) + |µ|) 2T γ (3.23) pourvu que T β < 1 et 4T γ(T (α + A) + |µ|) ≤ (1 − T β)2. (3.24)
Si α, γ ∈ (0, ∞) sont tels que
4T2(α + A)γ < (1 − T β)2 alors µ0 donné par
µ0 = (1 − T β)
2
se trouve dans (0, ∞) et (3.24) est vérifié pour tout µ ∈ [−µ0, µ0]. En remplaçant (3.25) dans (3.23) on obtient |µ| + rµ= (1 − T β) − p 4T γ(µ0− |µ|) 2T γ et donc µ0 + rµ0 = 1 − T β 2T γ . (3.26)
D’autre part (3.19) devient
φµ(rµ) = 1 − (
p
4T γ(µ0 − |µ|) − (T A + 2C)).
En prenant ε assez petit, tel quep4T γ(µ0 − |µ|)−(T A+2C) > 0, on a φ
µ(rµ) < 1, et donc
θµ existe pour µ ∈ (−µ0, µ0) et est donné par le Théorème 3.10. On a |θµ(t)| ≤ rµ ≤ rµ0
pour tout t ∈ R, donc
−1 − T β2T γ ≤ µ + θµ(t) ≤ 1 − T β
2T γ Puisque θµ= 0, on a la fonction continue en µ
M∗(µ) = c + βµ + 2 r 2 3γcos 2ωt(µ + θ µ)2− 1 T m0 X k=1 εsin(θµ(T /k) + µ) k2 T 2 cos 2(µ + θ µ(T /k))
sur (−µ0, µ0). D’autre part |M∗(µ) − M(µ)| < ε
2ζ(2), où M (µ) est la fonction continue
donnée par M (µ) = c + βµ + 2 r 2 3γcos 2ωt(µ + θ µ)2.
Notons que pour ε assez petit, les choix de α, β, γ dans cet exemple peuvent être les mêmes que dans l’exemple 3.3. Donc, en utilisant la même technique, et en montrant que M change de signe, on en déduit que M∗ aussi change de signe. Alors
inf
−µ0≤µ≤µ0M
∗(µ) < 0 < sup −µ0≤µ≤µ0
et donc d’après le corollaire 3.14 il existe µ ∈ (−µ0, µ0) tel que M∗(µ) = 0 et pour ce µ, la
fonction θ = µ + θµ est une solution T -périodique de (3.22) qui est absolument continue
CONCLUSION
Dans cette thèse, nous avons étudié l’existence des solutions T-périodiques et T- anti-périodiques de l’équation différentielle d’Abel généralisée aux cas impulsifs avec des discontinuités dépendantes de l’état. La méthode utilisée est celle du théorème de point fixe de Banach.
Le premier chapitre a été un rappel d’outils généraux d’analyse réelle et fonctionnelle que nous avons utilisé tout au long des chapitres 2 et 3.
Au deuxième chapitre, nous avons développé deux techniques nous permettant de prouver des théorèmes d’existence d’une solution T-anti-périodique de cette équation pour les cas impulsifs et non impulsifs. Par le principe de contraction de Banach, nous obtenons une suite d’itérations de Picard qui converge uniformément vers la solution, ce qui entraine la possibilité de trouver la solution numériquement. Nous avons appuyé nos résultats par divers exemples.
Au troisième chapitre, nous avons obtenu des résultats d’existence de solutions T- périodiques pour la même équation différentielle d’Abel dans les cas impulsifs et non impulsifs. Encore, par le théorème de contraction de Banach, nous obtenons une suite d’itérations de Picard qui converge uniformément. Ceci nous permet de trouver la solution numériquement. Cependant, les calculs sont beaucoup plus difficiles que dans le cas T- anti-périodique. Nous avons appuyé nos résultats par des exemples.
Nos résultats sur l’existence d’une solution T-périodique et T-anti-périodique peuvent être raffinés davantage. Il s’agit de trouver des polynômes plus raffinés que ceux utilisés dans les chapitres 2 et 3.
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