Enquanto que no caso anterior a hipérbole era utilizada, não para construir uma solução directa para o problema da trissecção do ângulo, mas sim para a solução de uma construção por nêusis, no presente caso (e de acordo com a proposição 34 da Colecção
Matemática) Papo utiliza uma hipérbole, diferente da do caso anterior, para directamente, isto
é, sem nenhuma preliminar redução do problema a uma nêusis, resolver o problema da trissecção do ângulo. Ele utiliza a hipérbole de dois modos diferentes26: num usa a
propriedade diâmetro-ordenada (como em Apolónio), no outro ele usa a propriedade foco- directriz. ([Th3], p. 1903).
Como já referimos, não sabemos a proveniência destes métodos transmitidos por Papo, mas a grande semelhança entre a propriedade usada nesta solução e as usadas por Apolónio faz-nos pensar que, provavelmente, esta solução é devida a este geómetra. Aliás, alguns autores referem esse facto:
"No início do século II a.C, Apolónio de Perga propôs outra solução, desta vez usando cónicas. De facto, este problema é um daqueles a que Papo se propôs chamar "problemas sólidos" tendo em atenção que na construção é necessário usar curvas que apenas podem ser definidas num sólido, nomeadamente secções cónicas." [BD], p.93).
Vejamos então a primeira solução apresentada por Papo.
De facto, segundo Papo, para trissectarmos o ângulo ABC basta proceder do seguinte modo:
É a mesma hipérbole que é utilizada de dois modos diferentes. Este facto pode ser confirmado utilizando um sistema apropriado de eixos nas figuras das páginas 41 e 44.
1) construímos uma circunferência de centro B e intersectando os lados do ângulo dado nos pontos A e C; seja AC um seu arco;
2) seja a corda AC dividida em H de modo que AH = 2HC ;
3) construímos a hipérbole com AH como eixo transverso e V 3 AH como eixo não transverso;
4) um dos ramos desta hipérbole vai intersectar a circunferência num ponto que vamos designar por P.
Então, o ângulo PBC é a terça parte do ângulo ABC. Antes de provarmos que efectivamente o ângulo PBC é a terça parte do ângulo ABC, vamos começar por provar um resultado que será útil no nosso propósito — o ângulo PCA é o dobro do ângulo PAC.
Considere-se a hipérbole de eixo transverso AH e eixo não transverso 4 3 AH. Pelo facto do ponto P ter sido construído de modo a estar sobre esta hipérbole, e designando por A o pé da perpendicular, passando por P, à recta AH, tem-se
PA2
AA-AH 1 (1)
No prolongamento da recta AH, marque-se um ponto C tal que AH=2HC. Marquem-se também os pontos E e Ztais que CA = AE = EZ. Então, como 3CH -CA e 3CA = CZ, vem que
Logo,
PE2 -EZ2 =PE2-AE2 =
-PA2 (aplicando Elementos I, 47 ao triângulo PEA)
- 3AH ■ AA (tendo em atenção (1)) = ZAAA = (EA-EZ)(EA + EZ) (por (2)) = EA2-EZZ.
Donde, PE = EA.
Portanto, ZAPE = ZPAE. Tendo em atenção Elementos I, 32 vem que
ZPEC = ZAPE + ZPAE, donde ZP£C = iZP^.E. Ora, ZPG4 = Z/>£C (pois Zl é o ponto
médio de EC ePAé perpendicular a EC).
Logo, ZPCE - ZPEC = 2ZPAE. Isto é, como pretendíamos,
2 ZPAC = ZPCA. (3)
Note-se que ZPBA = arcAP, por se tratar de um ângulo ao centro da circunferência de raio AB. Por outro lado ZPCA = , por se tratar de um ângulo inscrito na circunferência, donde
2ZPCA=ZPBA . (4)
QTCPC
Analogamente temos que ZPBC-arcPC e ZPAC- , donde
2ZPAC=ZPBC. (5)
Tendo em atenção (3), (4) e (5) vem que:
ZPBC = 2ZPAC - ZPCA = - ZPBA . 2
Logo,
2ZPBC = ZPBA, como pretendíamos provar; ou seja, o ângulo PBC é a terça parte do
ângulo ABC.
Na segunda construção, ainda na proposição 34, Papo usa a propriedade foco-directriz da hipérbole. De facto, segundo Papo, para trissectarmos o ângulo ABC basta proceder do seguinte modo:
1) construímos uma circunferência de centro B e intersectando os lados do ângulo dado nos pontos A eC;
2) seja m a recta mediatriz de AC;
3) construímos a hipérbole de excentricidade 2, cuja directriz é/neem que um dos focos é C;
4) um dos ramos desta hipérbole vai intersectar a circunferência num ponto que vamos designar por P.
Então, o ângulo PBC é a terça parte do ângulo ABC. Provemos agora tal facto. Para tal, vamos provar que o arco de circunferência PC é a terça parte do arco de circunferência
APC, ou seja, que o arco PC é metade do arco AP.
Pelo facto do ponto P estar sobre a hipérbole, sabemos que PC é o dobro de PS (propriedade foco-directriz). Mas agora há que provar que o arco CP é a terça parte do arco
AC. Para tal vamos duplicar a figura, por simetria, para o outro lado da recta m, como
De facto, como PS é perpendicular à recta m, o prolongamento de PS intersecta a circunferência num ponto, W, tal que PS = SW .
Portanto, PW = PS + SW = 2PS = PC.
Além disso, por simetria, também AW=PC. Portanto, as três cordas CP, PW, WA são iguais entre si. Logo, também os arcos CP, PW, WA, são iguais entre si.
Assim, provamos que as duas partes em que o ponto P divide o arco AC são tais que o arco PC é metade do arco AP.
Papo contribuiu, assim, directamente para a solução do problema da trissecção do ângulo. No entanto, o problema inicial continuou por resolver tendo em atenção que se procurava uma solução de acordo com a axiomática do primeiro livro dos Elementos de Euclides, e não é possível construir uma hipérbole com régua não graduada e compasso. A
Colecção Matemática de Papo de Alexandria foi de grande importância na história das
matemáticas, tendo possivelmente sido escrita com o objectivo de expor aos geómetras do seu tempo toda a matemática dos antigos gregos, cobrindo praticamente todos os resultados até aí existentes. Como afirma Fernando Vasconcelos ([V], p. 500):
"Papo é o último grande geómetra da antiguidade, dando-se, depois dele, a queda irremediável e sendo necessário que decorressem perto de treze séculos, para que, ao calor vivificante da Renascença, Descartes, descobrindo uma nova via, recuasse os limites da antiga geometria."