Chapitre II : Description statique et dynamique du laser DFB et du modulateur à électro-
2. Les lasers semi-conducteurs DFB à puits quantiques
2.3. Caractéristiques dynamiques
a)
Equations d’évolution en régime petit-signal
Les équations d’évolutions du laser peuvent être réécrites en faisant apparaître l’expression du gain établi par l’équation II.3 et l’introduction de l’expression des non-linéarités [73]:
S
S f5¥ - ¥
/-}1
zg
yz Equation II.17S¥
S f g - 5¥ - ¥4
/-}¥
¦ Equation II.18
+
1 2n
Equation II.19 Pour de faibles puissances, le coefficient non-linéaire du gain est approximé par :n £2 1
yEquation II.20 D’où :
61
+
1 ⁄
yEquation II.21 La réponse petit-signal s’obtient en considérant une modulation sinusoïdale de faible intensité du courant injecté dans la région active:
4 4 S4
Equation II.22
ainsi que les variations consécutives de N et P (où ¸ , ¥ Ik 4). :
¸ ¸ª ¸
Equation II.23
¸ ¸
aexp =
aEquation II.24 On retrouve la dynamique des équations d’évolution dans le domaine complexe par transformation de Fourier en désignant par ‘a’ la fréquence de modulation, ceci toujours dans l’hypothèse de petites variations des variables dynamiques autour d’un point de fonctionnement statique qui vérifie les équations précédemment établies pour les photons et les électrons.
a4A
m1 2n SS¥
yzG
µa
- j } M G
µ µ-
aj } M
µ Equation II.25¥½
a4A
=
a1 }
zG
µa
- j } M G
µ µ-
aj } M
µ Equation II.26 En ce qui concerne l’équation d’évolution de la phase, on se ramène par dérivation par rapport à N, à la variation de fréquence correspondante ‘¾/’ (m S S¥⁄ ):¾
/a22
4A
m7=
a1 } 9
zG
µa
- j } M G
µ µ-
aj } M
µEquation II.27 On retrouve une des caractéristiques principales d’un laser modulé qui est la fréquence angulaire de relaxation des oscillations ‘ωR’ (
m+est le gain non-linéaire [74]): µ£ ¿1 2n
m+1 À
Á
Â
Equation II.28 De même, on retrouve le temps d’amortissement ‘}µ’ associé (
}
m: durée de vie des électrons due à l’émission spontanée ;}
z: durée de vie des photons):1 }
µ12 71 } 1 }
z 9
m62
1 } £
µ12 ¿}1
W1 2n À
1 2n
m+Á
Equation II.30 De la même façon, il ressort les déphasages introduits par la modulation :
Ã
ztan
]Ä
2}
µa a-
µ- 1 τ
Æ
Ç
Equation II.31Ã
mtan
]Ä
2}
µa a-
µ- 1 τ
Æ
Ç tan
]a
}
zEquation II.32
Ã
tan
]Ä
2}
µa a-
µ- 1 τ
Æ
Ç tan
]a
}
zEquation II.33 Ce qui permet d’établir le retard entre les modulations de fréquence et d’intensité :
Ã
ÈÉ ÊÉtan
]
a
}
zEquation II.34
b)
Modulation d’intensité et bande passante du laser MQW
La réponse spectrale de la modulation d’intensité s’écrit:
5Ë Ì
a4A⁄ Ì
Ì 0 4A⁄ Ì
µt a-
µG2
a Mτ
Æ Equation II.35 La fréquence angulaire de coupure à 3 dB ‘ω3dB’ (i.e lorsque le signal modulé a perdu la moitié de sapuissance) est alors défini pour :
µt _$Í-
µG2
_$Í Mτ
Æ12
Equation II.36 La bande passante de modulation atteint un maximum ‘fmax’, définie par : S_$Í⁄S 0 à un point de
fonctionnement particulier qui s’exprime par :
B
aÎ2√2 ⁄
Equation II.37 où ‘K’ est un paramètre intrinsèque du laser :
u 2
n
hS¥S
}
z63 et, h est la vitesse de groupe.
Ces calculs sont détaillés dans l’annexe B de [74]. L’approximation grand-signal et petit-signal (en termes de puissance optique) du gain non-linéaire amène aux expressions respectives suivantes [75] :
+
1
y
+ G1 - M
yEquation II.39 L’expression des équations d’évolutions dynamiques en sont affectées mais on retrouve le même facteur ‘K’ lié à la fréquence de modulation maximale ’fmax’ du laser. Pour que celui-ci diminue et ainsi
que la fréquence de coupure maximum augmente, il faut soit que le coefficient non-linéaire de gain diminue, soit que le gain différentiel augmente. La fréquence de relaxation augmente avec le nombre de photon. L’amortissement des oscillations augmente en même temps. On retrouve alors l’influence des effets non-linéaires qui limite la fréquence de résonnance.
Sachant que l’augmentation du gain différentiel lorsque l’on passe d’une structure massive à une structure à puits quantiques (2 à 5 fois) est supérieure à l’augmentation des effets non-linéaires (1 à 2 fois), les lasers MQW ont des bandes passantes plus élevées. Il est possible d’optimiser la bande passante de modulation pour une épaisseur de puits et des pertes dans la cavité données. Un nombre optimal de puits minimisant le facteur ‘K’ précédemment introduit permet d’augmenter la bande passante des lasers MQW. A titre d’exemple pour une épaisseur de puits de 10 nanomètres et des pertes totales de 60 cm-1, on trouve un facteur ‘K’ qui diminue fortement entre 3 puits et 8 puits et une valeur minimale proche de 0,2 nanoseconde pour une structure à 6 puits quantiques. [74].
La réponse électro-optique d’une modulation du nombre de porteurs et donc du nombre de photons est plate pour aÏ µ puis présente une décroissance en a pour aÐ µ . Des mesures petit- signal de la réponse électro-optique des lasers intégrés utilisés dans cette étude seront exposées par la suite dans un prochain chapitre.
Figure II. 6 Modulation d’intensité d’un laser en régime petit-signal pour différents courants d’injection.
La figure II.6 illustre la réponse, en intensité, d’un laser soumis à une modulation sinusoïdale petit- signal. Ces résultats sont effectués dans les mêmes conditions que pour la figure II.4. On remarque que la fréquence de relaxation se déplace avec le courant d’injection (ωR/2π=14 GHz à 20 mA), avec un
64 Des courbes de mesures de la réponse en intensité à une modulation sinusoïdale seront présentées au chapitre III, ceci permettra de caractériser pour différents courants, la bande passante des lasers intégrés dans les EML utilisés dans cette étude.
c)
Modulation de fréquence du laser MQW
La réponse fréquentielle (FM) provenant d’une variation de l’équation d’évolution de la phase (équation II.12) donne l’expression :
∆¾
/a∆4A
a=
a2
2
}
z1
ª
µG
µ-
aj
a Mτ
Æ Equation II.40 On peut formuler également cette équation en faisant apparaître le taux d’émission spontanée et le gain :∆¾
/a∆4A
a1
2 G=
a2
n ª
yz M ª
}
z1
ª
µG
µ-
aj
a Mτ
Æ Equation II.41Figure II. 7 Modulation de fréquence d’un laser MQW sous un courant statique de 100 mA. [76]
L’exemple de mesure de la figure II.7 met en évidence l’augmentation de l’efficacité de la modulation de fréquence exprimée en MHz/mA. Les courbes en trait plein et carrés correspondent à deux procédés de mesures différents qui ne seront pas détaillés ici. L’efficacité de modulation augmente avec la fréquence de modulation et atteint son maximum à la fréquence des oscillations de relaxation, atteignant son maximum à 10 MHz dans cet exemple. La contribution majeure à basses fréquences vient du gain non-linéaire. Une contribution des effets thermiques s’y ajoute également.
Une propriété importante en ce qui concerne la modulation du laser peut être spécifiée par la prise en compte du rapport des modulations FM et AM. En effet, lors d’une propagation sur fibre optique d’un
65 signal modulé en amplitude, la modulation de fréquence influera sur la qualité de la transmission numérique. Ces deux réponses sont liées par le couplage phase-amplitude et il est possible de déterminer l’impact de la réponse AM sur la réponse FM pour des fréquences élevées [55, Chap.II]:
ÑË
5Ë £=4 ª
a2
W""Equation II.42.1 Cette expression permet de relier le coefficient analytique défini précédemment, ‘αeff’, au rapport entre
les modulations de fréquence et d’amplitude du laser qui constitueront notre préoccupation dans la suite de l’étude.
Dans l’approximation de densité de porteurs homogène dans la cavité, la tangente de la phase du rapport FM/AM varie linéairement avec la fréquence de modulation [55, Chap.II]:
4H ÒÑË5ËÓ
ÒÑË5ËÓ
a
h8Γn
Equation II.42.2 ‘V’ : volume de la région active, et ‘Г’ : facteur de confinement optique